小学五年级逻辑思维学习—余数问题
小学五年级逻辑思维学习—余数问题
知识定位
余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”
余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
知识梳理
一、带余除法的定义及性质
一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,
0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：
r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商
(1)当0
r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商
(2)当0
注：
一个完美的带余除法讲解模型:
如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，
现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过
打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，
这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理
1.余数的加法定理
a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等
于4，即两个余数的和3+1.
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.
2.余数的乘法定理
a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的
余数。
?=。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以(2316)
?除以5的余数等于313
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
?=除以
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以(2319)
?除以5的余数等于3412
5的余数，即2.
注：
对于上述2个定理，我们都可以推广到多个自然数的情形，尤其余数的乘法定理，对于解决含有“一个数的n次方”的相关题型时非常的有用。
上述2个定理的本质是方程组的解法性质，即将2个不同数的带余除法的定义式相加就可
以得到余数的加法定理，乘法定理也是类似的。
3.同余定理
若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：
若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除
用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b) 注：
这个性质非常重要，是将同余问题与前面学过的整除问题相联系的纽带，一定要熟练掌握。
三.弃九法原理
在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：
++++=
例如：检验算式1234189818922678967178902889923
1234除以9的余数为1
1898除以9的余数为8
18922除以9的余数为4
678967除以9的余数为7
178902除以9的余数为0
这些余数的和除以9的余数为2
而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。
上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同。
而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。
所以我们总结出弃九发原理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。
以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。
利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用
注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。
例如：检验算式9+9=9时，等式两边的除以9的余数都是0，但是显然算式是错误的但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。
四、中国剩余定理
1.中国古代趣题：
中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。”
此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。
韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。刘邦茫然而不知其数。
我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？
首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。
孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。
2.核心思想和方法：
对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以《孙子算经》中的问题为例，分析此方法:
今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？
题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3，5，7后，得到三个余数分别为2，3，2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3余1，并且还是5和7的公倍数。
?=，即5和7的最小公倍数出发，先看35除以3余2，不符合要求，那么就先由5735
?=是否可以，很显然70除以3余1
继续看5和7的“下一个”倍数35270
类似的，我们再构造一个除以5余1，同时又是3和7的公倍数的数字，显然21可以符合要求。
最后再构造除以7余1，同时又是3，5公倍数的数字，45符合要求，那么所求的自然数可以这样计算：
k k
?+?+?±=-，其中k是从1开始的自然数。
270321245[3,5,7]233[3,5,7]
也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的范围加以限制，那么我们就能找到所求的数。
例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”，
那么我们可以计算2703212452[3,5,7]23
?+?+?-?=得到所求
如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”,
我们只要对最小的23加上[3,5,7]即可，即23+105=128.
五、重点难点解析
1.带余除法的定义式，4个基本量的相互关系
2.三大余数定理的应用
3.弃九法的理解和应用
4.中国剩余定理原理的理解和应用
六、竞赛考点挖掘
1. 三大余数定理的灵活运用。
2. 求某些复杂数的个位数字
3. 弃九法的逆用与中国剩余定理模型的拓展应用
例题精讲
【题目】
一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。
【题目】
有一个两位整数，除39，51，147所得的余数都相同，求这个数。
【题目】求478×296×351除以17的余数。
【题目】
求12644319 的余数
【题目】
用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求这2个自然数各是多少？
已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？
【题目】
号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?
【题目】
有一个自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,3个余数的和是25.这3个余数中最大的一个是多少?
【题目】
如图15-l,在一个圆圈上有几十个孔(少于100个).小明像玩跳棋那样从A孔出发沿着逆时针方向，每隔几个孔跳一步,希望一圈以后能跳回到A孔.他先试着每隔2孔跳一步,结果只能跳到B孔.他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔.最后他每隔6孔跳一步,正好回到A孔.问这个圆圈上共有多少个孔?
若有一数介于300与400之间，以3除剩1，以8除剩5，以11除剩4。问此数为何？
【题目】
某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1,2,3，…,12.他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数,并且每家的电话号码都能被这家的门牌号码整除.已知这些电话的首位数字都小于6,并且门牌号码是9的这一家的电话号码也能被13整除,问这一家的电话号码是什么数?
【题目】
有2个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是1031，第一个数各个位的数字之和是10，第二个数的各个位数字之和是8，求两个三位数的和。
【题目】
两位自然数ab与ba除以7都余1，并且a＞b，求ab×ba。
"
2"20002222个除以13所得余数是_____.
【题目】
1.4.8.10.16.19.21.25.30.43这10个数中取出一些数，取出的数不超过三个，并使其和是11的整倍数，那么，不同的取法有几种？
【题目】
有五个不同的自然数，它们当中任意两个数的和是2的倍数，任意三个数的和是3的倍
数．为了使这五个数的和尽可能地小，那么这五个数的和是_______.
【题目】
在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0)
2008222008+除以7的余数是多少？
【题目】
某个自然数被187除余52，被188除余52，那么这个自然数被22除的余数是多少？
【题目】数11…1（2007个1），被13除余多少？
习题演练
【题目】求20001999
7÷的余数
【题目】被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。
【题目】有一个大于1的整数，除45，59，101所得的余数相同，求这个数的可能范围。
【题目】一个两位数除以13的不完全商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数。
【题目】有一列数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是10，从第三个数开始，每个数恰好是前两个数的和，那么第1997个数被3除所得的余数是多少？
【题目】有5000多根牙签,可按6种规格分成小包.如果10根一包,那么最后还剩9根.如果9根一包,
那么最后还剩8根.第三、四、五、六种的规格是,分别以8,7,6,5根为一包,那么最后也分别剩7,6,5,4
根.原来一共有牙签多少根?