高数二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题详解

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(1)如果 不是特征方程r2 pr q 0的根y* 则Qm(x)e x
(2)如果 是特征方程r2 pr q 0的单根y,*则 xQm(x)e x
提示
此时 2 p q 0 但2 p 0 要 使 ( * ) 式 成 立 Q(x) 应 设 为 m 1 次 多 项 式
Q(x) xQm(x) 其中Qm(x) b0xm b1xm 1
x 3x 1
0不是特征方程的根
所以非齐次方程的特解应设为
y* b0x b1 把它代入所3给b0方x程2b03得b1=3x1 比 较 两 端 x 同 次 幂 的 系 数 得 b 0 = 1 b 1 = 1 3
因 此 所 给 方 程 的 特 解 为 y * = x 1 3
=)e[Qx(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)]ex
下页
一、 f(x) Pm(x)e x 型
设方程y
py qy Pm(x)e x y特* 解Q形(x式)e为 则x 得
Q (x) (2 p)Q (x) ( 2 p q)Q(x) Pm
(1)如果 不是特征方程r2 pr q 0的根y* 则Qm(x)e x
x xe2x
2是特征方程的单根
所以非齐次方程的特解应设为 y* x(b0x b>1>)e>2x
把它代入所2给b0方x程2b0b得1=x 比 较 系 数 得 b 0 = 1 2 b 1 = 1 故 y * = x ( 1 2 x 1 ) e 2 x
提示 2b0=1
有形如
qy Pm(x)e x
y* xkQm(x)e x 的特解 其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式 而k按 不是 特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依
次取为0、1或2
下页
例1 求微分方程y 解 齐次方程y 因为f(x) Pm(x)e
2y 3y 3x 1的一个特解
2y 3y 0的特征方程为r2 2r 3
(3)如果 是特征方程r2 pr q 0的重根y,*则 x2Qm(x)e x
提示: 此时 2 p q 0 要使(*)式成立
Q(x) x2Qm(x) 其中Qm(x) b0xm b1xm
2 p0 Q(x) 应 设 为 m 2 次 多 项 式
1
下页 bm 1x bm
结论
二阶常系数非齐次线性微分方程
y
py
下页
例3 求微分方程yy=xcos2x的一个特解 解 齐次方程yy=0的特征方程为r21=0
因为f(x)=ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]=xcos2x i=2i不是
特征方程的根 所以所给方程的特解应设为
y*=(axb)cos2x(cxd)sin2x 把它代入所给方程 得 >>>
齐2b次0方b程1=y0
5y
特解形式Y C1e2x C2e3x
6y 0的通解为
例2 求微分方程y 解 齐次方程y 其根为r1 2 r2 3 因为f(x) Pm(x)e
5y 6y xe2x的通解 5y 6y 0的特征方程为r2 5r 6
x xe2x
2是特征方程的单根
所以非齐次方程的特解应设为
y* x(b0x b1)e2x 把它代入所2给b0方x程2b0b得1=x
比 较 系 数 得 b 0 = 1 2 b 1 = 1 故 y * = x ( 1 2 x 1 ) e 2 x 因此所给方程的通解为
y = C 1 e 2 x C 2 e 3 x 1 2 ( x 2 2 x ) e 2 x
特解形式
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二、
结f(论二x阶)=常e系lx数[非P齐l(次x线)c性o微型s分w方x程+Pn(x)sinwx]
§12.9二阶常系数非齐次线性 微分方程
一、f(x) Pm(x)e x型 二、f(x)=elx[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]型
方程y
py qy f(x)称为二阶常系数非齐次
线性微分方程 其中p、q是常数
二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐 次方程的通解y Y(x)与非齐次方程本身的一个特 解y y*(x)之和
提示 此时2pq0 要使(*)式成立 Q(x)应设为m次多项式
Qm(x)=b0xmb1xm1 bm1xbm
下页
一、 f(x) Pm(x)e x 型
设方程y
py qy Pm(x)e x y特* 解Q形(x式)e为 则x 得
Q (x) (2 p)Q (x) ( 2 p q)Q(x) Pm
y 有形如
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py qy e x[Pl(x)cos x Pn(x)sin x]
y* xke x[R(1)m(x)cos x R(2)m(x)sin x] 的 特 解 其 中 R(1)m(x) 、 R(2)m(x) 是 m 次 多 项 式 m max{l n} 而k按 i (或 i )不是特征方程的 根或是特>征>>方程的单根依次取0或1
下页 bm 1x bm
一、 f(x) Pm(x)e x 型
设方程y
py qy Pm(x)e x y特* 解Q形(x式)e为 则x 得
Q (x) (2 p)Q (x) ( 2 p q)Q(x) Pm
(1)如果 不是特征方程r2 pr q 0的根y* 则Qm(x)e x
(2)如果 是特征方程r2 pr q 0的单根y,*则 xQm(x)e x
提示 [b30bx0=3b1]
2[b0x b1] =32[bb00x3b0bx1] 3b1
=2b30b0x3b12=b01 3b1
特解形式
例2 求微分方程y 解 齐次方程y 其根为r1 2 r2 3 因为f(x) Pm(x)e
5y 6y xe2x的通解 5y 6y 0的特征方程为r2 5r 6
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一、
设方程y
f(x)
py
Pm(x)e
qy Pm(x)e
x
x 型 y特* 解Q形(x式)e为
则x 得
Q (x) (2 p)Q (x) ( 2 p q)Q(x) Pm
提示 y*
py* =[Q(qxy)*ex][Q(x)ex]q[Q(x)ex]
=[Q(x)+2Q(x)+2Q(x)]ex+p[Q(x)+Q(x)]ex+qQ(x
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