无穷级数单元测试题答案知识分享

无穷级数单元测试题

答案

第十二章 无穷级数单元测试题答案

一、判断题

1、对；

2、对；

3、错；

4、对；

5、对；

6、对；

7、对；

8、错；

9、错；10、错 二、选择题

1、A

2、A

3、D

4、C

5、D

6、C

7、C

8、B 三、填空题

1、2ln

2、收敛

3、5

4、π

33--，π

π12

48+

-，

???????±±=--±±==,...3,1,2

1,...4,2,0,2

1

)(k k k S ππ

四、计算题

1、判断下列级数的收敛性 （1）∑∞

=--1131

arcsin

)1(n n n

解：这是一个交错级数，

1arcsin

31arcsin

13lim

13n n u n n n

→∞==，所以n u 发散。 又由莱布尼茨判别法得 111arcsin

arcsin 33(1)

n n u u n n +=>=+ 并且1

lim lim arcsin 03n n n u n

→∞→∞

==，满足交错级数收敛条件，

故该交错级数条件收敛。

（2）∑∞

=??

?

??+11n n

n n

解：lim lim(

)[lim()]1011n n

n n n n n n u n n

→∞→∞

→∞===≠++ 不满足级数收敛的必要条件，故级数发散。 (3)

)0,(,31

211>++++++b a b

a b a b a 解：另设级数1

()

n v n a b =+ 111111

1(1)()

23n n n v n a b a b n

∞

∞

====+++++++∑∑

上式为1

a b

+与一个调和级数相乘，故发散 又11

()

n n u v na b n a b =

>=++， 由比较审敛法可知，原级数发散。

(4) ++++++

n

n 134232 解：lim 10n n n u →∞==≠ 不满足级数收敛的必要条件，故该级数发散

2、利用逐项求导数或逐项求积分或逐项相乘的方法，求下列级数在收敛区间上的和函数

（1） ++++7

537

53x x x x

解：设357

()357

x x x f x x =++++

（补充条件1x <，或求出R ）

逐项求导，得2462

1

()11f x x x x x '=++++=

- （这是公比21q x =<的几何级数）

积分，得2

00

1

()()1x x

f x f x dx dx x

'==-?? =0111()211x dx x x +-+?=11ln

21x

x

+- 即 ++++753753x x x x =11ln 21x

x +-

（2）

+?+?+?4

332214

32x x x 解：设234

()122334

x x x f x =

+++???（补充条件1x <，或求出R ）

逐项求导，得23

()123

n x x x x f x n '=+++

++ 再逐项求导，得21

()1n f x x x x -''=++++

积分一次，得00

1

()()ln(1)1x

x

f x f x dx dx x x

'''===---?? 再积分一次，得00()()ln(1)(1)x

x

f x f x dx x d x '==---??

= 0(1)ln(1)(1)ln(1)x

x x x d x -----? = 0(1)ln(1)(1)x

x x d x ----? = (1)ln(1)x x x --+

即

+?+?+?4332214

32x x x =(1)ln(1)x x x --+ （3） ++

+139513

92x x x 解：设5913

()5913

x x x f x =+++

（补充条件1x <，或求出R ）

逐项求导，得44

8

12

4()1x f x x x x x

'=+++=- （这是公比41q x =<的几何级数）