《数学分析选讲》 第一次 作业

《数学分析选讲》 第一次作业

一、判断下列命题的正误

1. 设S 为非空数集。若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界.

2. 函数()sin =f x x 为(,)-∞+∞上的有界函数.

3．函数()sin cos f x x x =-既不是奇函数，也不是偶函数.

4. 若数列{}n a 收敛，则数列2{}n a 收敛.

5．若数列{}n a 有界，则数列{}n a 一定收敛.

6．若数列{}n a 收敛，则数列{}n a 的任何子列都收敛.

7. 设数列{}n a 与{}n b 都发散，则数列{}n n a b +一定发散.

8．若S 为无上界的数集,则S 中存在一递增数列趋于正无穷.

9．若函数)(x f 在0x 的极限存在，则)(x f 在0x 处一定连续. 二、选择题

1．设2,1()3,1x x f x x x +≤?=?->?

, 则 [(0)]=f f ( ) A 1 ； B 2 ； C 3 ； D 0

2．设函数1,()0,x f x x ?=??为有理数为无理数

， 则

1)=f （ ）．

A 1- ；

B 1 ；

C 0 ； D

12 3．若数列}{n x 有极限a ,则在a 的(0)ε>邻域之外，数列中的点（ ）

A 必不存在 ；

B 至多只有有限多个；

C 必定有无穷多个 ；

D 可以有有限个，也可以有无限多个

4．数列}{n x 收敛，数列}{n y 发散，则数列{}n n x y + （ ）．

A 收敛；

B 发散；

C 是无穷大；

D 可能收敛也可能发散

5．设lim ||2n n x →∞

=，则 （ ） A 数列}{n x 收敛； B lim 2n n x →∞

=； C 数列}{n x 可能收敛，也可能发散； D lim 2n n x →∞

=-； 6．已知 2

lim()01

x x ax b x →∞--=+，其中b a ,是常数，则（ ）

A 1,1==b a ；

B 1,1-==b a ；

C 1,1=-=b a ；

D 1,1-=-=b a

三、计算题

1．求极限 8020

100

(31)(25)lim (51)→+∞+--x x x x . 2．求极限

0x →3． 求极限

2n n →∞++ .

4．考察函数),(,lim )(+∞-∞∈+-=--∞→x n n n n x f x

x x

x n 的连续性.若有间断点指出其类型. 四、证明题

设a a n n =∞→lim ，b b n n =∞

→lim ，且b a <. 证明：存在正整数N ，使得当N n >时，有n n b a <.