实变函数与泛函分析总复习题

第一章复习题（一）

一、判断题

1、大人全体构成集合。（×）

2、小个子全体构成集合。（×）

3、所有集合都可用列举法表示。（×）

4、所有集合都可用描述法表示。（√ ）

5、对任意集合A，总有。（√ ）

6、。（×）

7、。（√ ）

8、若，则。（√ ）

9、，，其中X表示全集。（×） 10、。（×）11、，。（×） 12、

，。（√ ）

13、若，，则。（√ ）

14、若，则，反之亦然。（√ ）

15、若，，且，，则。（×）

16、若，则。（√ ）

17、若，且，则。（×）

18、可数集的交集必为可数集。（×）

19、有限或可数个可数集的并集必为可数集。（√ ）

20、因整数集有理数集Q，所以Q为不可数集。（×） 21、。（√ ）cccccccc12121122cc

第二章复习题

一、判断题

1、设P，，则

。（×） 2、设P，，则。（×）

3、设，则。（×） 121323

4、设点P为点集E的内点，则。（√ ）

5、设点P为点集E的外点，则。（√ ）

6、设点P为点集E的边界点，则。（×）

7、设点P为点集E的内点，则P为E的聚点，反之P为E的聚点，则P为E的内点。（×）

8、设点P为点集E的聚点，则P为E的边界点。（×）

9、设点P为点集E的聚点，且不是E的内点，则P为E的边界点。（√ ）

10、设点P为点集E的孤立点，则P为E的边界点。（√ ）

11、设点P为点集E的外点，则P不是E的聚点，也不是E的边界点。（√ ）

12、开集中的每个点都是内点，也是聚点。（√ ）

13、开集中可以含有边界点和孤立点。（×） 14、E是开集的内部（开核）。（√ ）

15、任意多个开集的并集仍为开集。（√ ）

16、任意多个开集的交集仍为开集。（×）

17、有限个开集的交集仍为开集。（√ ）

18、闭集中的每个点都是聚点。（×） 19、和E都是闭集。（√ ）

20、E是闭集。（√ ）

21、任意多个闭集的交集仍为闭集。（√ ）

22、任意多个闭集的并集仍为闭集。（×）

23、有限个闭集的并集仍为闭集。（√ ）

24、E是开集是闭集。（√ ）

、E是完全集（完备集）

二、填空题

1、设Rn是无孤立点的闭集。（√ ），E是[0,1]上的全部有理点，则

；E的内1部空集；E

2、设R

。，]，则；E的内部；1[0,1。]

n3、设R

部，，则；E的内1E1；

。

4、设P是康托（三分）集，则P为P为P没有点；；

15、设(a,b)为R上的开集G的构成区间，则(a,b)满足(a,b)

，且，。

，写出E

，写出E

16、设E7、设E的所有的构成区间(1,2),(3,4)。的所有的构成区间(1,6)。

08、设E为R上的闭集，x为E的孤立点，则x必为E的两个邻接0

区间的公共端点。

9、设E为R上的闭集，则E的邻接区间必为1Ec的构成区间。

第三章复习题

一、判断题

1、对任意，m*E都存在。（√ ）

2、对任意，mE都存在。（×）

3、设，则m*E可能小于零。（×）

4、设，则。（√ ）

5、设，则。（×）

6、

。（×）

7、

。（√ ）n

8、设E为Rn中的可数集，则。（√ ）

9、设Q为有理数集，则。（√ ）

10、设I为Rn中的区间，则。（√ ）

11、设I为Rn中的无穷区间，则。（√ ）

12、设E为Rn中的有界集，则。（√ ）

13、设E为Rn中的无界集，则。（×）

14、E是可测集是可测集。（√ ）

15、设

Sn}是可测集列，则，都是可测集。（√ ）

16、零测集、区间、开集、闭集和Borel集都是可测集。（√

17、任何可测集总可表示成某个Borel集与零测集的差集。（√

18、任何可测集总可表示成某个Borel集与零测集的并集。（√

19、若，则。（×）

20、若E是无限集，且，则E是可数集。（×）

21、若，则E必为无界集。（√ ））））

22、在R中必存在测度为零的无界集。（√ ）

n

23、若A，B都是可测集，且，则。（×） 24、和R都是可测集，且

n

，mR

n

。（√ ）

25、设E26、设E

1

,E2,E2

为可测集，则m(E为可测集，且E

1

1

。（×）

1

，则。（×）

二、填空题

1、若E是可数集，则m

2、若S

1

*

；E为集；。

n

n

为可测集，则；若S

i

i

1

为两两不相交的可测集，则。

i

i

n

n

3、设E有mE

2

1

,E2

为可测集，则m(E，则

1

mE；若还

1

m(E。

4、设E

1

,E2

为可测集，且E

1

，mE

2

，则m(E

1

。

5、设x为E的内点，则m

*

E

0。

6、设P为康托三分集，则P为可测集，且。

7、，mR

。

8、叙述可测集与G型集的关系可测集必可表示成一个G型集与零测集的差集。

9、叙述可测集与F型集的关系可测集必可表示成一个F型集

与零测集的并集。

第四章复习题

一、判断题

1、设f(x)是定义在可测集

都有E[xRn上的实函数，如果对任意实数a，为E上的可测函数。（√ ）

为可测集，则f(x)

2、设f(x)是定义在可测集

有E[xRn上的实函数，如果对某个实数a，不是E上的可测函数。（√ ）

不是可测集，则f(x)

3、设f(x)是定义在可测集

测函数等价于对某个实数a，

4、设f(x)是定义在可测集

测函数等价于对任意实数a，

5、设f(x)是定义在可测集

测函数等价于对任意实数a，

6、设f(x)是定义在可测集上的实函数，则f(x)为E上的可） E[xf为可测集。（× Rn上的实函数，则f(x)为E上的可）为可测集。（× Rn 上的实函数，则f(x)为E上的可）为可测集。（√ Rn上的实函数，则f(x)为E上的可

为可测集。测函数等价于对任意实数a和b（）， E[x

（×）

7、设E是零测集，f(x)是E上的实函数，则f(x)为E上的可测函数。（√ ）

8、若可测集E上的可测函数列{f

函数f(x)，则{fnn(x)}在E上几乎处处收敛于可测(x)}在E上“基本上”一致收敛于f(x)。（×）

9、设f(x)为可测集E上几乎处处有限的可测函数，则f(x)在E上

“基本上”连续。（√ ）

10、设E为可测集，若E上的可测函数列f{f

n

n

（），则

(x)}的任何子列都在E上几乎处处收敛于可测函数f(x)。（×）

n

11、设E为可测集，若E上的可测函数列f

于E，则

（）。（×）

二、填空题 1、

1n

]

，

1n

]。

2、

，

；

，

。

3、设E

4、设E

，则E[f，则E[f

。。

5、由于区间I上的单调函数f(x)的不连续点所成的集为可数集，则f(x)为I上的几乎处处连续函数，从而

f(x)

为I上的函数。

6、叙述可测函数的四则运算性数（只要有意义）仍可测。

7、叙述可测函数与简单函数的关系乎处处收敛的意义下，任何可测函数总可表示成一列简单函数的

极限。

8、叙述可测函数与连续函数的关系测函数“基本上”可以表示成一个连续函数。

9、叙述叶果洛夫定理处处收敛的可测函数列“基本上”一致收敛。

10、叙述鲁津定理上”是连续函数。

11、若

E，（），则f(x)g(x)乎处处于

。

第五章复习题

复习题（一）

一、判断题

1、设f(x)是可测集

在。（√ ）

2、设f(x)是可测集

格可积。（×）

3、设f(x)是可测集上的非负简单函数，则一定存Rn上的非负简单函数，则f(x)在E上勒贝上的非负简单函数，且，则f(x)在E上勒贝格可积。（√ ）

4、设f(x)是可测集

在。（√ ） Rn上的非负可测函数，则一定存

5、设f(x)是可测集格可积。（×）

6、设f(x)是可测集上的非负可测函数，则f(x)在E上勒贝Rn上的非负简单函数，且，则f(x)在E上勒贝格可积。（√ ）

7、设f(x)是可测集上的可测函数，则一定存在。（×）

8、设f(x)是可测集至少有一个成立，则

9、设f(x)是可测集上的可测函数，且，

一定存在。（√ ）上的可测函数，且，至少有一个成立，则f(x)在E上勒贝格可积。（×）

10、设

是可测集上的可测函数，若且，则f(x)在E 上勒贝格可积。（√ ）

Rn11、设

f(x)是可测集上的可测函数，若，则

f(x)。（√ ） Rn12、设是可测集上的可测函数，若且，则。（√ ）

13、若E为零测集，f(x)为E上的任何实函数，则。（√ ）

14、若，则mE[

15、若，则

16、若。（√ ）。（√ ），则。（√ ）

17、若，E为E的可测子集，则。（√ ） 1118、f(x)在E上勒贝格积分值存在。（×）

19、若，且，，则于E。（√ ）

20、若f(x)在[a,b]上R可积，则若f(x)在[a,b]上L可积，且

。

（√ ）

21、若

，，且于E，则。（√ ）

E22、若，

23、若

24、若，则于E。（×），则

于Eg(x)。（×）

EE与存在，且，则。

（√ ）

25、若

lim

存在，E是E的可测子集，且，则

。（×）

26、勒贝格积分也是黎曼广义积分的推广。（×）

二、计算题

1]的无理点为[0，中1、设的有理点为[0，中，求

。

a.e.于[0,1]，于是解：因为有理数集为零测集，所以，

。

2、设\P21]中的三分康托集，求，其中P为[0，

[0,1]

f(x)dx

。

3

解：因为，所以，

[0,1]

a.e.于[0,1]，于是

3

[0,1]

14

。

第五章复习题（二）

一、判断题 1、设{f

n

(x)}是可测集

n

上的可测函数列，f(x)是可测集E上

，则

E

的可测函数，如果lim（×） 2、设{f

n

于E

E

f(x)dx

。

(x)}是可测集

n

上的可测函数列，f(x)是可测集E上（），则

E

的可测函数，如果（×） 3、设{f

E

f(x)dx

。

(x)}是可测集

n

上的可测函数列，f(x)是可测集E上

n

的可测函数，如果且f于E，则

lim

（）或lim

E

n

E

f(x)dx

。（×）

n

4、设{f则

n

(x)}是可测集上的非负可测函数列，如果f

，

lim

E

n

limfn(x)dx。（√ ）

5、设{f则

n

(x)}是可测集上的非负可测函数列，如果f n

，

lim

E

limfn(x)dx。（×）

6、设{f

n

(x)}是可测集

n

上的非负可测函数列，则

lim

E

n

limfn(x)dx

。（×）

7、设{f

(x)}是可测集上的非负可测函数列，则

E

fn(x)dx

。（√ ）

8、设{f

n

(x)}是可测集

上的非负可测函数列，则

E

E

fn(x)dx

。（√ ）

9、设{f

n

(x)}是可测集

n

上的非正可测函数列，则

E

E

fn(x)dx

。（√ ）

10、设{f

n

(x)}是可测集

n

上的可测函数列，则

E

E

fn(x)dx

。（×）

11、设f(x)在可测集

E

R

n

上的勒贝格积分存在，且E

，则

En

f(x)dx

。（×）

12、设f(x)在可测集

R

n

上的勒贝格积分存在，且E

，{E}

n

为两两不交的可测集，则

E

En

f(x)dx

。（√ ）

13、设f(x,y)在上可测，则

[a,b]

[c,d]

[c,d]

[a,b]

f(x,y)dx

。（×）

14、设f(x,y)在上非负可测，则

[a,b]

[c,d]

[c,d]

[a,b]

f(x,y)dx

。（√ ）

15、设f(x,y)在上勒贝格可积，则

[a,b]

[c,d]

[c,d]

[a,b]

f(x,y)dx

。（√ ）

二、计算题 1、设f

2

2

（

），求

E

fn(x)dx

。

nx

2

2

解：因为lim

2

2

，且

12

，由有界

法则得，

lim

E

E

。

2、设f

1xn

1

（

)xn

n

），求

E

fn(x)dx

。

解：当时，

1xn

1

)xn

n

x

1

1

x21x

2

，且

limfn(

xn

1

。

)xn

n

而

10

1

1

1x

2

，

x2

所以，

E

。由勒贝格控制收敛定理得

E

E

e

e

。

3、设f

n

e

cosx

（

），求

E

fn(x)dx

。

解：易见lim

，且

，而。由勒贝格控制收敛定理

lim