高中数学-导数的几何意义及应用

高中数学

导数及其应用复习学案

类型一：利用导数研究函数的图像

例2、若函数()y f x =的导函数．．．

在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象 可能是（ ）

(A) (B) (C) (D)

练习1．如右图：是f （x ）的导函数，

)(/x f 的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可能是（ ）

（A ） （B ） （C ） （D ）

2．设f '(x )是函数f (x )的导函数，y =f '(x )的图象如右图所示，则y =f (x )的图象最有可能的是 （ ）

B ．

C ． 类型二：导数几何意义的应用

例3、（1）求曲线21x y x =

-在点()1,1处的切线方程。（2）求抛物线y=2x 过点5,62⎛⎫ ⎪⎝⎭

的切线方程 y x y y x y x y x O 1 2 O 1 2 O 1 2 1 2 x

y O 1 2 例1、设a ＜b,函数y=(x-a)2(x-b)的图象可能是( ) a b a b a o x o x y o x y o x y

32151,09425217257.1..76444644y x y ax x a B C D ==+

----练习：若存在过点（）的直线和都相切，则等于（）A.-1或-或或-或

7．曲线y ＝x 2－2x ＋a 与直线y ＝3x ＋1相切时，常数a 的值是________．

类型三：利用导数研究函数的单调性

例4、已知a ，b 为常数，且a ≠0，函数f （x ）=-ax+b+axlnx ，f(e)=2（e=2.71828…是自然对数的底数）. （I ）求实数b 的值；

（II ）求函数f （x ）的单调区间；

例5、已知函数f(x)=

ax 1x 2

++在(－2，＋∞)内单调递减，求实数a 的取值范围.

练习：若函数y =3

1x 3－21ax 2+（a －1）x +1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）内为增函数，试求实数a 的取值范围

类型四：导数与极值 ()ln 6x f x x

=

例、求函数的极值。

()3227310,f x x ax bx a x a b =+++=-例、已知在有极值，求常数的值。

练习1、已知f(x)=x 3+ax 2

+(a+6)x+1有极大值和极小值，则a 的取值范围是( )

（A ）-1＜a ＜2 （B ）-3＜a ＜6

（C ）a ＜-1或a ＞2 （D ）a ＜-3或a ＞6

2、直线y ＝a 与函数f(x)＝x 3－3x 的图象有相异的三个公共点，则求a 的取值范围。

类型五：导数与最值

例8、已知函数f(x)=(x-k)e x .

(1)求f(x)的单调区间；

(2)求f(x)在区间［0,1］上的最小值.

练习：已知函数f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，问是否存在实数a 、b ，使f (x )在[－1,2]上取得最大值3，最小值－29？若存在，求出a 、b 的值；若不存在，请说明理由．

类型六：导数的综合应用

例9、设函数x b ax x x f ln )(2++=，曲线)(x f y =过点P （1，0），且在P 点处的切斜线率为2．

（I ）求a ，b 的值；

（II ）证明：f (x)2x 2≤-．

例10、已知函数f(x)=2ax x b

+在x=1处取得极值2. （1）求函数f(x)的表达式；

（2）当m 满足什么条件时，函数f(x)在区间(m,2m+1)上单调递增？

例11、设()ln f x x =，()()()g x f x f x '=+．

（Ⅰ）求()g x 的单调区间和最小值；

（Ⅱ）讨论()g x 与1()g x 的大小关系；

（Ⅲ）求a 的取值范围，使得()()g a g x -＜1a

对任意x ＞0成立．

类型七：生活中的导数

例12、用半径为R 的圆铁皮剪一个内接矩形，再将内接矩形卷成一个圆柱(无底、无盖)，问使矩形边长为多少时，其体积最大？