最新中考数学复习专题《几何图形中的动点问题》

运动型问题

第17课时

几何图形中的动点问题

(58分)

一、选择题(每题6分，共18分)

1．[·安徽]如图6－1－1，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，动点P 满足S △

PAB ＝S 矩形ABCD ，则点P 到A ，B 两点距离之和PA ＋PB 的最小值为(　D )13A. B. C.5

D.

2934241

图6－1－1 第1题答图

【解析】 令点P 到AB 的距离为h ，由S △PAB ＝S 矩形ABCD ，得×5h ＝×5131213

×3，解得h ＝2，动点P 在EF 上运动，如答图，作点B 关于EF 的对称点B ′，BB ′＝4，连结AB ′交EF 于点P ，此时PA ＋PB 最小，根据勾股定理求得最小值为＝，选D.

52＋42412．如图6－1－2，在矩形ABCD 中，AB ＝2a ，AD ＝a ，矩

形边上一动点P 沿A →B →C →D 的路径移动．设点P 经

过的路径长为x ，PD 2＝y

，则下列能大致反映y 与x 的

函数关系的图象是 (　D )【解析】 ①当0≤x ≤2a 时，∵PD 2＝AD 2＋AP 2，AP ＝

x ，∴y ＝x 2＋a 2；②

图6－1－2

当2a ＜x ≤3a 时，CP ＝2a ＋a －x ＝3a －x ，∵PD 2＝CD 2＋CP 2，∴y ＝(3a －x )2＋(2a )2＝x 2－6ax ＋13a 2；③当3a ＜x ≤5a 时，PD ＝2a ＋a ＋2a －x ＝5a －x ，

∴PD 2＝y ＝(5a －x )2，y ＝∴能大致反映y

{x 2＋a 2（0≤x ≤2a ），x 2－6ax ＋13a 2（2a

)与x 的函数关系的图象是选项D 中的图象．

3．如图6－1－3，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝

30°，AB ＝8，以2为边长的正方形DEFG 的一边

3GD 在直线AB 上，且点D 与点A 重合，现将正方形

DEFG 沿AB 的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点D 与点B 重合时停止，则在这个运动过程中，正方形DEFG 与△ABC 的重合部分的面积S 与运动时间t 之间的函数关系图象大致是

(　A )

【解析】 首先根据在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝8，分别求出AC ，BC ，以及AB 边上的高线各是多少；然后根据图示，分三种情况：①当0≤t ≤2时；②当2＜t ≤6时；③当6＜t ≤8时，分别求出正33方形DEFG 与△ABC 的重合部分的面积S 的表达式，进而判断出正方形DEFG 与△ABC 的重合部分的面积S 与运动时间t 之间的函数关系图象大致是哪个即可．

S ＝{36t 2（0≤t ≤23），

2t －23（23

二、解答题(共20分)

4．(20分)[·无锡]如图6－1－4，已知矩形ABCD 中，AB ＝

4，AD ＝m ，动点P 从点D 出发，在边DA 上以每秒1个单位的速度向点A 运动，连结CP ，作

图6－1－3

点D 关于直线PC 的对称点E .设点P 的运动时间为t (s)．

(1)若m ＝6，求当P ，E ，B 三点在同一直线上时对应的t 的值．

(2)已知m 满足：在动点P 从点D 到点A 的整个过程中，有且只有一个时刻t ，使点E 到直线BC 的距离等于3.求所有这样的m

的取值范围．

图6－1－4

【解析】 (1)如答图①，P ，E ，B 三点在同一直线上，连结EC .①在Rt △BEC 中，计算BE 的值；②在Rt △ABP 中，利用勾股定理列出关于t 的方程，解出t 值即可求；

(2)如图②，P ，E ，B 三点在同一直线上，连结EC ，过点E 作EF ⊥BC 于F .①在Rt △EFC 中，利用勾股定理求出CF ；②利用相似三角形的判定与性质求得BF ；③根据m ＝BC ＝BF ＋CF 计算m 的值．

解：(1)如答图①，P ，E ，B 三点在同一直线上，连结EC .

∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AD ＝BC .

∵PD ＝t ，m ＝6，∴PA ＝6－t .

∵点D ，点E 关于直线PC 对称．

∴PE ＝t ，EC ＝DC ＝AB ＝4，∠CEP ＝∠CDP ＝90°.

在Rt △BCE 中，∵BC ＝6，CE ＝4，

∴BE ＝＝＝2.

BC 2－EC 262－425在Rt △ABP 中，∵AB 2＋AP 2＝BP 2，即42＋(6－t )2＝(2＋t )2，

5解得t ＝6－2.

5(2)如答图②，当点P 与A 重合时，点E 在BC 的下方，点E 到BC 的距离为3.

作EQ ⊥BC 于Q ，EM ⊥DC 于M .则EQ ＝3，CE ＝DC ＝4.易证四边形EMCQ 是矩形，∴CM ＝EQ ＝3，∠M ＝

90°，

∴EM ＝＝，BC 2－CM 27第4题答图①

∵∠DAC ＝∠EDM ，∠ADC ＝∠M ，

∴△ADC ∽△DME ，∴＝，即＝，AD DM DC EM AD 747

∴AD ＝4.

7

第4题答图② 第4题答图③

如答图③，当点P 与A 重合时，点E 在BC 的上方，点E 到BC 的距离为3.作EQ ⊥BC 于Q ，延长QE 交AD 于M .则EQ ＝3，CE ＝DC ＝4.

在Rt △ECQ 中，QC ＝DM ＝＝，由△DME ∽△CDA ，

42－327∴＝，即＝，∴AD ＝，DM CD EM AD 741AD 477

综上所述，在动点P 从点D 到点A 的整个运动过程中，有且只有一个时刻t ，使点E 到直线BC 的距离等于3，这样的m 的取值范围是≤m ＜4.477

75．(20分)[·丽水]如图6－1－5，在矩形ABCD 中，点E 是AD 上的一个动点，连结BE ，作点A 关于BE 的对称点F ，且点F 落在矩形ABCD 的内部．连

结AF ，BF ，EF ，过点F 作GF ⊥AF 交AD 于点G ，设＝n .AD AE

图6－1－5(1)求证：AE ＝GE ；

(2)当点F 落在AC 上时，用含n 的代数式表示的值；AD AB

(3)若AD ＝4AB ，且以点F ，C ，G 为顶点的三角形是直角三角形，求n 的值．

【解析】 设AE ＝a ，则AD ＝na .(1)由轴对称性质得到AE ＝FE ，结合“等边对等角”得到∠EAF ＝∠EFA .由垂直得到两个角的互余关系，根据“等角的余角相等”可得到结论；

(2)由对称性质得BE ⊥AF ，先证∠ABE ＝∠DAC ，进而证得△ABE ∽△DAC ，根据相似三角形的对应边成比例建立关系式，通过适当变形求解；

(3)由特例点F 落在线段BC 上，确定n ＝4，根据条件点F 落在矩形内部得到n ＞4，判断出∠FCG ＜90°.然后分∠CFG ＝90°和∠CGF ＝90°两种情况，由(2)的结论和相似三角形的性质分别建立关于n 的等式，求得n 的值．解：设AE ＝a ，则AD ＝na .

(1)证明：由对称得AE ＝FE ，∴∠EAF ＝∠EFA .

∵GF ⊥AF ，∴∠EAF ＋∠FGA ＝∠EFA ＋∠EFG ＝90°.

∴∠FGA ＝∠EFG ，∴FG ＝EF ，∴AE ＝GE .

(2)当点F 落在AC 上时(如答图①)，由对称得

BE ⊥AF ，

∴∠ABE ＋∠BAC ＝90°，

∵∠DAC ＋∠BAC ＝90°，

∴∠ABE ＝∠DAC .

又∵∠BAE ＝∠D ＝90°，

∴△ABE ∽△DAC ，∴＝.AB DA AE DC

∵AB ＝DC ，∴AB 2＝AD ·AE ＝na ·a ＝na 2.

∵AB ＞0，∴AB ＝a ，∴＝＝.n AD AB na n a

n (3)若AD ＝4AB ，则AB ＝a .当点F 落在线段BC 上时(如答图②)，EF ＝AE n 4＝AB ＝a .此时a ＝a ，n 4

∴n ＝4.∴当点F 落在矩形内部时，n ＞4.

∵点

F 落在矩形的内部，点

G 在AD 上，

∴∠FCG ＜∠BCD ，∴∠FCG ＜90°.第5题答图①