人教数学 圆的综合的专项 培优练习题及答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，AB是半圆O的直径，C是的中点，D是的中点，AC与BD相交于点E.

（1）求证：BD平分∠ABC；

（2）求证：BE=2AD；

（3）求DE

BE

的值.

【答案】（1）答案见解析（2）BE=AF=2AD（3）21 2 -

【解析】

试题分析：（1）根据中点弧的性质，可得弦AD=CD，然后根据弦、弧、圆周角、圆心角的性质求解即可；

（2）延长BC与AD相交于点F, 证明△BCE≌△ACF, 根据全等三角形的性质可得

BE=AF=2AD；

（3）连接OD,交AC于H.简要思路如下：设OH为1，则BC为2，OB=OD=2，

DH=21

-, 然后根据相似三角形的性质可求解.

试题解析：（1）∵D是的中点

∴AD=DC

∴∠CBD=∠ABD

∴BD平分∠ABC

（2）提示：延长BC与AD相交于点F,

证明△BCE≌△ACF,

BE=AF=2AD

（3）连接OD,交AC于H.简要思路如下：

设OH为1，则BC为2，2，

21, DE

BE

=

DH

BC

DE BE =

21

2

-

2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，BD＝BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E

(1) 求证：BE是⊙O的切线

(2) 若EC＝1，CD＝3，求cos∠DBA

【答案】（1）证明见解析；（2）∠DBA

3 5 =

【解析】

分析：（1）连接OB，OD，根据线段垂直平分线的判定，证得BF为线段AD的垂直平分线，再根据直径所对的圆周角为直角，得到∠ADC=90°，证得四边形BEDF是矩形，即

∠EBF=90°，可得出结论.

（2）根据中点的性质求出OF的长，进而得到BF、DE、OB、OD的长，然后根据等角的三角函数求解即可.

详解：证明：(1) 连接BO并延长交AD于F，连接OD

∵BD＝BA，OA＝OD

∴BF为线段AD的垂直平分线

∵AC为⊙O的直径

∴∠ADC＝90°

∵BE⊥DC

∴四边形BEDF为矩形

∴∠EBF＝90°

∴BE是⊙O的切线

(2) ∵O、F分别为AC、AD的中点

∴OF＝1

2CD＝

3

2

∵BF＝DE＝1＋3＝4

∴OB＝OD＝35

4

22

-=

∴cos∠DBA＝cos∠DOF＝

3

3

2

55

2

OF

OD

==

点睛：此题主要考查了圆的切线的判定与性质，关键是添加合适的辅助线，利用垂径定理和圆周角定理进行解答，注意相等角的关系的转化.

3．已知，如图：O1为x轴上一点，以O1为圆心作⊙O1交x轴于C、D两点，交y轴于M、N两点，∠CMD的外角平分线交⊙O1于点E，AB是弦，且AB∥CD，直线DM的解析式为y=3x+3．

（1）如图1，求⊙O1半径及点E的坐标．

（2）如图2，过E作EF⊥BC于F，若A、B为弧CND上两动点且弦AB∥CD，试问：BF+CF 与AC之间是否存在某种等量关系？请写出你的结论，并证明．

（3）在（2）的条件下，EF交⊙O1于点G，问弦BG的长度是否变化？若不变直接写出BG 的长（不写过程），若变化自画图说明理由．

【答案】（1）r=5 E（4，5）（2）BF+CF=AC （3）弦BG的长度不变，等于2

【解析】

分析：（1）连接ED、EC、EO1、MO1，如图1，可以证到∠ECD=∠SME=∠EMC=∠EDC，从而可以证到∠EO1D=∠EO1C=90°．由直线DM的解析式为y=3x+3可得OD=1，OM=3．设

⊙O1的半径为r．在Rt△MOO1中利用勾股定理就可解决问题．

（2）过点O1作O1P⊥EG于P，过点O1作O1Q⊥BC于Q，连接EO1、DB，如图2．由AB∥DC可证到BD=AC，易证四边形O1PFQ是矩形，从而有O1P=FQ，∠PO1Q=90°，进而有∠EO1P=∠CO1Q，从而可以证到△EPO1≌△CQO1，则有PO1=QO1．根据三角形中位线定理可得FQ=

1

2

BD．从而可以得到BF+CF=2FQ=AC．

（3）连接EO1，ED，EB，BG，如图3．易证EF∥BD，则有∠GEB=∠EBD，从而有

BG=ED，也就有BG=DE．在Rt△EO1D中运用勾股定理求出ED，就可解决问题．

详解：（1）连接ED、EC、EO1、MO1，如图1．

∵ME平分∠SMC，∴∠SME=∠EMC．

∵∠SME=∠ECD，∠EMC=∠EDC，∴∠ECD=∠EDC，∴∠EO1D=∠EO1C．

∵∠EO1D+∠EO1C=180°，∴∠EO1D=∠EO1C=90°．

∵直线DM的解析式为y=3x+3，∴点M的坐标为（0，3），点D的坐标为（﹣1，0），∴OD=1，OM=3．

设⊙O1的半径为r，则MO1=DO1=r．

在Rt△MOO1中，（r﹣1）2+32=r2．

解得：r=5，∴OO1=4，EO1=5，∴⊙O1半径为5，点E的坐标为（4，5）．

（2）BF+CF=AC．理由如下：

过点O1作O1P⊥EG于P，过点O1作O1Q⊥BC于Q，连接EO1、DB，如图2．

∵AB∥DC，∴∠DCA=∠BAC，∴AD=BC BD

∴

，=AC，∴BD=AC．

∵O1P⊥EG，O1Q⊥BC，EF⊥BF，∴∠O1PF=∠PFQ=∠O1QF=90°，∴四边形O1PFQ是矩形，∴O1P=FQ，∠PO1Q=90°，∴∠EO1P=90°﹣∠PO1C=∠CO1Q．

在△EPO1和△CQO1中，

11

11

11

EO P CO Q

EPO CQO

O E O C

∠=∠

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△EPO1≌△CQO1，∴PO1=QO1，∴FQ=QO1．∵QO1⊥BC，∴BQ=CQ．

∵CO1=DO1，∴O1Q=1

2 BD

，∴FQ=

1

2

BD．

∵BF+CF=FQ+BQ+CF=FQ+CQ+CF=2FQ，∴BF+CF=BD=AC．

（3）连接EO1，ED，EB，BG，如图3．

∵DC是⊙O1的直径，∴∠DBC=90°，∴∠DBC+∠EFB=180°，∴EF∥BD，

∴∠GEB=∠EBD，∴BG=ED，∴BG=DE．

∵DO1=EO1=5，EO1⊥DO1，∴DE=52，∴BG=52，

∴弦BG的长度不变，等于52．

点睛：本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、弧与弦的关系、垂径定理、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的判定与性质、勾股定理等知识，综合性比较强，有一定的难度．而由AB∥DC证到AC=BD是解决第（2）小题的关键，由EG∥DB证到BG=DE是解决第（3）小题的关键．

4．如图，PA、PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠APB=60°，连接PO并延长与⊙O交于C 点，连接AC、BC．

（Ⅰ）求∠ACB的大小；

（Ⅱ）若⊙O半径为1，求四边形ACBP的面积．

【答案】（Ⅰ）60°；（Ⅱ）33 2

【解析】

分析：（Ⅰ）连接AO，根据切线的性质和切线长定理，得到OA⊥AP，OP平分∠APB，然后根据角平分线的性质和三角形的外角的性质，30°角的直角三角形的性质，得到∠ACB的度数；

（Ⅱ）根据30°角的直角三角形的性质和等腰三角形的性质，结合等底同高的性质求三角形的面积即可．

详解：（Ⅰ）连接OA，如图，

∵PA、PB是⊙O的切线，

∴OA⊥AP，OP平分∠APB，

∴∠APO=1

2

∠APB=30°，

∴∠AOP=60°，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠ACO=1

2

AOP=30°，

同理可得∠BCP=30°，

∴∠ACB=60°；

（Ⅱ）在Rt△OPA中，∵∠APO=30°，

∴33，OP=2OA=2，

∴OP=2OC，

而S△OPA=1

2

×1×3，

∴S△AOC=1

2S△PAO=

3

4

，

∴S△ACP=33

4

，

∴四边形ACBP的面积=2S△ACP=33．

点睛：本题考查了切线的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定，熟练掌握切线的性质是解题的关键．

5．如图1，等边△ABC的边长为3，分别以顶点B、A、C为圆心，BA长为半径作AC、CB、BA，我们把这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形，显然莱洛三角形仍然是轴对称图形，设点l为对称轴的交点．

（1）如图2，将这个图形的顶点A与线段MN作无滑动的滚动，当它滚动一周后点A与端点N重合，则线段MN的长为；

（2）如图3，将这个图形的顶点A与等边△DEF的顶点D重合，且AB⊥DE，DE=2π，将它沿等边△DEF的边作无滑动的滚动当它第一次回到起始位置时，求这个图形在运动过程中所扫过的区域的面积；

（3）如图4，将这个图形的顶点B与⊙O的圆心O重合，⊙O的半径为3，将它沿⊙O的圆周作无滑动的滚动，当它第n次回到起始位置时，点I所经过的路径长为（请用含n的式子表示）

【答案】（1）3π；（2）27π；（3）3．

【解析】

试题分析：（1）先求出AC的弧长，继而得出莱洛三角形的周长为3π，即可得出结论；（2）先判断出莱洛三角形等边△DEF绕一周扫过的面积如图所示，利用矩形的面积和扇形的面积之和即可；

（3）先判断出莱洛三角形的一个顶点和O重合旋转一周点I的路径，再用圆的周长公式即可得出．

试题解析：解：（1）∵等边△ABC 的边长为3，∴∠ABC =∠ACB =∠BAC =60°，

AC BC AB ==，∴AC BC l l ==AB l =

603

180

π?=π，∴线段MN 的长为AC BC AB l l l ++=3π．故答案为3π；

（2）如图1．∵等边△DEF 的边长为2π，等边△ABC 的边长为3，∴S 矩形AGHF =2π×3=6π，

由题意知，AB ⊥DE ，AG ⊥AF ，∴∠BAG =120°，∴S 扇形BAG =

2

1203360

π?=3π，∴图形在运动过程中所扫过的区域的面积为3（S 矩形AGHF +S 扇形BAG ）=3（6π+3π）=27π；

（3）如图2，连接BI 并延长交AC 于D ．∵I 是△ABC 的重心也是内心，∴∠DAI =30°，

AD =12AC =3

2

，∴OI =AI =

3

2

30AD cos DAI cos ∠=?

=3，∴当它第1次回到起始位置时，点I

所经过的路径是以O 为圆心，OI 为半径的圆周，∴当它第n 次回到起始位置时，点I 所经过的路径长为n ?2π?3=23n π．故答案为23n π．

点睛：本题是圆的综合题，主要考查了弧长公式，莱洛三角形的周长，矩形，扇形面积公式，解（1）的关键是求出AC 的弧长，解（2）的关键是判断出莱洛三角形绕等边△DEF 扫过的图形，解（3）的关键是得出点I 第一次回到起点时，I 的路径，是一道中等难度的题目．

6．如图，在直角坐标系中，⊙M 经过原点O(0，0)，点A(6，0)与点B(0，－2)，点D 在劣弧OA 上，连结BD 交x 轴于点C ，且∠COD ＝∠CBO. (1)求⊙M 的半径； (2)求证：BD 平分∠ABO ；

(3)在线段BD 的延长线上找一点E ，使得直线AE 恰为⊙M 的切线，求此时点E 的坐标．

【答案】（1）M 的半径r 2；（2）证明见解析；（3）点E 的坐标为26

2)．

【解析】

试题分析：根据点A 和点B 的坐标得出OA 和OB 的长度，根据Rt △AOB 的勾股定理得出AB 的长度，然后得出半径；根据同弧所对的圆周角得出∠ABD=∠COD ，然后结合已知条件得出角平分线；根据角平分线得出△ABE ≌△HBE ，从而得出BH=BA=22，从而求出OH 的长度，即点E 的纵坐标，根据Rt △AOB 的三角函数得出∠ABO 的度数，从而得出∠CBO 的度数，然后根据Rt △HBE 得出HE 的长度，即点E 的横坐标.

试题解析：（1）∵点A 为（6，0），点B 为（0，－2） ∴OA=6OB=2 ∴根据Rt △AOB 的勾股定理可得：AB=22∴

M 的半径r=

1

2

AB=2. （2）根据同弧所对的圆周角相等可得：∠ABD=∠COD ∵∠COD=∠CBO ∴∠ABD=∠CBO ∴BD 平分∠ABO

（3）如图，由（2）中的角平分线可得△ABE ≌△HBE ∴BH=BA=22∴OH=22－

2=2

在Rt △AOB 中，

3OA

OB

=∴∠ABO=60° ∴∠CBO=30° 在Rt △HBE 中，HE=

263=∴点E 的坐标为（26

，2）

考点：勾股定理、角平分线的性质、圆的基本性质、三角函数.

7．在平面直角坐标系XOY 中，点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2），且x 1≠x 2，若P 、Q 为某等边三角形的两个顶点，且有一边与x 轴平行（含重合），则称P 、Q 互为“向善点”．如图1为点P 、Q 互为“向善点”的示意图．已知点A 的坐标为（1，

3），点B 的坐标为（m ，0）

（1）在点M （﹣1，0）、S （2，0）、T （3，3A 点互为“向善点”的是_____；

（2）若A 、B 互为“向善点”，求直线AB 的解析式；

（3）⊙B 3⊙B 上有三个点与点A 互为“向善点”，请直接写出m 的取值范围．

【答案】（1）S ，T ．（2）直线AB 的解析式为y ＝3x 或y ＝﹣3x +23；（3）当﹣2＜m ＜0或2＜m ＜4时，⊙B 上有三个点与点A 互为“向善点”． 【解析】 【分析】

（1）根据等边三角形的性质结合“向善点”的定义，可得出点S ，T 与A 点互为“向善点”； （2）根据等边三角形的性质结合“向善点”的定义，可得出关于m 的分式方程，解之经检验后可得出点B 的坐标，根据点A ，B 的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB 的解析式；

（3）分⊙B 与直线y=3x 相切及⊙B 与直线y=-3x+23相切两种情况求出m 的值，再利用数形结合即可得出结论． 【详解】 （1）∵

30330,3tan 60?--===，333

3tan 60?-==，

∴点S ，T 与A 点互为“向善点”． 故答案为S ，T ． （2）根据题意得：

30

3-=， 解得：m 1＝0，m 2＝2，

经检验，m 1＝0，m 2＝2均为所列分式方程的解，且符合题意， ∴点B 的坐标为（0，0）或（2，0）． 设直线AB 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0）， 将A （1，

），B （0，0）或（2，0）代入y ＝kx +b ，得：

30k b b ?+=?

?=??320k b k b ?+=??

+=?? 解得：30k b ?=??=??323

k b ?=??=??，

∴直线AB 的解析式为y 3或y 33．

（3）当⊙B 与直线y 3相切时，过点B 作BE ⊥直线y 3于点E ，如图2所示．

∵∠BOE ＝60°， ∴sin60°＝

3

BE OB

， ∴OB ＝2， ∴m ＝﹣2或m ＝2；

当⊙B 与直线y ＝﹣3x +23相切时，过点B 作BF ⊥直线y ＝﹣3x +23于点F ，如图3所示．

同理，可求出m ＝0或m ＝4．

综上所述：当﹣2＜m ＜0或2＜m ＜4时，⊙B 上有三个点与点A 互为“向善点”． 【点睛】

本题考查了等边三角形的性质、特殊角的三角函数值、待定系数法求一次函数解析式、解分式方程以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据等边三角形的性质结合“向善点”的定义，确定给定的点是否与A 点互为“向善点”；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（3）分⊙B 与直线3相切及⊙B 与直线33相切两种情况考虑．

8．如图1，等腰直角△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，过点A ，C 的圆交AB 于点D ，交BC 于点E ，连结DE

（1）若AD=7，BD=1，分别求DE ，CE 的长

（2）如图2，连结CD ，若CE=3，△ACD 的面积为10，求tan ∠BCD

（3）如图3，在圆上取点P 使得∠PCD=∠BCD （点P 与点E 不重合），连结PD ，且点D 是△CPF 的内心

①请你画出△CPF ，说明画图过程并求∠CDF 的度数

②设PC=a ，PF=b ，PD=c ，若（2）（2c ）=8，求△CPF 的内切圆半径长．

【答案】（1）DE=1，CE=32；（2）tan ∠BCD=1

4

；（3）①135°；②2. 【解析】 【分析】

（1）由A 、C 、E 、D 四点共圆对角互补为突破口求解；

（2）找∠BDF 与∠ODA 为对顶角，在⊙O 中，∠COD=2∠CAD ，证明△OCD 为等腰直角三角形，从而得到∠EDC+∠ODA=45°，即可证明∠CDF=135°；

（3）过点D 做DH CB ⊥于点H ，以D 为圆心，DH 为半径画圆，过点P 做D 切线PF

交CB 的延长线于点F ，结合圆周角定理得出∠CPD=∠CAD=45°，再根据圆的内心是三角形

三个内角角平分线的交点，得出∠CPF=90°，然后根据角平分线性质得出

11

4522

DCF CFD PCF PFC ∠+∠=∠+∠=?，最后再根据三角形内角和定理即可求

解；证明∠DCF+∠CFD=45°，从而证明∠CPF 是直角，再求证四边形PKDN 是正方形，最后以△PCF 面积不变性建立等量关系，结合已知（a-2c ）（b-2c ）=8，消去字母a ，b 求出c 值，即求出△CPF 的内切圆半径长为2

2

c ． 【详解】 （1）由图可知：

设BC=x ．在Rt △ABC 中，AC=BC ．由勾股定理得： AC 2+BC 2=AB 2，

∵AB=AD+BD ，AD=7，BD=1， ∴x 2+x 2=82， 解得：x=2．

∵⊙O 内接四边形，∠ACD=90°， ∴∠ADE=90°，

∴∠EDB=90°， ∵∠B=45°，

∴△BDE 是等腰直角三形． ∴DE=DB ， 又∵DB=1， ∴DE=1， 又∵CE=BC-BE ， ∴CE=42232-=． （2）如图所示：

在△DCB 中过点D 作DM ⊥BE ，设BE=y ，则DM=12

y ， 又∵CE=3，∴BC=3+y ， ∵S △ACB =S ACD +S DCB ，

∴

()111

4242103y y 222?=+?+?， 解得：y=2或y=-11（舍去）． ∴EM=1，

CM=CE+ME=1+3=4， 又∵∠BCD=∠MCD ， ∴tan ∠BCD=tan ∠MCD ，

在Rt △DCM 中，tan ∠MCD=DM CM =1

4

， ∴tan ∠BCD=

14

． （3）①如下图所示：

过点D 做DH CB ⊥于点H ，以D 为圆心，DH 为半径画圆，过点P 做D 切线PF 交CB

的延长线于点F ．

∵∠CAD=45°， ∴∠CPD=∠CAD=45°， 又∵点D 是CPF ?的内心， ∴PD 、CD 、DF 都是角平分线，

∴∠FPD=∠CPD =45°，∠PCD=∠DCF ，∠PFD=∠CFD ∴∠CPF=90° ∴∠PCF+∠PFC=90°

∴11

4522

DCF CFD PCF PFC ∠+∠=

∠+∠=? ∴∠CDF=180°-∠DCF-∠CFD F=90°+45°=135°， 即∠CDF 的度数为135°． ②如下图所示

过点D 分别作DK ⊥PC ，DM ⊥CF ，DN ⊥PF 于直线PC ，CF 和PF 于点K ，M ，N 三点， 设△PCF 内切圆的半径为m ，则DN=m ， ∵点D 是△PCF 的内心， ∴DM=DN=DK ，

又∵∠DCF+∠CFD+∠FDC=180°，∠FDC=45°， ∴∠DCF+∠CFD=45°，

又∵DC ，DF 分别是∠PCF 和∠PFC 的角平分线， ∴∠PCF=2∠DCF ，∠PFC=2∠DFC ， ∴∠PCF+∠PFC=90°， ∴∠CPF=90°．

在四边形PKDN 中，∠PND=∠NPK=∠PKD=90°， ∴四边形PKDN 是矩形， 又∵KD=ND ，

∴四边形PKDN 是正方形． 又∵∠MBD=∠BDM=45°， ∠BDM=∠KDP ， ∴∠KDP=45°． ∵PC=a ，PF=b ，PD=c ，

∴PN=PK=C 2

，

∴NF=b c 2-

，CK=a c 2

-， 又∵CK=CM ，FM=FN ，CF=CM+FM ， ∴CF=

a b +， 又∵S △PCF =S △PDF +S △PDC +S △DCF ，

∴

1111

ab a c b c (a b 222222=?+?++-）×c 2

，

化简得：)2

a b c c +-------（Ⅰ），

又∵若（c ）（c ）=8

化简得：()2

ab a b 2c 8++=------（Ⅱ），

将（Ⅰ）代入（Ⅱ）得：c 2=8，

解得：c =c =-

∴

2==， 即△CPF 的内切圆半径长为2． 【点睛】

本题考查圆的内接四边形性质，圆的内心，圆心角、圆周角，同弧（或等弧）之间的相互关系，同时也考查直角三角形，勾股定理，同角或等角的三角函数值相等和三角形的面积公式，正方形，对顶角和整式的运算等知识点；难点是作辅助线和利用等式求△CPF 的内切圆半径长．

9．如图1，AB 为半圆O 的直径，半径OP ⊥AB ，过劣弧AP 上一点D 作DC ⊥AB 于点C ．连接DB ，交OP 于点E ，∠DBA ＝22.5°． ⑴ 若OC ＝2，则AC 的长为 ；

⑵ 试写出AC 与PE 之间的数量关系，并说明理由；

⑶ 连接AD 并延长，交OP 的延长线于点G ，设DC ＝x ，GP ＝y ，请求出x 与y 之间的等量关系式. （请先补全图形，再解答）

【答案】⑴ 222-；⑵ 见解析；⑶ y =2x 【解析】 【分析】

（1）如图，连接OD ，则有∠AOD=45°，所以△DOC 为等腰直角三角形，又OC=2，所以DO=AO=22,故可求出AC 的长；

（2）连接AD ，DP ，过点D 作DF ⊥OP ，垂足为点F . 证AC=PF 或AC=EF ，证DP=DE 证PF=EF=1

2

PE ，故可证出PE =2AC ；

（3）首先求出22OD CD x ==，再求AB=22x ,再证△DGE ≌△DBA,得

GE =AB =22x ，由PE=2AC 得PE =2(2)x x -，再根据GP =GE －PE 可求结论. 【详解】

（1）连接OD ，如图，

∵∠B=22.5°， ∴∠DOC=45°, ∵DC ⊥AB

∴△DOC 为等腰直角三角形， ∵OC=2， ∴2 ∴2，

∴AC=AO-OC=

2.

⑵连接AD，DP，过点D作DF⊥OP，垂足为点F.

∵OP⊥AB,

∴∠POD=∠DOC=45°，

∴AD=PD，

∵△DOC为等腰直角三角形，

∴DC=CO,

易证DF=CO，

∴DC=DF，

∴Rt△DAC≌Rt△DPF,

∴PF=AC,

∵DO=AO,∠DOA=45°

∴∠DAC=67.5°

∴∠DPE=67.5°,

∵OD=OB，∠B=22.5°，

∴∠ODE=22.5°

∴∠DEP=22.5°+45°=67.5°

∴∠DEP=∠DPE

∴PF=EF=1

PE

2

∴PE=2AC

（3）如图2，由∠DCO=90°，∠DOC=45°得OD==

∴AB=2OD=

∵AB是直径，

∴∠ADB=∠EDG=90°，

由（2）得AD=ED,∠DEG=∠DAC

∴△DGE≌△DBA

∴GE=AB=

∵PE=2AC

∴PE=2)x-

-

∴GP=GE－PE=-)x

即：y=2x

【点睛】

本题是一道圆的综合题，涵盖的知识点较多，难度较大，主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握并运用这些知识是解题的关键.

10．如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的弦，过O点作OD⊥BC，交⊙O的切线CD于点D，交⊙O于点E，连接AC、AE，且AE与BC交于点F．

（1）连接BD，求证：BD是⊙O的切线；

（2）若AF ：EF=2：1，求tan ∠CAF 的值．

【答案】（1）证明见解析；（2）3

. 【解析】 【分析】

（1）根据全等三角形的性质得到∠OBD=∠OCD=90°，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）根据已知条件得到AC ∥DE ，设OD 与BC 交于G ，根据平行线分线段成比例定理得到

AC ：EG=2：1，EG=

12AC ，根据三角形的中位线的性质得到OG=1

2

AC 于是得到AC=OE ，求得∠ABC=30°，即可得到结论． 【详解】

证明：（1）∵OC=OB ，OD ⊥BC ， ∴∠COD=∠BOD ， 在△COD 与△BOD 中，

OC OB COD BOD OD OD ＝＝＝??

∠∠???

， ∴△COD ≌△BOD ， ∴∠OBD=∠OCD=90°， ∴BD 是⊙O 的切线；

（2）解：∵AB 为⊙O 的直径，AC ⊥BC ， ∵OD ⊥CB ，

∴AC∥DE，

设OD与BC交于G，

∵OE∥AC，AF：EF=2：1，

∴AC：EG=2：1，即EG=1

2

AC，∵OG∥AC，OA=OB，

∴OG=1

2

AC，

∵OG+GE=1

2AC+

1

2

AC=AC，

∴AC=OE，

∴AC=1

2

AB，

∴∠ABC=30°，

∴∠CAB=60°，

∵CE BE

，

∴∠CAF=∠EAB=1

2

∠CAB=30°，

∴tan∠CAF=tan30°

【点睛】

本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，三角函数的定义，正确的识别图形是解题的关键．