2018年全国卷1理科数学试题详细解析

2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国I 卷）

理科数学

解析人 跃华

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的、号填写在答题卡上，

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{}{}

131x A x x B x =<=<，，则（）

A ．{}0=

B x x B ．A B =R U

C ．{}1=>U A B x x

D ．A B =?I

【答案】A

【解析】{}1A x x =<，{}{}310x

B x x x =<=<

∴{}0A B x x =

2. 如图，正方形ABCD 的图形来自中国古代的太极图.正方形切圆中的黑色部分和白色部

分位于正方形的中心成中心对称，在正方形随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）

A ．14

B ．π8

C ．

12

D ．

π4

【答案】B

【解析】设正方形边长为2，则圆半径为1

则正方形的面积为224?=，圆的面积为2π1π?=，图中黑色部分的概率为π2

则此点取自黑色部分的概率为π

π248

=

故选B

3. 设有下面四个命题（）

1p ：若复数z 满足1

z

∈R ，则z ∈R ；

2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；

3p ：若复数12z z ，满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R ．

A ．13p p ，

B ．14p p ，

C ．23p p ，

D ．24p p ，

【答案】B

【解析】1:p 设z a bi =+，则

2211a bi z a bi a b

-==∈++R ，得到0b =，所以z ∈R .故1P 正确； 2:p 若z =-21，满足2z ∈R ，而z i =，不满足2z ∈R ，故2p 不正确；

3:p 若1z 1=，2z 2=，则12z z 2=，满足12z z ∈R ，而它们实部不相等，不是共轭复

数，故3p 不正确；

4:p 实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p 正确；

4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4562448a a S +==，，则{}n a 的公差为（） A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

【答案】C

【解析】45113424a a a d a d +=+++=

6165

6482

S a d ?=+

= 联立求得11

272461548a d a d +=???+=??①

②

3?-①②得()211524-=d

624d =

4d =∴

选C

5. 函数()f x 在()-∞+∞，单调递减，且为奇函数．若()11f =-，则满足()121f x --≤≤的

x 的取值围是（）

A ．[]22-，

B ．[]11-，

C ．[]04，

D ．[]13，

【答案】D

【解析】因为()f x 为奇函数，所以()()111f f -=-=，

于是()121f x --≤≤等价于()()()121f f x f --≤≤| 又()f x 在()-∞+∞，单调递减 121x ∴--≤≤

3x ∴1≤≤ 故选D

6. ()62111x x ?

?++ ??

?展开式中2x 的系数为

A ．15

B ．20

C ．30

D ．35

【答案】C.

【解析】()()()66622111+1111x x x x x ??

+=?++?+ ???

对()61x +的2x 项系数为2

665C 152

?==

对()6211x x

?+的2x 项系数为46C =15， ∴2x 的系数为151530+=

故选C

7. 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，

正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形，这些梯形的面积之和为

A ．10

B ．12

C ．14

D ．16

【答案】B

【解析】由三视图可画出立体图

该立体图平面只有两个相同的梯形的面 ()24226S =+?÷=梯

6212S =?=全梯 故选B

8. 右面程序框图是为了求出满足321000n n ->的最小偶数n ，那么在

和

两

个空白框中，可以分别填入

A ．1000A >和1n n =+

B ．1000A >和2n n =+

C ．1000A ≤和1n n =+

D ．1000A ≤和2n n =+ 【答案】D

【答案】因为要求A 大于1000时输出，且框图中在“否”时输出

∴“

”中不能输入A 1000>

排除A 、B

又要求n 为偶数，且n 初始值为0， “”中n 依次加2可保证其为偶 故选D

9. 已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ?

?=+ ??

?，则下面结论正确的是（）

A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π

6

个单位长度，得到曲线2C

B ．把1

C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12

个单位长度，得到曲线2C

C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6

个单位长度，得到曲线2C

D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π

12

个单位长度，得到曲线2C 【答案】D

【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23?

?=+ ??

?C y x

首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理．

πππcos cos sin 222???

?==+-=+ ? ????

?y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，

即112

πππsin sin 2sin 2224??

????=+????????

?→=+=+ ? ? ??????

?C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来 2ππsin 2sin 233???

???→=+=+ ? ????

?y x x ．

注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+

x 平移至π

3

+x ， 根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π

12

．

10. 已知F 为抛物线C ：24y x =的交点，过F 作两条互相垂直1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、

B 两点，直线2l 与

C 交于

D ，

E 两点，AB DE +的最小值为（）

A ．16

B ．14

C ．12

D ．10

【答案】A 【解析】

设AB 倾斜角为θ．作1AK 垂直准线，2AK 垂直x 轴 易知1

1cos 22?

??+=??

=??

???=--= ?????

AF GF AK AK AF P P GP P

θ（几何关系）

（抛物线特性）

cos AF P AF θ?+=∴

同理1cos P AF θ=

-，1cos P

BF θ=+

∴22221cos sin P P

AB θθ

=

=- 又DE 与AB 垂直，即DE 的倾斜角为π

2

θ+

2222πcos sin 2P P

DE θθ==

??+ ???

而24y x =，即2P =．

∴22

112sin cos AB DE P θθ??+=+ ???

2222sin cos 4sin cos θθ

θθ+=224sin cos θθ=24

1sin 24

=θ 21616sin 2θ=≥，当π

4

θ=取等号 即AB DE +最小值为16，故选A

11. 设x ，y ，z 为正数，且235x y z ==，则（）

A ．235x y z <<

B ．523z x y <<

C ．352y z x

<< D ．325y x z <<

【答案】D

【答案】取对数：ln 2ln3ln5x y ==.

ln33ln 22

x y => ∴23x y > ln2ln5x z = 则ln55ln 22

x z =< ∴25x z <∴325y x z <<，故选D

12. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，

他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是02，

接下来的两项是02，12，在接下来的三项式62，12，22，依次类推，求满足如下条件的最小整数N ：100N >且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ） A ．440 B ．330 C ．220 D ．110 【答案】A

【解析】设首项为第1组，接下来两项为第2组，再接下来三项为第3组，以此类推．

设第n 组的项数为n ，则n 组的项数和为()12

n n +

由题，100N >，令

()11002

n n +>→14n ≥且*n ∈N ，即N 出现在第13组之后

第n 组的和为12

2112

n

n -=--

n 组总共的和为

(

)2122

212

n n

n n --=---

若要使前N 项和为2的整数幂，则()12

n n N +-项的和21k -应与2n --互为相反

数

即()

*

21214k n k n -=+∈N ，

≥ ()2log 3k n =+

→295n k ==，

则()

2912954402

N ?+=

+=

故选A

二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知向量a r ，b r

的夹角为60?，2a =r ，1b =r ，则2a b +=r r ________．

【答案】【解析】()

2

2222(2)22cos602a b a b a a b b

+=+=+????+r r r r r u u r r

22

1

222222

=+???+444=++12=

∴2a b +=r u u r

14. 设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤??

+≥-??-≤?

，则32z x y =-的最小值为_______．

【答案】5-

不等式组21210x y x y x y +≤??

+≥-??-≤?

表示的平面区域如图所示

2x +y +1=0

由32z x y =-得322

z y x =

-， 求z 的最小值，即求直线322

z

y x =-的纵截距的最大值

当直线322

z

y x =-过图中点A 时，纵截距最大

由2121

x y x y +=-??+=?解得A 点坐标为(1,1)-，此时3(1)215z =?--?=-

15. 已知双曲线22

22:x y C a b

-，（0a >，0b >）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，

圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若60MAN ∠=?，则C 的离心率为_______．

【解析】如图，

OA a =，AN AM b ==

∵60MAN ∠=?

，∴3

AP b =

，22

2234

OP OA PA a b =-=-

∴2

232tan 34

b AP OP a b

θ==-

又∵tan b a

θ=，∴

22

3234

b

b a a b =-，解得223a b = ∴22123

113b e a =+=+=

16. 如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O ，

D 、

E 、

F 为元O 上的点，DBC △，ECA △，FAB △分别是一BC ，CA ，AB 为底边

的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起DBC △，ECA △，

FAB △，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当ABC △的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：3cm ）的最大值为_______．

【答案】415【解析】由题，连接OD ，交BC 与点G ，由题，OD BC ⊥

3

OG =

，即OG 的长度与BC 的长度或成正比 设OG x =，则23BC x =，5DG x =-

三棱锥的高22225102510h DG OG x x x x --+--21

233332

ABC S x x =?=△

则21

325103

ABC V S h x x =?=-△45=32510x x -

令()452510f x x x =-，5

(0,)2

x ∈，()3410050f x x x '=-

令()0f x '>，即4320x x -<，2x <

则()()280f x f =≤ 则38045V ?=≤

∴体积最大值为3415cm

三、 解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。

17. ABC △的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为23sin a

A

．

（1）求sin sin B C ；

（2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长．

【解析】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用.

（1）∵ABC △面积2

3sin a S A

=.且1sin 2S bc A =

∴

21

sin 3sin 2

a bc A A = ∴22

3sin 2

a bc A =

∵由正弦定理得22

3sin sin sin sin 2A B C A =，

由sin 0A ≠得2

sin sin 3B C =.

（2）由（1）得2sin sin 3B C =，1

cos cos 6

B C =

∵πA B C ++=

∴()()1

cos cos πcos sin sinC cos cos 2

A B C B C B B C =--=-+=-=

又∵()0πA ∈，

∴60A =?，3

sin A =

1cos 2A =

由余弦定理得2229a b c bc =+-= ①

由正弦定理得sin sin a b B A =

?，sin sin a c C A

=?

∴2

2sin sin 8sin a bc B C A

=?= ②

由①②得33b c +=

∴333a b c ++=+，即ABC △周长为333+

18. （12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥中，且90BAP CDP ∠=∠=?．

（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；

（2）若PA PD AB DC ===，90APD ∠=?，求二面角A PB C --的余弦值． 【解析】（1）证明：∵90BAP CDP ∠=∠=?

∴PA AB ⊥，PD CD ⊥

又∵AB CD ∥，∴PD AB ⊥

又∵PD PA P =I ，PD 、PA ?平面PAD ∴AB ⊥平面PAD ，又AB ?平面PAB ∴平面PAB ⊥平面PAD

（2）取AD 中点O ，BC 中点E ，连接PO ，OE ∵AB CD

∴四边形ABCD 为平行四边形 ∴OE AB

由（1）知，AB ⊥平面PAD

∴OE ⊥平面PAD ，又PO 、AD ?平面PAD ∴OE PO ⊥，OE AD ⊥ 又∵PA PD =，∴PO AD ⊥ ∴PO 、OE 、AD 两两垂直

∴以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -

设2PA =，∴()

002D -，

，、()220B ，，、()002P ，，、()

202C -，，， ∴()

022PD =--u u u r ，，、()222PB =-u u u r ，，、

()

2200BC =-u u u r ，， 设()n x y z =r

,,为平面PBC 的法向量

由00n PB n BC ??=???=??r u u u r

r u u u r ，得2220

220

x y z x ?+-=??-=?? 令1y =，则2z =，0x =，可得平面PBC 的一个法向量()

012n =r ,,

∵90APD ∠=?，∴PD PA ⊥

又知AB ⊥平面PAD ，PD ?平面PAD ∴PD AB ⊥，又PA AB A =I ∴PD ⊥平面PAB

即PD u u u r

是平面PAB 的一个法向量，()

022PD =--u u u r ,,

∴cos

PD n

PD n

PD n

?

===

?

u u u r r

u u u r r

u u u r r

,

由图知二面角A PB C

--

为钝角，所以它的余弦值为

19.（12分）

为了抽检某种零件的一条生产线的生产过程，实验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布()2

Nμσ

，．

（1）假设生产状态正常，记X表示一天抽取的16个零件中其尺寸在()

33

μσμσ

-+

，之外的零件数，求()1

P X≥及X的数学期望；

（2）一天抽检零件中，如果出现了尺寸在()

33

μσμσ

-+

，之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（I）试说明上述监控生产过程方法的合理性：

（II）下面是检验员在一天抽取的16个零件的尺寸：

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

经计算得

16

1

9.97

i

i

x x

=

==

∑，

0.212

s=，其中

i

x为抽取的第i个零件的尺寸，1216

i=L

，，，．

用样本平均数x作为μ的估计值?μ，用样本标准差s作为σ的估计值?σ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查，剔除()

????

33

μσμσ

-+

，之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．

附：若随机变量Z服从正态分布()2

Nμσ

，,则()

330.9974

P Z

μσμσ

-<<+=．16

0.99740.9592

≈0.09

≈．

【解析】（1）由题可知尺寸落在()

33

μσμσ

-+

，之的概率为0.9974，落在

()

33

μσμσ

-+

，之外的概率为0.0026．

()()0

016

16

0C10.99740.99740.9592

P X==-≈

()()

11010.95920.0408

P X P X

≥=-=≈-=

由题可知()

~160.0026

X B，

()160.00260.0416

E X

∴=?=

（2）（i）尺寸落在()

33

μσμσ

-+

，之外的概率为0.0026，

由正态分布知尺寸落在()

33

μσμσ

-+

，之外为小概率事件，

因此上述监控生产过程的方法合理．

（ii）

39.9730.2129.334

μσ

-=-?=

39.9730.21210.606

μσ

+=+?=

()()

339.33410.606

μσμσ

-+=

，，

()

9.229.33410.606

?

Q，，∴需对当天的生产过程检查．

因此剔除9.22 剔除数据之后：9.97169.22

10.0215

μ?-=

=．

()()()()()

()()()()()

()()()()()2

2

2

2

222

2

2

2

2

2

2

2

2

2

[9.9510.0210.1210.029.9610.029.9610.0210.0110.029.9210.029.9810.0210.0410.0210.2610.029.9110.02110.1310.0210.0210.0210.0410.0210.0510.029.9510.02]15

0.0σ=-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-?≈08

0.09σ∴≈

20. （12分）

已知椭圆C ：22

221x y a b +=()0a b >>，四点()111P ，，()201P ，

，31P ?- ??

，41P ? ??

中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；

（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A 、B 两点，若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点．

【解析】（1）根据椭圆对称性，必过3P 、4P

又4P 横坐标为1，椭圆必不过1P ，所以过234P P P ，，三点 将(

)23011P P ?- ??

，，代入椭圆方程得 2221

13

1

41b a

b ?=??

??+=??，解得24a =，21b = ∴椭圆C 的方程为：2

214

x y +=．

（2）①当斜率不存在时，设()():A A l x m A m y B m y =-，，，，

22112

1A A P A P B y y k k m m m

----+=

+==- 得2m =，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设()1l y kx b b =+≠∶ ()()1122A x y B x y ，，，

联立22

440

y kx b x y =+??+-=?，整理得()222148440k x kbx b +++-= 122814kb x x k -+=+，2122

44

14b x x k

-?=+ 则22121211P A P B y y k k x x --+=+()()212121

12

x kx b x x kx b x x x +-++-= 222

22

8888144414kb k kb kb k b k --++=-+

()()()

811411k b b b -=

=-+-，又1b ≠

21b k ?=--，此时64k ?=-，存在k 使得0?>成立．

∴直线l 的方程为21y kx k =-- 当2x =时，1y =- 所以l 过定点()21-，．

21. （12分）

已知函数()()2e 2e x x f x a a x =+--． （1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值围．

【解析】（1）由于()()2e 2e x x

f x a a x =+--

故()()()()22e 2e 1e 12e 1x x x x f x a a a '=+--=-+

①当0a ≤时，e 10x a -<，2e 10x +>．从而()0f x '<恒成立． ()f x 在R 上单调递减

②当0a >时，令()0f x '=，从而e 10x a -=，得ln x a =-．

0a ≤R 当0a >时，()f x 在(,ln )a -∞-上单调递减，在(ln ,)a -+∞上单调递增

（2）由（1）知，

当0a ≤时，()f x 在R 上单调减，故()f x 在R 上至多一个零点，不满足条件． 当0a >时，()min 1

ln 1ln f f a a a

=-=-+． 令()1

1ln g a a a =-

+． 令()()11ln 0g a a a a =-+>，则()211

'0g a a a

=+>．从而()g a 在()0+∞，

上单调增，而()10g =．故当01a <<时，()0g a <．当1a =时()0g a =．当1a >时()0g a >

若1a >，则()min 1

1ln 0f a g a a

=-+=>，故()0f x >恒成立，从而()f x 无零点，不满足条件． 若1a =，则min 1

1ln 0f a a

=-+=，故()0f x =仅有一个实根ln 0x a =-=，不满足条件．

若01a <<，则min 11ln 0f a a =-

+<，注意到ln 0a ->．()22

110e e e

a a f -=++->． 故()f x 在()1ln a --，

上有一个实根，而又31ln 1ln ln a a a ??

->=- ???

． 且

33ln 1ln 133ln(1)e e

2ln 1a a f a a a a ????

-- ? ?

??????????-=?+--- ? ? ? ???????

()3333132ln 11ln 10a a a a a a ????????

=-?-+---=---> ? ? ? ?????????

． 故()f x 在3ln ln 1a a ?

?

??-- ? ?????

，

上有一个实根． 又()f x 在()ln a -∞-，

上单调减，在()ln a -+∞，单调增，故()f x 在R 上至多两个实根．

又()f x 在()1ln a --，

及3ln ln 1a a ?

?

??-- ? ?????

，上均至少有一个实数根，故()f x 在R 上恰有两个实根．

综上，01a <<．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22. [选修4-4：坐标系与参考方程]

在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=??=?，

，

（θ为参数），直线l 的参数

方程为41x a t y t =+??=-?，

，

（t 为参数）．

（1）若1a =-，求C 与l 的交点坐标；

（2）若C 上的点到l

a ． 【解析】（1）1a =-时，直线l 的方程为430x y +-=．

曲线C 的标准方程是2

219

x y +=，

联立方程22

43019x y x y +-=???+=?

?，解得：30x y =??=?或2125

2425x y ?=-

????=??

， 则C 与l 交点坐标是()30，和21242525??

- ???

，

（2）直线l 一般式方程是440x y a +--=．

设曲线C 上点()3cos sin p θθ，． 则P 到l

距离

d =

=

，其中3tan

4

?=

． 依题意得：max d =16a =-或8a =

23. [选修4-5：不等式选讲]

已知函数()()2411f x x ax g x x x =-++=++-，． （1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；

（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[]11-，

，求的取值围． 【解析】（1）当1a =时，()2

4f x x x =-++，是开口向下，对称轴1

2

x =

的二次函数． ()211121121x x g x x x x x >??

=++-=-??-<-?

，，≤x ≤，，

当(1,)x ∈+∞时，令242x x x -++=

，解得x =

()g x 在()1+∞，上单调递增，()f x 在()1+∞，上单调递减 ∴此时()()f x g x ≥

解集为1? ??

． 当[]11x ∈-，

时，()2g x =，()()12f x f -=≥． 当()1x ∈-∞-，时，()g x 单调递减，()f x 单调递增，且()()112g f -=-=． 综上所述，()()f x g x ≥

解集1?-???

．

（2）依题意得：242x ax -++≥在[]11-，

恒成立． 即220x ax --≤在[]11-，

恒成立． 则只须()()2

2

1120

1120

a a ?-?-??----??≤≤，解出：11a -≤≤． 故取值围是[]11-，

．