运筹学 第三版3

习题三

3.1 求解下表所示的运输问题，分别用最小元素法、西北角法和伏格尔法给出初始基可行解：

3.2由产地A1，A2发向销地B1，B2的单位费用如下表，产地允许存贮，销地允许缺货，存贮和缺货的单位运费也列入表中。求最优调运方案，使总费用最省。

13

3.5 某玩具公司分别生产三种新型玩具，每月可供量分别为1000、2000、2000件，它们分别被送到甲、乙、丙三个百货商店销售。已知每月百货商店各类玩具预期销售量均为1500件，由于经营方面原因，各商店销售不同玩具的盈利额不同,见下表。又知丙百货商店要求至少供应C玩具1000件，而拒绝进A玩具。求满足上述条件下使总盈利额最大的供销分配方案。

甲 乙 丙 可供量

A 5 4 － 1000

B 16 8 9 2000

C 12 10 11 2000

3.6 目前，城市大学能存贮200个文件在硬盘上，100个文件在计算机存贮器上，300个文件在磁带上。用户想存贮300个字处理文件，100个源程序文件，100个数据文件。每月，一个典型的字处理文件被访问8次，一个典型的源程序文件被访问4次，一个典型的数据文件被访问2次。3.9 某一实际的运输问题可以叙述如下：有n 个地区需要某种物资，需要量分别为b j （j ＝1,…,n ）。这些物资均由某公司分设在m 个地区的工厂供应，各工厂的产量分别为a i （i ＝1,…,m ），已知从i

地区的工厂至第j 个需求地区的单位物资的运价为c ij ，又∑=m

i i a 1

＝∑=n

j j b 1

，试阐述其对偶问题并解释

对偶变量的经济意义。

3.10. 为确保飞行安全，飞机上的发动机每半年必须强迫更换进行大修。某维修厂估计某种型号战斗机从下一个半年算起的今后三年内每半年发动机的更换需要量分别为：100，70，80，120，150，140。更换发动机时可以换上新的，也可以用经过大修的旧的发动机。已知每台新发动机的购置费为10万元，而旧发动机的维修有两种方式：快修，每台2万元，半年交货（即本期拆下来送修的下批即可用上）；慢修，每台1万元，但需一年交货（即本期拆下来送修的需下下批才能用上）。设该厂新接受该项发动机更换维修任务，又知这种型号战斗机三年后将退役，退役后这种发动机将报废。问在今后三年的每半年内，该厂为满足维修需要各新购、送去快修和慢修的发动机数各是多少，使总的维修费用为最省？（将此问题归结为运输问题，只列出产销平衡表与单位运价表，不求数值解。）

3.11甲、乙两个煤矿分别生产煤500万吨，供应A、B、C三个电厂发电需要，各电厂用量分别为300、300、400

如下列三个表所示。又煤可以直接运达，

案（最小总吨公里数）。

从到甲乙从到A B C

甲0 120 甲150 120 80

乙100 0 乙60 160 40

复习思考题

3.12 试述运输问题数学模型的特征，为什么模型的(m+n)个约束中最多只有(m+n一1)个是独立的。

3.13 试述用最小元素法确定运输问题的初始基可行解的基本思路和基本步骤。

3.14 为什么用伏格尔法给出的运输问题的初始基可行解，较之用最小元素法给出的更接近于最优解。

3.15 试述用闭回路法计算检验数的原理和经济意义，如何从任一空格出发去寻找一条闭回路。

3.16 概述用位势法求检验数的原理和步骤。

3.17 试述表上作业法计算中出现退化的涵义及处理退化的方法。

3.18 如何把一个产销不平衡的运输问题(含产大于销和销大于产)转化为产销平衡的运输问题。

3.19 一般线性规划问题应具备什么特征才可以转化并列出运输问题的数学模型，从而用表上作业法求解。

3.20 判断下列说法是否正确

(a)运输问题是一种特殊的线性规划模型，因而求解结果也可能出现下列四种情况之一：有唯一最优解，有无穷多最优解，无界解，无可行解；

(b)表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法；

(c)按最小元素法(或伏格尔法)给出的初始基可行解，从每一空格出发可以找出且仅能找出唯一的闭回路；

(d)如果运输问题单位运价表的某一行(或某一列)元素分别加上一个常数k，调运方案将不会发生变化；

(e)如果运输问题单位运价表的某一行(或某一列)元素分别乘上一个常数k，调运方案将不会发生变化；

(h)当所有产地产量和销地的销量均为整数值时，运输问题的最优解也为整数。

第三章运输问题

3.1

解：

最小元素法的思想是就近优先运送，即最小运价c ij对应的变量x ij优先赋值x ij=min｛a i, b j｝，然后在剩下的运价中取最小运价对应的变量赋值并满足约束，依次下去，直到最后得到一个初始基本可行解。

表3.1-1中最小元素是C 32，令x 32=min ｛a 3, b 2｝= min ｛5, 3｝= 3，同时将第二列划去，得到表3.1-5。在表3.1-5中，最小元素为C 23，C 31，任意选取其一，这里选C 31，令x 31= min ｛5-3, 5｝=2，同时将第三行划去，得表3.1-6。依次进行下去，其结果见表3.1-7。

表3.1-5

故x 12=min ｛4,3｝=3.同

时将第二列划去。这样依次下去，其结果见表3.1-10。

表3.1-8

表3.1-9

甲乙丙丁可供量

A500 500 1000

B 1500 500 2000

C 500 1500 2000

销售量1500 1500 1500 500

3.6

存贮能力大，即产大于销，虚拟一个销地，所需存取时间为0，文件数为100，最优解为：x11=200,

x 21=100, x 31=0 ,x 32=100, x 33=100, x 34=100 最优值为：(200×5＋100×2)×8＋100×8×4＋100×6×2＝14000

3.7

解：用伏格尔法初始解：28.5+29.6+34.7+35.4=128.2

313.9

数学模型为：

min z =

∑∑==m

i n

j ij ij

x c

1

1

s.t

∑=n

j ij

x

1≤a i (i=1,2,…,m)

∑=m

i ij x 1

≥b j (j=1,2,…,n)

x ij ≥0

上面第一个约束条件可以改写为－∑=n

j ij x 1

≥－a i ，则对偶问题为：

max z ’ =

∑=n

j j j

v b

1

－∑=m

i i i u a 1

s.t v j ≤u i +c ij (i=1,2,…,m j=1,2,…,n) u i , v j ≥0

对偶变量u i 的经济意义为在i 产地单位物资的价格，v j 的经济意义为在j 销地单位物资的价格。对偶问题的经济意义为：如该公司欲自己将该种物资运至各地销售，其差价不能超过两地之间的运价（否则买主将在i 地购买自己运至j 地），在此条件下，希望获利为最大。

3.10

期更换下来送去修理用于第j 期的发动机数。2期需要，送去慢 甲 乙 A B C 产 量 甲 1000 500 1500 乙 900 300 300 1500 A 1000 1000 B 1000 1000 C 100 900 1000 销 量 1000 1000 1300 1300 1400