高中数学立体几何题型
第六讲 立体几何新题型
【考点透视】
(A)版.掌握两条直线所成的角和距离的概念,对于异面直线的距离,只要求会计算已给出公垂线时的距离.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念. (B)版.
①理解空间向量的概念,掌握空间向量的加法、减法和数乘.
②了解空间向量的基本定理,理解空间向量坐标的概念,掌握空间向量的坐标运算. ③掌握空间向量的数量积的定义及其性质,掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式. ④理解直线的方向向量、平面的法向量,向量在平面内的射影等概念. ⑤了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念. ⑥掌握棱柱、棱锥、球的性质,掌握球的表面积、体积公式. ⑦会画直棱柱、正棱锥的直观图.
空间距离和角是高考考查的重点:特别是以两点间距离,点到平面的距离,两异面直线的距离,直线与平面的距离以及两异面直线所成的角,直线与平面所成的角,二面角等作为命题的重点内容,高考试题中常将上述内容综合在一起放在解答题中进行考查,分为多个小问题,也可能作为客观题进行单独考查.考查空间距离和角的试题一般作为整套试卷的中档题,但也可能在最后一问中设置有难度的问题.
不论是求空间距离还是空间角,都要按照“一作,二证,三算”的步骤来完成,即寓证明于运算之中,正是本专题的一大特色.
求解空间距离和角的方法有两种:一是利用传统的几何方法,二是利用空间向量。 【例题解析】
考点1 点到平面的距离
求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度,其关键在于确定点在平面内的垂足,当然别忘了转化法与等体积法的应用. 典型例题
例1如图,正三棱柱111ABC A B C 的所有棱长都为2,D 为1CC 中点.
(Ⅰ)求证:1AB ⊥平面1A BD ; (Ⅱ)求二面角1A A D B --的大小; (Ⅲ)求点C 到平面1A BD 的距离.
考查目的:本小题主要考查直线与平面的位置关系,二面角的 大小,点到平面的距离等知识,考查空间想象能力、逻辑思维 能力和运算能力.
解答过程:解法一:(Ⅰ)取BC 中点O ,连结AO .
ABC △为正三角形,AO BC ∴⊥.
正三棱柱111ABC A B C -中,平面ABC ⊥平面11BCC B ,
AO ∴⊥平面11BCC B .
连结1B O ,在正方形11BB C C 中,O D ,分别为
1BC CC ,的中点, 1B O BD ∴⊥, 1AB BD ∴⊥.
在正方形11ABB A 中,11AB A B ⊥, 1AB ∴⊥平面1A BD .
(Ⅱ)设1AB 与1A B 交于点G ,在平面1A BD 中,作1GF A D ⊥于F ,连结AF ,由(Ⅰ)得1AB ⊥平面1A BD .
1AF A D ∴⊥, AFG ∴∠为二面角1A A D B --的平面角.
在1AA D △
中,由等面积法可求得AF =
又112AG AB =
sin AG AFG AF ∴==∠.
所以二面角1A A D B
--的大小为
(Ⅲ)1A
BD △
中,1
11A BD BD A D A B S ==∴△1BCD S =△.
在正三棱柱中,1A 到平面1
1BCC B 设点C 到平面1A BD 的距离为d . 由1
1
A BCD C A BD V V --=,得111
33
3
BCD
A BD S S d =△△,
A
B C
D
1
A
1
C
1
B
A
B
C
D
1
A
1
C
1
B
O
F
1A BD d ∴=
△
∴点C 到平面1A BD
解法二:(Ⅰ)取BC 中点O ,连结AO .
ABC △为正三角形,AO BC ∴⊥.
在正三棱柱111ABC A B C -中,平面ABC ⊥平面11BCC B ,
AD ∴⊥平面11BCC B .
取11B C 中点1O ,以O 为原点,OB ,1OO ,OA 的方向为x y z ,,轴的正方向建立空间直角坐标系,则(100)B ,,,(110)D -,,
,1(02A
,(00A ,1(120)B ,,,
1(12AB ∴=,,(210)BD =-,,
,1(1
BA =-. 12200AB BD =-++=,111430AB BA =-+-=,
1AB BD ∴⊥,11AB BA ⊥.
1AB ∴⊥平面1A BD .
(Ⅱ)设平面1A AD 的法向量为()x y z =,,n .
(11AD =-,,1(020)AA =,,.
AD ⊥n ,1AA ⊥n ,
100AD AA ?=?∴?
=??,,n
n 020x y y ?
-+=?∴?=?
?,
,0y x =??∴?=??,. 令1z =
得(1)=,n 为平面1A AD 的一个法向量. 由(Ⅰ)知1AB ⊥平面1A BD , 1AB ∴为平面1A BD 的法向量.
cos ,11 1 33222AB AB AB -->=== n n ∴二面角1A A D B --的大小为 (Ⅲ)由(Ⅱ),1AB 为平面1A BD 法向量, 1(200)(12BC AB =-=,,,,. ∴点C 到平面1A BD 的距离11 22BC AB d AB -=== 小结:本例中(Ⅲ)采用了两种方法求点到平面的距离.解法二采用了平面向量的计算方法,把不易直接求的B 点到平面1AMB 的距离转化为容易求的点K 到平面1AMB 的距离的计算方法,这是数学解题中常用的方法;解法一采用了等体积法,这种方法可以避免复杂的几何作图,显得更简单些,因此可优先考虑使用这一种方法. 例2.如图,已知两个正四棱锥P -ABCD 与Q -ABCD 的高分别为1和2,AB =4. (Ⅰ)证明PQ ⊥平面ABCD ; (Ⅱ)求异面直线AQ 与PB 所成的角; (Ⅲ)求点P 到平面QAD 的距离. 命题目的:本题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力. 过程指引:方法一关键是用恰当的方法找到所求的空间距离和角;方法二关键是掌握利用空间向量求空间距离和角的一般方法. 解答过程: 方法一 (Ⅰ)取AD 的中点,连结PM ,QM . 因为P -ABCD 与Q -ABCD 都是正四棱锥, 所以AD ⊥PM ,AD ⊥QM . 从而AD ⊥平面PQM . 又?PQ 平面PQM ,所以PQ ⊥AD . 同理PQ ⊥AB ,所以PQ ⊥平面ABCD . (Ⅱ)连结AC 、BD 设O BD AC = ,由PQ ⊥平面ABCD 及正四棱锥的性质可知O 在PQ 上,从而P 、A 、Q 、C 四点共面.取OC 的中点N ,连接PN . 因为 2 1 ,21===OC NO OA NO OQ PO ,所以OA NO OQ PO =, 从而AQ ∥PN ,∠ BPN (或其补角)是异面直线AQ 与PB 所成的角. 因为3PB == =,PN === 10)2()22(22 22=+==ON OB BN Q B C P A D O M 所以93 3 3210392cos 222= ??-+=?-∠PN PB BN PN PB BPN +=. 从而异面直线AQ 与PB 所成的角是9 3 arccos . (Ⅲ)连结OM ,则11 2.22 OM AB OQ === 所以∠MQP =45°. 由(Ⅰ)知AD ⊥平面PMQ ,所以平面PMQ ⊥平面QAD . 过P 作PH ⊥QM 于H ,PH ⊥平面QAD .从而PH 的长是点P 到平面QAD 的距离. 又0 3,sin 452 PQ PO QO PH PQ =+=∴== . 即点P 到平面QAD 的距离是2 . 方法二 (Ⅰ)连结AC 、BD ,设O BD AC = . 由P -ABCD 与Q -ABCD 都是正四棱锥,所以PO ⊥平面ABCD ,QO ⊥平面ABCD . 从而P 、O 、Q 三点在一条直线上,所以PQ ⊥平面ABCD . (Ⅱ)由题设知,ABCD 是正方形,所以AC ⊥BD . 由(Ⅰ),QO ⊥平面ABCD . 故可分别以直线CA 、DB 、QP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(如图),由题条件, 相关各点的坐标分别是P (0,0,1),A (22,0,0),Q (0,0,-2),B (0,22,0). 所以)2,0,22(--=AQ (0,1)PB =- 于是9 3 ,cos = ??. (Ⅲ)由(Ⅱ),点D 的坐标是(0,-22,0),)0,22,22(--=, (0,0,3)PQ =-,设),,(z y x =是平面QAD 的一个法向量,由 ?????=?=?0 AD n AQ n 得?????=+=+002y x z x . 取x =1,得)2,1,1(--=n . 所以点P 到平面QAD 的距离32 2 PQ n d n ?== . 考点2 异面直线的距离 此类题目主要考查异面直线的距离的概念及其求法,考纲只要求掌握已给出公垂线段的异面直线的距离. 典型例题 例3 已知三棱锥ABC S -,底面是边长为24的正三角形,棱SC 的长为2,且垂直于底面.D E 、分别为AB BC 、的中点,求CD 与SE 间的距离. 思路启迪:由于异面直线CD 与SE 的公垂线不易寻找,所以设法将所求异面直线的距离,转化成求直线与平面的距离,再进一步转化成求点到平面的距离. 解答过程: 如图所示,取BD 的中点F ,连结EF ,SF ,CF , EF ∴为BCD ?的中位线,EF ∴∥CD CD ∴,∥面SEF , CD ∴到平面SEF 的距离即为两异面直线间的距离. 又 线面之间的距离可转化为线CD 上一点C 到平面SEF 的距离,设其为h ,由题意知,24=BC ,D 、E 、F 分别是 AB 、BC 、BD 的中点, 2,2,62 1 ,62=====∴SC DF CD EF CD 3 3222621312131=????=????= ∴-SC DF EF V CEF S 在Rt SCE ?中,3222=+=CE SC SE 在Rt SCF ?中,30224422=++=+=CF SC SF 又3,6=∴= ?SEF S EF 由于h S V V SEF CEF S SEF C ??= =?--31 ,即332331= ??h ,解得332=h 故CD 与SE 间的距离为 3 3 2. 小结:通过本例我们可以看到求空间距离的过程,就是一个不断转化的过程. 考点3 直线到平面的距离 此类题目再加上平行平面间的距离,主要考查点面、线面、面面距离间的转化. 典型例题 例4. 如图,在棱长为2的正方体1AC 中,G 是1AA 的中点,求BD 到平面11D GB 的距离. 思路启迪:把线面距离转化为点面距离,再用点到平面距离的方法求解. 解答过程: 解析一 BD ∥平面11D GB , BD ∴上任意一点到平面11D GB 的距离皆为所求,以下求 点O 平面11D GB 的距离, 1111C A D B ⊥ ,A A D B 111⊥,⊥∴11D B 平面11ACC A , 又?11D B 平面11D GB ∴平面1111D GB ACC A ⊥,两个平面的交线是G O 1, 作G O OH 1⊥于H ,则有⊥OH 平面11D GB ,即OH 是O 点到平面11D GB 的距离. 在OG O 1?中,2222 1 2111=??=??=?AO O O S OG O . 又3 6 2,23212111=∴=??=??= ?OH OH G O OH S OG O . 即BD 到平面11D GB 的距离等于3 6 2. 解析二 BD ∥平面11D GB , BD ∴上任意一点到平面11D GB 的距离皆为所求,以下求点B 平面11D GB 的距离. 设点B 到平面11D GB 的距离为h ,将它视为三棱锥11D GB B -的高,则 B A C D O G H 1 A 1 C 1D 1 B 1O 一.直线和平面的三种位置关系: 1. 线面平行 2. 线面相交 l 符号表示: 符号表示: 3. 线在面内 符号表示: 二.平行关系: 1.线线平行: 方法一:用线面平行实现。方法二:用面面平行实现。 m l m l l // // ? ? ? ? ? ? = ? ? β α β α m l m l// // ? ? ? ? ? ? = ? = ? β γ α γ β α 方法三:用线面垂直实现。若α α⊥ ⊥m l,,则m l//。 2.线面平行: 方法一:用线线平行实现。 α α α// // l l m m l ? ? ? ? ? ? ? ? 方法二:用面面平行实现。 α β β α // // l l ? ? ? ? ? 3.面面平行: 方法一:用线线平行实现。方法二:用线面平行实现 β α α β // ' ,' , ' // ' // ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 且相交 且相交 m l m l m m l l 。β α β α α // , // // ? ? ? ? ? ? ?且相交 m l m l 三.垂直关系: l 1. 线面垂直: 方法一:用线线垂直实现。 方法二:用面面垂直实现。 α α⊥??? ????? ?=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , αββαβα⊥???? ???⊥=?⊥l l m l m , 2. 面面垂直: 方法一:用线面垂直实现。 方法二:计算所成二面角为直角。 βαβα⊥?? ?? ?⊥l l 3. 线线垂直: 方法一:用线面垂直实现。 m l m l ⊥?? ?? ?⊥αα 方法二:三垂线定理及其逆定理。 PO l OA l PA l αα⊥? ? ⊥?⊥???? 高中数学立体几何知识点归纳总结 一、立体几何知识点归纳 第一章空间几何体 (一)空间几何体的结构特征 (1)多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱 与棱的公共点叫做顶点。 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其 中,这条定直线称为旋转体的轴。 (2)柱,锥,台,球的结构特征 1.棱柱 1.1棱柱——有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 E'D' F' C'侧面 A'B' l 1.2相关棱柱几何体系列(棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱)的 底面侧棱 关系: 斜棱柱 ED FC ① 底面是正多形 棱柱正棱柱 棱垂直于底面 直棱柱 其他棱柱 AB ②四棱柱底面为平行四边形平行六面体侧棱垂直于底面直平行六面体底面为矩形 长方体底面为正方形正四棱柱侧棱与底面边长相等正方体 1.3棱柱的性质: ①侧棱都相等,侧面是平行四边形; ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形; ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形; ④直棱柱的侧棱长与高相等,侧面与对角面是矩形。 1.4长方体的性质: ①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的 D1 C1 平方和;【如图】 2222 ACABADAA 11 A1 D B1 ②(了解)长方体的一条对角线 AC 与过顶点A 的三条 1 C AB 棱所成的角分别是,,,那么 第1页 222 coscoscos1, 222 sinsinsin2; ③(了解)长方体的一条对角线A C与过顶点A的相邻三个面所成的角分别是,,, 1 则 222 coscoscos2, 222 sinsinsin1. 2.侧面展开图:正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻 边的矩形. 3.面积、体积公式:S ch 直棱柱侧 直棱柱全底,V棱柱底 Sch2SSh (其中c为底面周长,h 为棱柱的高)1.5圆柱 2.1圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其 余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 母线A' B' O' C' 轴 轴截面 2.2圆柱的性质:上、下底及平行于底面的截面都是等圆;过轴的截面(轴截面)是全等的矩形. 2.3侧面展开图:圆柱的侧面展开图是以底面周长和AOC 侧面B 母线长为邻边的矩形. 底面2.4面积、体积公式: S圆柱侧=2rh;S 圆柱全= 2 2rh2r,V 圆柱=S底h= 2 rh(其中r为底面半径,h为圆柱高) 1.6棱锥 3.1棱锥——有一个面是多边形,其余各 S 顶点侧面面是有一个公共顶点的三角形,由这些高 面所围成的几何体叫做棱锥。 侧棱正棱锥——如果有一个棱锥的底面 是正多边形,并且顶点在底面的射影是 底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥。 3.2棱锥的性质:底面 斜高DC ①平行于底面的截面是与底面相似的正 O AB H 多边形,相似比等于顶点到截面的距 离与顶点到底面的距离之比; ②正棱锥各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形; ③正棱锥中六个元素,即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半,构成四个直角三角形。)(如上图:SOB,SOH,SBH,OBH为直角三角形) 3.3侧面展开图:正n棱锥的侧面展开图是有n个全等的等腰三角形组成的。 高中数学必修2立体几何测试题及答案(一)一,选择(共80分,每小题4分) 1,三个平面可将空间分成n个部分,n的取值为() A,4;B,4,6;C,4,6,7 ;D,4,6,7,8。 2,两条不相交的空间直线a、b,必存在平面α,使得() A,a?α、b?α;B,a?α、b∥α;C,a⊥α、b⊥α;D,a?α、b⊥α。 3,若p是两条异面直线a、b外的任意一点,则() A,过点p有且只有一条直线与a、b都平行;B,过点p有且只有一条直线与a、b都垂直;C,过点p有且只有一条直线与a、b都相交;D,过点p有且只有一条直线与a、b都异面。 4,与空间不共面四点距离相等的平面有()个 A,3 ;B,5 ;C,7;D,4。 5,有空间四点共面但不共线,那么这四点中() A,必有三点共线;B,至少有三点共线;C,必有三点不共线;D,不可能有三点共线。 6,过直线外两点,作与该直线平行的平面,这样的平面可有()个 A,0;B,1;C,无数;D,涵盖上三种情况。 7,用一个平面去截一个立方体得到的截面为n边形,则() A,3≤n≤6 ;B,2≤n≤5 ;C,n=4;D,上三种情况都不对。 8,a、b为异面直线,那么() A,必然存在唯一的一个平面同时平行于a、b;B,过直线b 存在唯一的一个平面与a平行;C,必然存在唯一的一个平面同时垂直于a、b;D,过直线b 存在唯一的一个平面与a垂直。 9,a、b为异面直线,p为空间不在a、b上的一点,下列命题正确的个数是() ①过点p总可以作一条直线与a、b都垂直;②过点p总可以作一条直线与a、b都相交;③ 过点p 总可以作一条直线与a 、b 都平行;④过点p 总可以作一条直线与一条平行与另一条垂直;⑤过点p 总可以作一个平面与一条平行与另一条垂直。 A ,1; B ,2; C ,3; D ,4。 10,异面直线a 、b 所成的角为80°,p 为空间中的一定点,过点p 作与a 、b 所成角为40° 的直线有( )条 A ,2; B ,3; C ,4; D ,6。 11,P 是△ABC 外的一点,PA 、PB 、PC 两两互相垂直,PA=1、PB=2、PC=3,则△ABC 的 面积为( )平方单位 A ,25; B ,611; C ,27; D ,2 9。 12,空间四个排名两两相交,以其交线的个数为元素构成的集合是( ) A ,{2,3,4}; B ,{1,2,3,}; C ,{1,3,5}; D ,{1,4,6}。 13,空间四边形ABCD 的各边与对角线的长都是1,点P 在AB 上移动 ,点Q 在CD 上移 动,点P 到点Q 的最短距离是( ) A ,21; B ,22; C ,23; D ,4 3。 14,在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,PA ⊥平面ABC ,PA=8,则P 到BC 的距离是( ) A ,45; B ,43; C ,25; D ,23。 15,已知m ,n 是两条直线,α,β是两个平面,下列命题正确的是( ) ①若m 垂直于α内的无数条直线,则m ⊥α;②若m 垂直于梯形的两腰,则m 垂直于梯形所 在的平面;③若n ∥α,m ?α,则n ∥m ;④若α∥β,m ?α,n ⊥β,则n ⊥m 。 A ,①②③; B ,②③④; C ,②④; D ,①③。 16,有一棱长为1的立方体,按任意方向正投影,其投影最大面积为( ) 立 体几何试题 一.选择题(每题4分,共40分) 1.已知AB 0300300150空间,下列命题正确的个数为( ) (1)有两组对边相等的四边形是平行四边形,(2)四边相等的四边形是菱形 (3)平行于同一条直线的两条直线平行 ;(4)有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 A 1 B 2 C 3 D 4 3.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行,那么这条直线与另一个平面的位置关系是( ) A 平行 B 相交 C 在平面内 D 平行或在平面内 4.已知直线m αα过平面α外一点,作与α平行的平面,则这样的平面可作( ) A 1个 或2个 B 0个或1个 C 1个 D 0个 6.如图,如果MC ⊥菱形ABCD 所在平面,那么MA 与BD 的位置关系是( ) A 平行 B 垂直相交 C 异面 D 相交但不垂直 7.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有( ) A 0个 B 1个 C 无数个 D 1个或无数个 8.下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 9.对于直线m ,n 和平面,αβ,使αβ⊥成立的一个条件是( ) A //,,m n n m βα⊥? B //,,m n n m βα⊥⊥ C ,,m n m n αβα⊥=?I D ,//,//m n m n αβ⊥ 10 .已知四棱锥,则中,直角三角形最多可以有( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 二.填空题(每题4分,共16分) 11.已知?ABC 的两边AC,BC 分别交平面α于点M,N ,设直线AB 与平面α交于点O ,则点O 与直线MN 的位置关系为_________ 12.过直线外一点与该直线平行的平面有___________个,过平面外一点与该平面平行的直线有 _____________条 13.一块西瓜切3刀最多能切_________块 立体几何简答题练习 1、正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB,在AE 、BD 上各有一点P 、Q,且AP=DQ 。求证:PQ ∥平面BCE.(用两种方法证明) 2、如图所示,P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,E 、F 分别在PA 、BD 上,且PE:EA=BF:FD,求证:EF ∥平面PBC. 3、如图,E ,F ,G ,H 分别是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱BC ,CC 1,C 1D 1,AA 1的中点。 求证:(1)EG ∥平面BB 1D 1D ; (2)平面BDF ∥平面B 1D 1H . 4、如图所示,已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,M 、N 分别为AB 、PC 的中点,平面PAD ∩平面PBC =l. (1)求证:l ∥BC ; (2)MN 与平面PAD 是否平行?试证明你的结论。 5、如图,在四棱锥S-ABCD 中,底面ABCD 是正方形,SA ⊥底面ABCD ,SA=SB ,点M 是SD 的中点,AN ⊥SC ,且交SC 于点N 。 (1)求证:SB ∥平面ACM ; (2)求证:平面SAC ⊥平面AMN ; (3)求二面角D-AC-M 的余弦值。 6、如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD,且PA=PD= 2 2 AD,E 、F 分别为PC 、BD 的中点. 求证:(1) 求证:EF ∥平面PAD; (2) 求证:平面PAB ⊥平面PDC; (3) 在线段AB 上是否存在点G,使得二面角C-PD-G 的余弦值为3 1 ?说明理由. 高中数学立体几何知识点总结 一 、空间几何体 (一) 空间几何体的类型 1 多面体:由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各 个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体:把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中,这条直线称为旋转体的轴。 (二) 几种空间几何体的结构特征 1 、棱柱的结构特征 1.1 棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的分类 棱柱 四棱柱 平行六面体直平行六面体 长方体正四棱柱 正方体 性质: Ⅰ、侧面都是平行四边形,且各侧棱互相平行且相等; Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行; Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等; 棱长都相等 底面是正方形 底面是矩形 侧棱垂直于底面 底面是平行四边形 底面是四边形 1.3 棱柱的面积和体积公式 ch S =直棱柱侧(c 是底周长,h 是高) S 直棱柱表面 = c ·h+ 2S 底 V 棱柱 = S 底 ·h 2 、棱锥的结构特征 2.1 棱锥的定义 (1) 棱锥:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 (2)正棱锥:如果有一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的投影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥。 2.2 正棱锥的结构特征 Ⅰ、 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形,相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比;它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比;截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比; Ⅱ、 正棱锥的各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形; 正棱锥侧面积: 1 '2 S ch = 正棱椎(c 为底周长,'h 为斜高) 体积:1 3 V Sh = 棱椎(S 为底面积,h 为高) 正四面体: 对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为 a 2 2 的正方体问题。 A B C D P O H 高中数学必修二立体几何入门试题精选 内容:空间几何体与异面直线 时间:90分钟 分值:100分 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分?在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. 下列说法不正确的是 ( ) A. 圆柱的侧面展开图是一个矩形 B. 圆锥过轴的截面是一个等腰三角形 C. 平行于圆台底面的平面截圆台截面是圆面 D .直角三角形绕它的一边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 2. 下列四个几何体中,每个几何体的三视图 有且仅有两个视图相同的是( ) 3. 如右图,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1的正三角形,俯视图是一个圆,那么几何体的侧面积为 ( B. ①正方体 A .①② B .①③ C .①④ D .②④ C. _2 D. 4 A i B i C i D i 中,既与 AB 共面也与CC i 共面的棱的条数为( 4.平面六面体ABCD 5. 一个几何体的三视图如右图所示,其中正视图中厶 ABC 是 边长为2的正三角形,俯视图为正六边形,那么该几何体的 9. 在平面上,若两个正三角形的边长的比为 1 : 2,则它们的面积比为 1 : 4,类似地,在空 间内,若两个正四面体的棱长的比为 1 : 2,则它们的体积比为 _」 10. 过圆锥高的三等分点作平行于底面的截面, 它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为 11.直三棱柱ABC A1B 1C 1的各顶点都在同一球面上, 若AB AC AAA 2 , BAC 120,则此球的表面积等于 _______________________ 侧视图的面积为( )? A. 12 B . 2 3 C . 3 2 D . 6 6 ?—个骰子由1~6六个数字组成 ,请你根据图中三种状态所显 示的数字,推出 “? ”处的数字是( : ) A. 6 B 3 C 1 D 7. 如右图所示的直观 图, 其平面图形的面积为( ) 3”2 A. 3 B . 2 C . 6 D . . 3 2 则该几何体的表面积为() ?(不考虑接触 点) A. 6+ .3 B. 18+ .3 4 C. 32 D. 18+ 2.3 亠「3 丿 、填空题(本大题共5小题,每小题 4分,满分20分?把答案填在题中横线上 正迄要 8.如右图为一个几何体的三视图,尺寸如图所示, 俯视 侧视 专题一浅析中心投影与平行投影 中心投影与平行投影是画空间几何体的三视图和直观图的基础,弄清楚中心投影与平行投影能使我们更好地掌握三视图和直观图,平行投影下,与投影面平行的平面图形留下的影子,与这个平面图形的形状和大小完全相同;而中心投影则不同.下表简单归纳了中心投影与平行投影,结合实例让我们进一步了解平行投影和中心投影. 例1如何才能使如图所示的两棵树在同一时刻的影长分别与它们的原长相等? 解析:方法一:可在同一方向上画出与原长相等的影长,分别连结它们影子顶点与树的顶点,此时为平行投影. 方法二:可在两树外侧不同方向上画出与原长相等的影子,连结影子顶点与树的顶点相交于P,此时为中心投影,P为光源位置. 点评:这是一道平行投影和中心投影相结合的题目,答案不唯一.连结物体顶点与其影子顶点,如果得到的是平行线,即为平行投影;如果得到的是相交线,则为中心投影,这是判断平行投影与中心投影的方法,也是确定中心投影光源位置的基本作法,还应注意,若中心投影光源在两树同侧时,图中的两棵树的影子不可能与原长相等. 例2 如图所示,点O为正方体ABCD-A′B′C′D′的中心,点E为面B′BCC′的中心,点F为B′C′的中点,则空间四边形D′OEF在该正方体的面上的正投影可能是________(填出所有可能的序号). 解析:在下底面ABCD上的投影为③,在右侧面B′BCC′上的投影为②,在后侧面D′DCC′上的投影为①. 答案:①②③ 点评:画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点,如顶点、端点等,方法是先画出这些关键点的投影,再依次连接各投影点即可得此图形在该平面上的投影. 专题二不规则几何体体积的求法 当所给几何体形状不规则时,无法直接利用体积公式求解,可尝试用以下几种常用的方法求出原几何体的体积,下面逐一介绍,供同学们参考. 一、等积转换法 当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量(底面积或高)不易求出时, 可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算求解,该方法尤其适用于求三棱锥的体积. 例1在边长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中,M,N,P 分别是棱A1B1,A1D1,A1A上的点,且满足A1M = 1 2A1B1, A1N=2ND1,A1P= 3 4A1A(如图1),试求三棱锥A1—MNP的体 积. 分析:若用公式V= 1 3Sh直接计算三棱锥A1—MNP的体积, 则需要求出△MNP的面积和该三棱锥的高,这两者显然都不易求出, 但若将三棱锥A1—MNP的顶点和底面转换一下,变为求三棱锥P—A1MN的体积,便能很容易的求出其高和底面△A1MN的面积,从而代入公式求解. 解:V A 1-MNP =V A1—MNP = 1 3·S△A1MN ·h = 1 3× 1 2·A1M1·A1N·A1P= 1 3× 1 2× 1 2a· 2 3a· 3 4a= 1 24a 3. A P B C F E D 立体几何专题训练 1.在四棱锥P -ABCD 中,PA =PB .底面ABCD 是菱形, 且∠ ABC =60°.E 在棱PD 上,满足DE =2PE ,M 是AB 的中点. (1)求证:平面PAB ⊥平面PMC ; (2)求证:直线PB ∥平面EMC . 2.如图,正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都相 等, D 、 E 分别是CC 1和AB 1的中点,点 F 在BC 上且满 足BF ∶FC =1∶3. (1)若M 为AB 中点,求证:BB 1∥平面EFM ; (2)求证:EF ⊥BC 。 3.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,,E P 分别是 11,BC A D 的中点,M 、N 分别是1,AE CD 的中点,1,2AD AA a AB a === (1)求证://MN 面11ADD A (2)求三棱锥P DEN -的体积 4如图1,等腰梯形ABCD 中,AD ∠ο 60⊥⊥⊥ 4a 2a (1)求证:平面PCF ⊥平面PDE ; (2)求四面体PCEF 的体积. 6如图,等腰梯形ABEF 中,//AB EF ,AB =2, 1AD AF ==,AF BF ⊥,O 为AB 的中点,矩形ABCD 所在的平面和平面ABEF 互相垂直. (Ⅰ)求证:AF ⊥平面CBF ; (Ⅱ)设FC 的中点为M ,求证://OM 平面DAF ; (Ⅲ)求三棱锥C BEF -的体积. 7在直三棱柱111C B A ABC -中,,900=∠ABC E 、F 分别为 11A C 、11B C 的中点,D 为棱1CC 上任一点. (Ⅰ)求证:直线EF ∥平面ABD ;(Ⅱ)求证:平面ABD ⊥平面11BCC B 8已知正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的所有棱长均为2,G 为 AF 的中点。 (1)求证:1F G ∥平面11BB E E ; (2)求证:平面1F AE ⊥平面11DEE D ; D A B C P E M A B D C E A B C D E P F A B C D E F M O C 1 A B C D E F A 1 B 1 高中数学之立体几何 平面的基本性质 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2 如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理3 经过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面. 根据上面的公理,可得以下推论. 推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面. 空间线面的位置关系 共面平行—没有公共点 (1)直线与直线相交—有且只有一个公共点 异面(既不平行,又不相交) 直线在平面内—有无数个公共点 (2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点 (直线在平面外) 相交—有且只有一公共点 (3)平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点) 平行—没有公共点 异面直线的判定 证明两条直线是异面直线通常采用反证法. 有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线,与平面内不经过该点的直线是异面直线”. 线面平行与垂直的判定 (1)两直线平行的判定 ①定义:在同一个平面内,且没有公共点的两条直线平行. ②如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行,即若a∥α,aβ,α∩β=b,则a∥b. ③平行于同一直线的两直线平行,即若a∥b,b∥c,则a∥c. ④垂直于同一平面的两直线平行,即若a⊥α,b⊥α,则a∥b ⑤两平行平面与同一个平面相交,那么两条交线平行,即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b ⑥如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线与这两个平面的交线平行,即若α∩β=b,a∥α,a∥β,则a∥b. (2)两直线垂直的判定 立体几何大题专练 1、如图,已知PA⊥矩形ABCD 所在平面,M、N 分别为AB、PC 的中点; (1)求证:MN// 平面PAD (2)若∠ PDA=45 °,求证:MN ⊥平面PCD 2(本小题满分12 分) 如图,在三棱锥P ABC中,E,F 分别为AC,BC 的中点. 1)求证:EF // 平面PAB ; 2)若平面PAC 平面ABC,且PA PC ,求 证:平面PEF 平面PBC . ABC 90 , A P C F B (1)证明:连结EF , Q E、F 分别为AC 、BC的中点, EF // AB. ???????? 2 分又EF 平面PAB ,AB 平面PAB ,EF∥平面PAB. ????????5 分 (2)Q PA PC,E为AC的中点, PE AC ???????? 6 分 又Q 平面PAC 平面ABC PE 面ABC ????????8 分 PE BC ????????9 分 又因为F 为BC 的中点, EF // AB Q ABC 900, BC EF ????????10 分 Q EF I PE E BC 面PEF ????????11 分 又Q BC 面PBC 面PBC 面PEF ????????12 分 3. 如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AC=BC,点D是AB的中点。 1)求证:BC1// 平面CA1D; 2)求证:平面CA1D⊥平面AA1B1B。 4.已知矩形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,E、F 分 别是AB、PC的中点. (1) 求证:EF∥平面PAD; (2) 求证:EF⊥ CD; (3) 若∠ PDA=45°,求EF与平面ABCD 所成的角的大小. 高中课程复习专题——数学立体几何 一空间几何体 ㈠空间几何体的类型 1 多面体:由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体:把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中,这条直线称为旋转体的轴。 ㈡几种空间几何体的结构特征 1 棱柱的结构特征 棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形, 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所 围成的几何体叫做棱柱。 % 棱柱的分类 棱柱的性质 , ⑴侧棱都相等,侧面是平行四边形; ⑵两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形; ⑶过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形; ⑷直棱柱的侧棱长与高相等,侧面的对角面是矩形。 长方体的性质 ⑴长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三 条棱的平方和:AC12 = AB2 + AC2 + AA12 ⑵长方体的一条对角线AC1与过定点A的三条棱所成 ` 的角分别是α、β、γ,那么: cos2α + cos2β + co s2γ = 1 sin2α + sin2β + sin2γ = 2 ⑶长方体的一条对角线AC1与过定点A的相邻三个面所组成的角分别为α、β、γ,则: cos2α + cos2β + cos2γ = 2 sin2α + sin2β + sin2γ = 1 图1-1 棱柱 图1-2 长方体 图1-1 棱柱 棱柱的侧面展开图:正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。 棱柱的面积和体积公式 S 直棱柱侧面 = c ·h (c 为底面周长,h 为棱柱的高) S 直棱柱全 = c ·h+ 2S 底 【 V 棱柱 = S 底 ·h 2 圆柱的结构特征 2-1 圆柱的定义:以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱。 2-2 圆柱的性质 ⑴ 上、下底及平行于底面的截面都是等圆; ⑵ 过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。 2-3 圆柱的侧面展开图:圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。 - 2-4 圆柱的面积和体积公式 S 圆柱侧面 = 2π·r ·h (r 为底面半径,h 为圆柱的高) S 圆柱全 = 2π r h + 2π r 2 V 圆柱 = S 底h = πr 2h 3 棱锥的结构特征 3-1 棱锥的定义 ⑴ 棱锥:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 ⑵ 正棱锥:如果有一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的投影是底面的中心, 这样的棱锥叫做正棱锥。 3-2 正棱锥的结构特征 ⑴ 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形,相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比; ⑵ 正棱锥的各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形; ⑶ 正棱锥中的六个元素,即侧棱(SB)、高(SO)、斜高(SH)、侧棱在底面上的射影(OB)、斜高在底面上的射影(OH)、底面边长的一半(BH),构成四个直角三角形(三角形SOB 、SOH 、SBH 、OBH 均为直角三角形)。 3-3 正棱锥的侧面展开图:正n 棱锥的侧面展开图是由n 个全等的等腰三角形组成。 3-4 正棱锥的面积和体积公式 图1-3 圆柱 ) 高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总 (一)立体几何中平行问题 证明直线和平面平行的方法有: ①利用定义采用反证法; ②平行判定定理; ③利用面面平行,证线面平行。 主要方法是②、③两法 在使用判定定理时关键是确定出面内的 与面外直线平行的直线. 常用具体方法:中位线和相似 例1、P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点. 求证:PC∥面BDQ. 证明:如图,连结AC交BD于点O. ∵ABCD是平行四边形, ∴A O=O C.连结O Q,则O Q在平面BDQ内, 且O Q是△APC的中位线, ∴PC∥O Q. ∵PC在平面BDQ外, ∴PC∥平面BDQ. 例2、在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点.求证: (1)E、F、B、D四点共面; (2)面AMN∥面EFBD. 证明:(1)分别连结B 1D 1、ED 、FB ,如图, 则由正方体性质得 B 1D 1∥BD. ∵E 、F 分别是D 1C 1和B 1C 1的中点, ∴EF ∥ 21B 1D 1.∴EF ∥2 1 BD. ∴E 、F 、B 、D 对共面. (2)连结A 1C 1交MN 于P 点,交EF 于点Q ,连结AC 交BD 于点O ,分别连结PA 、Q O . ∵M 、N 为A 1B 1、A 1D 1的中点, ∴MN ∥EF ,EF ?面EFBD. ∴MN ∥面EFBD. ∵PQ ∥A O , ∴四边形PA O Q 为平行四边形. ∴PA ∥O Q. 而O Q ?平面EFBD , ∴PA ∥面EFBD.且PA ∩MN=P ,PA 、MN ?面AMN , ∴平面AMN ∥平面EFBD. 例3如图(1),在直角梯形P 1DCB 中,P 1D//BC ,CD ⊥P 1D ,且P 1D=8,BC=4,DC=4 6, A 是P 1D 的中点,沿A B 把平面P 1AB 折起到平面PAB 的位置(如图(2)),使二面角P —CD —B 成45°,设E 、F 分别是线段AB 、PD 的中点. 求证:AF//平面PE C ; 证明:如图,设PC 中点为G ,连结FG , 高中数学立体几何知识点总结 一、空间几何体 (一)空间几何体的类型 1多面体:由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2旋转体:把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中,这条直线称为旋转体的轴。 (二)几种空间几何体的结构特征 1、棱柱的结构特征 1.1棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的分类 「斜機柱 ①校*L曲査十底雨>直棱 柱]一IF 皱ft 他械柱… 底面是四边形底面是平行四边形 棱柱四棱柱平行六面体侧棱垂直于底面底面是矩形 直平行六面体'长方体 底面是正方形棱长都相等 正四棱柱正方体 性质: I、侧面都是平行四边形,且各侧棱互相平行且相等; n、两底面是全等多边形且互相平行; 川、平行于底面的截面和底面全等; 2 1.3棱柱的面积和体积公式 S 直棱柱侧ch ( c 是底周长,h 是咼) S 直棱柱表面=c ? h+ 2S 底 V 棱柱=S 底? h 2、棱锥的结构特征 2.1棱锥的定义 (1) 棱锥:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共 顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 (2) 正棱锥:如果有一个棱锥的底面是正多边形, 并且顶 点在底面的投影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥。 2.2正棱锥的结构特征 I 、平行于底面的截面是与底面相似的正多边形, 相似比 等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比;它们面积 的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比; 截得的棱 锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱 锥的高的立方 比; n >正棱锥的各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形; 正棱锥侧面积: 1 S 正棱椎 (c 为底周长,h'为斜高) 2 1 体积:V 棱椎-Sh ( S 为底面积,h 为高) 3 正四面体: 对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为 2 -a 的正方体问题。 P O H C 点、直线、平面之间的关系 ㈠平面的基本性质 公理一:如果一条直线上有两点在一个平面内,那么直线在平面内。 公理二:不共线的三点确定一个平面。 推论一:直线与直线外一点确定一个平面。 推论二:两条相交直线确定一个平面。 推论三:两条平行直线确定一个平面。 公理三:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有公共点,这些公共点的集合是一条直线(两个平面的交线)。 ㈡空间图形的位置关系 1 直线与直线的位置关系(相交、平行、异面) 1.1 平行线的传递公理:平行于同一直线的两条直线相互平行。 即:a∥b,b∥c a∥c 1.2 异面直线 定义:不在任何一个平面内的两条直线称为异面直线。 1.3 异面直线所成的角 ⑴异面直线成角的范围:(0°,90°]. ⑵作异面直线成角的方法:平移法。 注意:找异面直线所成角时,经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如中点、端点等),形成异面直线所成的角。 2 直线与平面的位置关系(直线在平面内、相交、平行) 3 平面与平面的位置关系(平行、斜交、垂直) ㈢平行关系(包括线面平行和面面平行) 1 线面平行 1.1 线面平行的定义:平面外的直线与平面无公共点,则称为直线和平面平行。 1.2 判定定理: 1.3 性质定理: 2 线面角: 2.1 直线与平面所成的角(简称线面角):若直线与平面斜 交,则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角θ。 2.2 线面角的范围:θ∈[0°,90°] 3 面面平行 3.1 面面平行的定义:空间两个平面没有公共点,则称为两平面平行。 3.2 面面平行的判定定理: ⑴ 判定定理1:如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么两个平面相互平行。 即: 推论:一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个 平面的两条线段,那么这两个平面平行。即: ⑵ 判定定理2:垂直于同一条直线的两平面互相平 行。即: 3.3 面面平行的性质定理 ⑴ (面面平行 线面平行) ⑵ ⑶ 夹在两个平行平面间的平行线段相等。 ㈣ 垂直关系(包括线面垂直和面面垂直) 1 线面垂直 1.1 线面垂直的定义:若一条直线垂直于平面内的任意一条直线,则这条直线垂直于平面。 1.2 线面垂直的判定定理: 图2-3 线面角 图2-5 判定1推论 图2-6 判定2 由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系,在应用中:低一级位置关系判定高一级位置关系;高一级位置关系推出低一级位置关系,前者是判定定理,后者是性质定理。 1. 线线、线面、面面平行关系的转化: αβ αγβγ //,// ==???? a b a b 面面平行性质 ??? ? ? 面面平行性质 αγβγαβ //////?? ?? 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化: a a OA a PO a PO a AO ?⊥?⊥⊥?⊥αα 在内射影则 面面垂直判定 线面垂直定义 l a l a ⊥??⊥? ??α α 面面垂直性质,推论2 αβ αββα⊥=?⊥?⊥??? ? ? b a a b a , αγβγαβ γ⊥⊥=?⊥? ?? ? ? a a 面面垂直定义 αβαβαβ =--?⊥? ?? l l ,且二面角成直二面角 面面∥面面平行判定2 线面垂直性质2a b a b //⊥?⊥??? α α a b a b ⊥ ⊥???? αα// a a ⊥⊥?? ?? αβα β // αβα β//a a ⊥⊥? ?? a 4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定,由已知想性质。” 5. 唯一性结论: 1. 三类角的定义: (1)异面直线所成的角θ:0°<θ≤90 ° (2)直线与平面所成的角:0°≤θ≤90° (3)二面角:二面角的平面角θ,0°<θ≤180° 2. 三类角的求法:转化为平面角“一找、二作、三算” 即:(1)找出或作出有关的角;(2)证明其符合定义; (3)指出所求作的角; (4)计算大小。 【最新整理,下载后即可编辑】 【模拟试题】 一. 选择题(每小题5分,共60分) 1. 给出四个命题: ①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱; ②各对角面是全等矩形的平行六面体一定是长方体; ③有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱; ④长方体一定是正四棱柱。 其中正确命题的个数是() A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 下列四个命题: ①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥; ②底面是正多边形的棱锥是正棱锥; ③棱锥的所有面可能都是直角三角形; ④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形。 正确的命题有________个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 长方体的一个顶点处的三条棱长之比为1:2:3,它的表面积为88,则它的对角线长为() A. 12 B. 24 C. 214 D. 414 4. 湖面上漂着一个球,湖结冰后将球取出,冰面上留下一个面直径为24cm,深为8cm的空穴,则该球的半径是() A. 8cm B. 12cm C. 13cm D. 82cm 5. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积为侧面积的比是() A. 12 2 +π π B. 14 4 +π π C. 12 +π π D. 14 2 +π π 6. 已知直线l m ⊥? 平面,直线平面 αβ,有下面四个命题: ①αβ//?⊥l m;②αβ⊥?l m //;③l m //?⊥ αβ;④l m⊥?αβ//。 其中正确的两个命题是() A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ①③ 7. 若干毫升水倒入底面半径为2cm 的圆柱形器皿中,量得水面的高度为6cm ,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面的高度是( ) A. 63cm B. 6cm C. 2182 D. 3123 8. 设正方体的全面积为242cm ,一个球内切于该正方体,那么这个球的体积是( ) A. 63πcm B. 32 3 3 πcm C. 8 3 3 πcm D. 4 3 3 πcm 9. 对于直线m 、n 和平面αβ、能得出αβ⊥的一个条件是( ) A. m n m n ⊥,,////αβ B. m n m n ⊥=?,,αβα C. m n n m //,,⊥?βα D. m n m n //,,⊥⊥αβ 10. 如果直线l 、m 与平面αβγ、、满足: l l m m =?⊥βγααγ ,,,//,那么必有( ) A. αγ⊥⊥和l m B. αγβ////,和m C. m l m //β,且⊥ D. αγαβ⊥⊥且 11. 已知正方体的八个顶点中,有四个点恰好为正四面体的顶点,则该正四面体的体积与正方体的体积之比为( ) A. 13: B. 12: C. 2:3 D. 1:3 12. 向高为H 的水瓶中注水,注满为止,如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示,那么水瓶的形状是( ) 二. 填空题(每小题4分,共16分) 13. 正方体的全面积是a 2,它的顶点都在球面上,这个球的表面积是__________。 14. 正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5:2:8,体积为143cm ,则棱台的高为____________。 15. 正三棱柱的底面边长为a ,过它的一条侧棱上相距为b 的 高中课程复习专题 ——数学立体几何 一空间几何体 ㈠空间几何体的类型 1多面体:由若干个平面多边形围成的几何体。 围成多面体的各个 多边形叫做多面体的面, 相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2旋转体:把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭 几何体。 其中, 这条直线称为旋转体的轴。 ㈡几种空间几何体的结构特征 1棱柱的结构特征 1.1棱柱的定义:有两个面互相平行, 其余各面都是四边 形,并且每相邻 两个四边形的公共边都互相平行,由这些 面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2棱柱的分类 瓦他棱柱… ②四检杆 底血为甲行四边遊 T-trAfij 休 侧检旺亢丁底向 A-'K'tf'AlkJtt 囱向为和序 ------------------ ? ------------- - ----------------- ■ ------------------ A 长方体I 屁血为止方册.1』四棱相 傭棱打底血边怅*||簞 止方体 1.3棱柱的性质 ⑴侧棱都相等,侧面是平行四边形; ⑵ 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形; ⑶过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形; ⑷直棱柱的侧棱长与高相等,侧面的对角面是矩形。 1.4长方体的性质 ⑴长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三 条棱的平方和:AC 12 = AB 2 + AC 2 + AA 12 ⑵长方体的一条对角线 AC 1与过定点A 的三条棱所成 的角分别是a 伙Y 那么: 2 2 2 cos a + cos 3 + COS 丫= 1 sin 2 a + sin 3 + siny =2 ⑶ 长方体的一条对角线 AC 1与过定点A 的相邻三个面所组成的角分别为 a 3 Y 则: .咬llLI 昭|1.呂出 *正棱柱 够一 ;I ;从 图1-2长方体 2 COs a 2 2 + cos 3 + COSY = 2 sin 2 a 2 2 + sin 3 + sinY =1 E' A 图图1棱柱棱柱高中数学立体几何证明定理及性质总结
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