苏教版八年级下册数学[《分式》全章复习与巩固(提高)知识点整理及重点题型梳理]
苏教版八年级下册数学
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
《分式》全章复习与巩固(提高)
【学习目标】
1. 理解分式的概念,能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.
2.了解分式的基本性质,掌握分式的约分和通分法则.
3.掌握分式的四则运算.
4.结合实际情况,分析和解决实际问题,讨论可以化为一元一次方程的分式方程,掌握方程的解法,体会解方程中的化归思想.
【知识网络】
【要点梳理】
【405794 分式全章复习与巩固知识要点】
要点一、分式的有关概念及性质
1.分式
一般地,如果A、B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子A
B
叫做分式.其中A
叫做分子,B叫做分母.
要点诠释:分式中的分母表示除数,由于除数不能为0,所以分式的分母不能为0,即
当B≠0时,分式A
B
才有意义.
2.分式的基本性质
(M为不等于0的整式). 3.最简分式
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子、分母中含有公因式,要进行约分化简.
要点二、分式的运算 1.约分
利用分式的基本性质,把一个分式的分子和分母中的公因式约去,不改变分式的值,这样的分式变形叫做分式的约分. 2.通分
利用分式的基本性质,使分子和分母同乘以适当的整式,不改变分式的值,把异分母的分式化为同分母的分式,这样的分式变形叫做分式的通分. 3.基本运算法则
分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: (1)加减运算
a b a b
c c c
±±=
错误!未找到引用源。 ;同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.
;异分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,再加减.
(2)乘法运算
a c ac
b d bd
?=,其中a b c d 、、、是整式,0bd ≠. 两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母. (3)除法运算
a c a d ad
b d b
c bc
÷=?=,其中a b c d 、、、是整式,0bcd ≠. 两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后,与被除式相乘.
(4)乘方运算
分式的乘方,把分子、分母分别乘方. 4.分式的混合运算顺序
先算乘方,再算乘除,最后加减,有括号先算括号里面的. 要点三、分式方程 1.分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 2.分式方程的解法
解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程.
3.分式方程的增根问题 增根的产生:分式方程本身隐含着分母不为0的条件,当把分式方程转化为整式方程后,方程中未知数允许取值的范围扩大了,如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0,那么就会出现不适合原方程的根---增根.
要点诠释:因为解分式方程可能出现增根,所以解分式方程必须验根.验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中,看它是否为0,如果为0,即为增根,不为0,就是原方程的解.
要点四、分式方程的应用
列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似,但要稍复杂一些.解题时应抓住
“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节,从而正确列出方程,并进行求解. 【典型例题】
类型一、分式及其基本性质
1、(2016?营口模拟)下列各式中,不论字母取何值时分式都有意义的是( )
A.
1
21
x +
B.
1
21
x -
C.
213x
x
- D.
2
53
21
x x ++ 【思路点拨】根据分式有意义的条件来判断. 【答案】D ;
【解析】一个分式有无意义,取决于它的分母是否等于0.即若
是一个分式,则
有意义
B ≠0.而选项D ,分母2x 2
+1≥1,所以无论x 取何值
2
53
21
x x ++一定有意义. 【总结升华】分式有意义的条件是分母不为零,无意义的条件是分母为零. 【 分式全章复习与巩固 例2】
2、不改变分式的值,把下列各式分子与分母中各项的系数都化为最简整数.
(1)14231134a b a b +-; (2)0.30.20.05x y x y +-; (3)22
2230.41010.64
x y x y +-. 【答案与解析】
解:(1)1414
12
616232311114312343
4a b a b a b a b a b a b ??+?+ ?+??==-??--? ???.
(2)
0.30.20.05x y x y +-(0.30.2)1003020(0.05)1005100x y x y x y x y +?+==-?-5(64)645(20)20x y x y
x y x y
++==--;
(3)原式22222222(0.40.3)1004030(0.250.6)1002560x y x y x y x y +?+==-?-2222
22
22
5(86)865(512)512x y x y x y x y ++==--; 【总结升华】在确定分子和分母中所有分母的最小公倍数时,要把小数先化成最简分数;相
乘时分子、分母要加括号,注意不要漏乘. 类型二、分式运算
3、计算:
24
11241111x x x x +++-+++. 【思路点拨】本题如果直接通分计算太繁琐,观察比较发现,前两个分式分母之积为平方差
公式,通分后与第三个分式的分母又符合平方差公式,以此类推可解此题. 【答案与解析】 解:原式224448
224448
111111x x x x x x
=
++=+=-++-+-. 【总结升华】此类题在进行计算时采用“分步通分”的方法,逐步进行计算,达到化繁为简的目的.在解题时既要看到局部特征,又要全局考虑. 举一反三: 【变式】计算111(1)(1)(2)(2)(3)a a a a a a ++++++++ (1)
(2005)(2006)
a a +++.
【答案】 解:原式11111111223a a a a a a ??????=-+-+-+
? ? ?+++++??????…1120052006a a ??+- ?++??
11111111223a a a a a a =
-+-+-++++++ (11)
20052006
a a +-
++ 211200620062006(2006)(2006)2006a a a a a a a a a a
+=
-=-=++++. 类型三、分式条件求值的常用技巧
【405794 分式全章复习与巩固 例5】
4、已知1
4x x
+=,求2421x x x ++的值.
【思路点拨】直接求值很困难,根据其特点和已知条件,能够求出其倒数的值,这样便可求
出2
42
1
x x x ++的值. 【答案与解析】
解:方法一:∵ 424222
2222
1(1)11x x x x x x x x x x ++++÷==++÷
2
221111x x x x ???
?=++=+- ? ?????,而14x x +=,
∴ 422115x x x ++=,∴ 2421
115
x x x =++.
方法二:原式224222211(1)1x x x x x x x ÷==++÷++22111x x =??++ ???211
1511x x ==??+- ??
?. 【总结升华】(1)本题运用转化思想将所求分式通过分式的基本性质转化为已知分式的代
数式来求值.(2)根据完全平方公式,熟练掌握1x x +、2
21x x
+、4221x x x ++之间的关系,
利用它们之间的关系进行互相转化.
举一反三:
【变式】(2015春?惠州校级月考)若0<x <1,且的值.
【答案】 解:∵x+=6,
∴(x ﹣)2
=(x+)2
﹣4=36﹣4=32, ∴x ﹣=±4
,
又∵0<x <1, ∴x ﹣=﹣4
.
5、设0abc ≠,且3270a b c +-=,74150a b c +-=,求222
222
45623a b c a b c
--++的值. 【答案与解析】
解:解关于a 、b 的方程组327074150a b c a b c +-=??
+-=? 得2a c
b c
=??=?.
把2a c
b c =??
=?
代入原式中, ∴ 原式2222222245(2)62211
2(2)3126
c c c c c c c c ---===-++.
【总结升华】当所求分式的分子、公母无法约分,也无法通过解方程组后代入求值时,若将
两个三元一次方程中的一个未知数当作已知数时,即可通过解方程组代入求值. 举一反三:
【变式】已知2
2
230x xy y --=,且x y ≠-,求
2
x x y x y
-
-的值.
【答案】
解:因为2
2
230x xy y --=,
所以()(23)0x y x y +-=, 所以0x y +=或230x y -=,
又因为x y ≠-,所以0x y +≠, 所以230x y -=,所以2
3
y x =, 所以
2
22233
x x x x y x x y
x x =
-
-
--32
7733
3
x x x x x =
=
=---. 类型四、分式方程的解法
6、解方程
2
635
25(3)(5)(3)(5)
x x x x x =+-+++-. 【答案与解析】 解:原方程整理得:
635
(5)(5)(3)(5)(3)(5)
x x x x x x =++-+++-
方程两边同乘以(3)(5)(5)x x x ++-得:
6(3)3(5)5(5)x x x +=-++
去括号,移项合并同类项得:28x =,∴ 4x =. 检验:把4x =代入(3)(5)(5)(5)0x x x x +++-≠
∴ 4x =是原方程的根.
【总结升华】解分式方程的基本思想是:设法将分式方程“转化”为整式方程,去分母是解分式方程的一般方法,在方程两边同乘以各分式的最简公分母,使分式方程转化为整式方程.但要注意可能会产生增根,所以必须验根. 举一反三:
【变式】(2015春?靖江市校级月考)若关于x 的方程﹣
=
有增根,求增根
和k 的值.
【答案】解:最简公分母为3x (x ﹣1),
去分母得:3x+3k ﹣x+1=﹣2x ,
由分式方程有增根,得到x=0或x=1,
把x=0代入整式方程得:k=﹣; 把x=1代入整式方程得:k=﹣. 类型五、分式方程的应用
7、(2015?扬州)扬州建城2500年之际,为了继续美化城市,计划在路旁栽树1200棵,由于志愿者的参加,实际每天栽树的棵数比原计划多20%,结果提前2天完成,求原计划每天栽树多少棵?
【思路点拨】设原计划每天种树x 棵,则实际每天栽树的棵数为(1+20%),根据题意可得,实际比计划少用2天,据此列方程求解. 【答案与解析】
解:设原计划每天种树x 棵,则实际每天栽树的棵数为(1+20%),
由题意得,
﹣
=2,
解得:x=100,
经检验,x=100是原分式方程的解,且符合题意. 答:原计划每天种树100棵.
【总结升华】本题考查了分式方程的应用,解答本题的关键是读懂题意,设出未知数,找出合适的等量关系,列方程求解,注意检验. 举一反三:
【变式】某项工程限期完成,甲队独做正好按期完成,乙队独做则要误期3天.现两队合做
2天后,余下的工程再由乙队独做,也正好在限期内完成,问该工程限期是多少天?
【答案】
解:设该工作限期为x 天,则甲队的工作效率为
1x ,乙队的工作效率为13
x +. 依题意列出方程:
1
112(2)133x x x x ??++-?= ?
++??
. 整理,得
213
x
x x +=+. 两边都乘以(3)x x +,得2
2(3)(3)x x x x ++=+. 解这个整式方程,得6x =. 经检验,6x =是原方程的根. 答:该工程限期是6天.
人教版八年级下学期数学知识点总结
八年级下册数学知识点总结 第十六章 二次根式 16.1二次根式 1.二次根式:一般地,我们把形如a (a 0≥)的式子叫二次根式。 2.两个重要公式: (1) )0a (a )a (2≥=; (2) ???<-≥==)0a (a )0a (a a a 2 3.二次根式的乘法法则: )0b ,0a (ab b a ≥≥=?. 5.二次根式比较大小的方法: (1)利用近似值比大小;(414.12=、732.13=、236.25=) (2)把二次根式的系数移入二次根号内,然后比大小; (3)先分别平方,然后比较大小。 16.2二次根式的乘除 6.二次根式的除法法则: (1))0b ,0a (b a b a >≥=或)0b ,0a (b a b a >≥÷=÷; (2)分母有理化:消掉分母中的根号的过程叫做分母有理化。 7.最简二次根式: (1)被开方数不含分母 ; (2)被开方数中不含能开的尽的因数或因式。 8.同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式叫做同类二次根式. 16.3二次根式的加减 9.一般地,二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将同类二次根式进行合并。 第十七章 勾股定理 17.1 勾股定理 如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么222a b c +=,这就叫勾股定理。
17.2勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a,b,c满足222 +=,那么这个三角形是直角三角形。 a b c 互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。 第十八章平行四边形 18.1平行四边形 1.平行四边形定义:两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。 2.平行四边形的性质: (1)平行四边形的对边平行且相等 (2)平行四边形的对角相等、邻角互补 (3)平行四边形的对角线互相平分 3.平行四边形的判定: (1)两组对边分别相等的四边形叫平行四边形 (2)一组对边平行且相等的四边形叫平行四边形 (3)两组对角分别相等的四边形叫平行四边形 (4)对角线互相平分的四边形叫平行四边形 4.三角形中位线定理三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半 5.直角三角形上的中线等于斜边的一半 18.2特殊的平行四边形 1.矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫矩形 2.矩形的性质: (1)矩形的四个角都是直角 (2)矩形的对角线相等 3.矩形的判定: (1)对角线相等的平行四边形是矩形 (2)有三个角是直角的四边形是矩形 4.菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫菱形
八年级数学下册知识点总结(全)
八年级数学下知识点总结 函数及其相关概念 1、变量与常量 在某一变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量,数值保持不变的量叫做常量。 一般地,在某一变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就说x就是自变量,y就是x的函数。 2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围。 3、函数的三种表示法及其优缺点 (1)解析法 两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示,这种表示法叫做解析法。 (2)列表法 把自变量x的一系列值与函数y的对应值列成一个表来表示函数关系,这种表示法叫做列表法。 (3)图像法:用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 4、由函数解析式画其图像的一般步骤 (1)列表:列表给出自变量与函数的一些对应值 (2)描点:以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点 (3)连线:按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来。 正比例函数与一次函数 1、正比例函数与一次函数的概念 一般地,如果(k,b就是常数,k0),那么y叫做x的一次函数。特别地,当一次函数中的b为0时,(k为常数,k0)这时,y叫做x的正比例函数。 2、一次函数的图像 所有一次函数的图像都就是一条直线。 3、一次函数、正比例函数图像的主要特征: 一次函数的图像就是经过点(0,b)的直线;正比例函数的图像就是经过原点 (0,0)的直线。(如下图) 4、正比例函数的性质 一般地,正比例函数有下列性质: (1)当k>0时,图像经过第一、三象限,y随x的增大而增大; (2)当k<0时,图像经过第二、四象限,y随x的增大而减小。 5、一次函数的性质 一般地,一次函数有下列性质: (1)当k>0时,y随x的增大而增大 (2)当k<0时,y随x的增大而减小 6、正比例函数与一次函数解析式的确定
新人教版八年级数学分式典型例题(供参考)
分式的知识点及典型例题分析 1、分式的定义: 例:下列式子中,y x +15、8a 2 b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2-a 2、m 1、65xy x 1、21、212+x 、πxy 3、 y x +3、m a 1 +中分式的个数为( ) (A ) 2 (B ) 3 (C ) 4 (D) 5 练习题:(1)下列式子中,是分式的有 . ⑴275x x -+; ⑵ 123 x -;⑶25a a -;⑷22x x π--;⑸22b b -;⑹22 2xy x y +. (2)下列式子,哪些是分式? 5a -; 234x +;3 y y ; 78x π+;2x xy x y +-;145b -+. 2、分式有,无意义,总有意义: 例1:当x 时,分式 51 -x 有意义; 例2:分式x x -+212中,当____=x 时,分式没有意义 例3:当x 时,分式112-x 有意义。 例4:当x 时,分式1 2+x x 有意义 例5:x ,y 满足关系 时,分式 x y x y -+无意义; 例6:无论x 取什么数时,总是有意义的分式是( ) A . 122+x x B.12+x x C.133+x x D.2 5 x x - 例7:使分式2 +x x 有意义的x 的取值范围为( )A .2≠x B .2-≠x C .2->x D .2 新人教版八年级下册数学知识点总结归纳期末总复习 一、 第十六章 二次根式 【知识回顾】 : 2.最简二次根式:必须同时满足下列条件: ⑴被开方数中不含 开方开的尽的因数或因式; ⑵被开方数中不含分母; ⑶分母中不 含根式。 3.同类二次根式: 二次根式化成最简二次根式后,若被开方数 相同,则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质: (1)(1)(a )2=a (a ≥0); (2) ==a a 2 5.二次根式的运算: (1)因式的外移和内移:如果被开方数中 有的因式能够开得尽方,那么,就可以用它的算术根代替而移到根号 外面;如果被开方数是代数和的形式,那么先解因式,?变形为积的 形式,再移因式到根号外面,反之也可以将根号外面的正因式平方后 移到根号里面. (2)二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二 a (a >0) a -(a <0) 0 (a =0); 都适用于二次根式的运算 二、第十七章 勾股定理 归纳总结 1.勾股定理:如果直角三角形的两直角边长分别为a ,b ,斜边 长为c ,那么c b a 222=+ 应用: (1)已知直角三角形的两边求第三边(在ABC ?中,90C ∠=?, 则 c = ,b = ,a =) (2)已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边。 2、勾股定理逆定理:如果三角形三边长a,b,c 满足c b a 222=+那么 这个三角形是直角三角形。 应用: 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一 种重要方法。 (定理中a ,b ,c 及222a b c +=只是一种表现形式,不可认为是唯一 的,如若三角形三边长a ,b ,c 满足222a c b +=,那么以a ,b ,c 为三 边的三角形是直角三角形,但是b 为斜边) 3、勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即 222a b c +=中,a ,b ,c 为正整数时,称a ,b ,c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10; 5,12,13;7,24,25等 4.直角三角形的性质 (1)直角三角形的两个锐角互余。可表示如下:∠C=90°?∠A+∠B=90° (2)在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° ?BC=2 1AB ∠C=90° 初二数学(下)应知应会的知识点 二次根式 1.二次根式:一般地,式子)0a (,a ≥叫做二次根式.注意:(1)若0a ≥这个条件不成立,则 a 不是二次根式;(2)a 是一个重要的非负数,即;a ≥0. 2.重要公式:(1))0a (a )a (2≥=,(2)? ??<-≥==)0a (a )0a (a a a 2 ; 注意使用)0a ()a (a 2≥=. 3.积的算术平方根:)0b ,0a (b a ab ≥≥?=,积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积;注意:本章中的公式,对字母的取值范围一般都有要求. 4.二次根式的乘法法则: )0b ,0a (ab b a ≥≥=?. 5.二次根式比较大小的方法: (1)利用近似值比大小; (2)把二次根式的系数移入二次根号内,然后比大小; (3)分别平方,然后比大小. 6.商的算术平方根:)0b ,0a (b a b a >≥=,商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 7.二次根式的除法法则: (1) )0b ,0a (b a b a >≥= ; (2))0b ,0a (b a b a >≥÷=÷; (3)分母有理化:化去分母中的根号叫做分母有理化;具体方法是:分式的分子与分母同乘分母的 有理化因式,使分母变为整式. 8.常用分母有理化因式: a a 与,b a b a +-与, b n a m b n a m -+与,它 们也叫互为有理化因式. 9.最简二次根式: (1)满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式,① 被开方数的因数是整数,因式是整式, ② 被开方数中不含能开的尽的因数或因式; (2)最简二次根式中,被开方数不能含有小数、分数,字母因式次数低于2,且不含分母; (3)化简二次根式时,往往需要把被开方数先分解因数或分解因式; (4)二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式. 八年级数学(上)知识点 人教版八年级上册主要包括三角形、全等三角形、轴对称、整式的乘除与分解因式和分式五个章节的内容。 第十一章三角形 一.知识框架 二.知识概念 1.三角形:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2.三边关系:三角形任意两边的和大于第三边,任意两边的差小于第三边。 3.高:从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。 4.中线:在三角形中,连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。 5.角平分线:三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 6.三角形的稳定性:三角形的形状是固定的,三角形的这个性质叫三角形的稳定性。 6.多边形:在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。 7.多边形的内角:多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。 8.多边形的外角:多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 9.多边形的对角线:连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线。 10.正多边形:在平面内,各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形。 11.公式与性质 三角形的内角和:三角形的内角和为180° 三角形外角的性质: 性质1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 性质2:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 多边形内角和公式:n边形的内角和等于(n-2)·180° 多边形的外角和:多边形的内角和为360°。 多边形对角线的条数:(1)从n边形的一个顶点出发可以引(n-3)条对角线,把多边形分词(n-2)个三角形。 初二下数学期末知识点回顾 分式 知识要点 1.分式的有关概念 设A 、B 表示两个整式.如果B 中含有字母,式子 B A 就叫做分式.注意分母B 的值不能为零,否则分式没有意义 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式,要进行约分化简 2、分式的基本性质 ,M B M A B A ??= M B M A B A ÷÷=(M 为不等于零的整式) 3.分式的运算 (分式的运算法则与分数的运算法则类似). bd bc ad d c b a ±=± (异分母相加,先通分); ;;bc ad c d b a d c b a b d ac d c b a =? =÷=? .)(n n n b a b a = 4.零指数)0(10 ≠=a a 5.负整数指数 ).,0(1 为正整数p a a a p p ≠= - 注意正整数幂的运算性质 n n n mn n m n m n m n m n m b a ab a a a a a a a a a ==≠=÷=?-+)(,)(),0(, 可以推广到整数指数幂,也就是上述等式中的m 、 n 可以是O 或负整数. 6、解分式方程的一般步骤:在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母,化为整式方程.解这个整式方程..验根,即把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零,若结果不是0,说明此根是原方程的根;若结果是0,说明此根是原方程的增根,必须舍去. 7、列分式方程解应用题的一般步骤: (1)审清题意;(2)设未知数(要有单位);(3)根据题目中的数量关系列出式子,找出相等关系,列出方程;(4)解方程,并验根,还要看方程的解是否符合题意;(5)写出答案(要有单位)。 1. (-5)0 =_____; 2. 3-2 =________;3. 当x_________时,分式 1x+1 有 意义; 初二数学知识点总结 函数的定义,函数的定义域、值域、表达式,函数的图像2 一次函数和正比例函数,及其表达式、增减性、图像3 从函数的观点看方程、方程组和不等式如果当x=a时y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k叫做比例系数。形如y=kx+b(k,b 是常数,k≠0)的函数,叫做一次函数。正比例函数是一种特殊的一次函数。当k>0时,y随x的增大而增大;当k<0时,y随x的增大而减小。 一、、常量、变量在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量,数值始终不变的量叫做常量。 二、函数的概念函数的定义:一般的,在一个变化过程中如有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定值,y都有唯一确定的值与其对应,那么就说x是自变量,y是x的函数、 三、函数中自变量取值范围的求法(1)用整式表示的函数,自变量的取值范围是全体实数。(2)用分式表示的函数,自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。(3)用奇次根式表示的函数,自变量的取值范围是全体实数。 用偶次根式表示的函数,自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一切实数。(4)若解析式由上述几种形式综合而成,须先求出各部分的取值范围,然后再求其公共范围,即为自变量 的取值范围。(5)对于与实际问题有关系的,自变量的取值范围应使实际问题有意义。 四、函数图象的定义一般的,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么在坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象。 五、用描点法画函数的图象的一般步骤 1、列表:表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。注意:列表时自变量由小到大,相差一样,有时需对称。 2、描点:在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点。 3、连线:按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来。六、函数有三种表示形式(1)列表法(2)图像法(3)解析式法七、正比例函数与一次函数的概念:一般地,形如y=kx(k为常数,且k≠0)的函数叫做正比例函数,其中k叫做比例系数。 一般地,形如y=kx+b (k,b为常数,且k≠0)的函数叫做一次函数。、当b =0 时,y=kx+b 即为 y=kx,所以正比例函数是一次函数的特例、。八、正比例函数的图象与性质图象:正比例函数y= kx (k 是常数,k≠0) 的图象是经过原点的一条直线,称之为直线y= kx 。 性质:当k>0时,直线y= kx经过第三,一象限,从左向右上升,即随着x的增大y也增大;当k<0时,直线y= kx经过二,四 15 . 1分式 第 1 课时从分数到分式 教学目标 1.了解分式的概念,知道分式与整式的区别和联系. 2.了解分式有意义的含义,会根据具体的分式求出分式有意义时字母所满足的条件. 3.理解分式的值为零、为正、为负时,分子分母应具备的条件. 教学重点 分式的意义. 教学难点 准确理解分式的意义,明确分母不得为零. 教学设计一师一优课一课一名师( 设计者:) 教学过程设计 一、创设情景,明确目标 一艘轮船在静水中的最大航速是20 km/h,它沿江以最大船速顺流航行100 km所用时间, 与以最大航速逆流航行60 km 所用的时间相等.江水的流速是多少? 提示:顺流速度=水速+静水中的速度;逆流速度=静水中的速度-水速. ● 自主学习指向目标 1.自学教材第 127 至 128 页. 2.学习至此:请完成《学生用书》相应部分. 三、合作探究,达成目标 探究点一分式的概念 S V10060 活动一:阅读教材思考问题:式子a ,S以及式 子20+ v 和 20- v 有什么共同特点?它们与 分数有什么相同点和不同点? 展示点评:如果 A,B 表示两个 ________( 整式 ) ,并且 B 中含有 ________( 字母 ) ,那么式A 子B叫做分式. 小组讨论:如何判断一个式子是否为分式?分式与整式有什么区别?最新人教版八年级下册数学知识点总结归纳
初二数学下册知识点总结(最新最全)
初中八年级数学知识点总结
初二数学下学期知识点总结
初二数学知识点总结
(完整版)人教版八年级数学上分式教案.docx