八年级数学上册知识点总结(北师大版)

《数学》（八年级上册）知识点总结（北师大版）

第一章 勾股定理

1、勾股定理-----已知直角三角形，得边的关系

直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2

2

2

c b a =+ 2、勾股定理的逆定理-----由边的关系，判断直角三角形

如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2

2

2

c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足2

2

2

c b a =+的三个正整数a ，b ，c ，称为勾股数。

常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）……

规律：（1）、短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的

平方。即当a 为奇数且a ＜b 时，如果2

b c a +=，那么a,b,c 就是一组勾股数. 如：（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）……

（2）大于2的任意偶数，2n(n ＞1)都可构成一组勾股数分别是：2

2

2,1,1n n n -+

如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）……

4、常见题型应用：

（1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积……

（2）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度//斜边上的高线/周长/面

积……

（3）判定三角形形状：

222a b c +> 锐角三角形，222a b c +=直角三角形，222a b c +<钝角三角形

判定直角三角形

a..找最长边；

b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系；

c.确定形状

第二章 实数

1. 无理数的引入。无理数的定义无限不循环小数。

20200002233..无理数的表示算术平方根定义如果一个非负数的平方等于，即那么这个非负数就叫做的算术平方根，记为，算术平方根为非负数平方根正数的平方根有个，它们互为相反数的平方根是负数没有平方根定义：如果一个数的平方等于，即，那么这个数就

叫做的平方根，记为立方根正数的立方根是正数负数的立方根是负数的立方根是定义：如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根，记为x a x a x a a a a x a a a x a x a x a a =≥???????=±???

????=???

??

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???

30.实数及其相关概念概念有理数和无理数统称实数分类有理数无理数或正数负数绝对值、相反数、倒数的意义同有理数实数与数轴上的点是一一对应

实数的运算法则、运算规律与有理数的运算法则运算规律相同。??????????????

?

?

???????

????

一、实数的概念及分类

1、实数的分类

???

?

????????????????

?????无限不循环小数

负无理数正无理数无理数数有限小数与无限循环小负有理数正有理数有理数实数0 ?????负实数正实数

实数0

2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等根号a （a 为非完全平方数或非立方数）。 （2）有特定意义的数，如圆周率π（π=3.14159265…)，或化简后含有π的数，如

3

π

+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…；0.585885888588885……(相邻两个5之间8的个

数逐次加1等；

（4）某些三角函数值，如sin60o

等； 二、实数的倒数、相反数和绝对值

1、相反数

实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。

2、绝对值

在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。

3、倒数

如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 5、估算. 注意：（1）近似计算时，中间过程要多保留一位；

（2）要求记忆：414.12= 732.13= 236.25=.

三、平方根、算数平方根和立方根 1．平方根和算术平方根：

（1）概念：如果2

x a =，那么x 是a

的平方根，记作：a ”，

叫做a 的算术平方根，读作根号a 。

（2）性质：①当a ≥0

0； 当a

②

2

＝a ； ③

a = 。（区分②、③）

性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 （3）开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。

注意 ：a

的双重非负性：00a ≥??≥ （开平方的被开方数的条件）

（算术平方根的非负性）

2．立方根：

（1）概念：若3

x a =，那么x 是a 的立方根（或三次方根）

（2

a =；

②

3

a =；

＝

性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意：33a a -=-， 这说明三次根号的负号可以移到根号外面。 区分：平方根、立方根的性质

根源：开平方是平方的逆运算；开立方是立方的逆运算。正数和负数的平方后为正，所以，只有非

负数才可以开平方，因此一个非0正数开平方后有2个；而任何数的立方后的符号与原数的 符号一致，所以，任何数都可以开立方，一个数开立方后只有1个，符号与原数的符号也一 致。

四、实数大小的比较

1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右

边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表 示的数大。

2、实数大小比较的几种常用方法

（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 （2）求差比较：设a 、b 是实数，

,0b a b a >?>- ,0b a b a =?=- b a b a

（3）求商比较法：设a 、b 是两正实数，

;1;1;1b a b

a

b a b a b a b a ?> （4）绝对值比较法：设a 、b 是两负实数，则b a b a 。 （5）平方法：

① 设 0,0a b >>，则 2

2

a b a b >?> ② 设 0,0a b <<，则 b a b a 2

2

。

③ 同号的有理数与无理数、同号的无理数与无理数大小比较时常用平方法。

如：比较与3.4；（6）倒数法：设0,0a b >> ，则11a b a b >?<；设0,0a b << ，则11a b a b

>?< 规律：同号取倒（数）反向 五、算术平方根有关计算（二次根式）

1、含有二次根号“”； 被开方数a 0a ≥。

2、性质：

（10≥

（2）)0()(2

≥=a a a （2

中前提，被开方数0a ≥）

（3）==a a 2

,(0)

,(0)

a a a a ≥??-

20a ≥）

（4）)0,0(≥≥?=

b a b a ab ；（)0,0(≥≥=?b a ab b a ）（前提根号要有意义）

（5）

)0,0(>≥=b a b

a

b a ；

（)0,0(>≥=

b a b

a

b

a ）

（前提式子和根号要有意义，）

拓展：三个重要非负数： 20,0a a ≥≥ .注意：非负数之和为0 ? 它们都是0.

3、运算结果若含有“a ”形式，必须满足：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 六、实数的运算

（1）六种运算：加、减、乘、除、乘方 、开方 （2）实数的运算顺序

先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。 （3）运算律

加法交换律 a b b a +=+

加法结合律 )()(c b a c b a ++=++ 乘法交换律 ba ab = 乘法结合律 )()(bc a c ab = 乘法对加法的分配律 ac ab c b a +=+)(

（4）与实数有关的概念： 在实数围，相反数，倒数，绝对值的意义与有理数围的意义完全一致；

在实数围，有理数的运算法则和运算律同样成立。

每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的。因此，数轴正好可以被实数填满。

第三章 位置的确定

一、 在平面，确定物体的位置一般需要两个数据。 二、平面直角坐标系及有关概念 1、平面直角坐标系

在平面，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；x 轴和y 轴统称坐标

45°

轴。它们的公共原点O 称为直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。 2、为了便于描述坐标平面点的位置，把坐标平面被x 轴和y 象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意：x 轴和y 轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。

3、点的坐标的概念

对于平面任意一点P,过点P 分别x 轴、y 轴向作垂线，垂足在上x 轴、y 轴对应的数a ，b 分别叫做点P 的横坐标、纵坐标，有序数对（a ，b ）叫做点P 的坐标。

点的坐标用（a ，b ）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间 有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面点的坐标是有序实数对，当b a ≠时，（a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标。

平面点的与有序实数对是一一对应的。 4、不同位置的点的坐标的特征 （1）、各象限点的坐标的特征

（结合图形，过点P 分别x 轴、y 轴向作垂线，垂足在上x 轴、y 轴对应的数,x y 在坐标轴的正向为正，负向为负）

点11(,)A x y 在第一象限110,0x y ?>>

点22(,)B x y 在第二象限220,0x y ?<> 点33(,)C x y 在第三象限330,0x y ?<< 点44(,)D x y 在第四象限440,0x y ?>< （2）、坐标轴上的点的特征

点P(x,y)在x 轴上0=?y ，x 为任意实数 点P(x,y)在y 轴上0=?x ，y 为任意实数

点P(x,y)既在x 轴上，又在y 轴上?x ，y 同时为零，即点P 坐标为（0，0）即原点 （3）、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征

点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线（直线y=x ）上?x 与y 相等 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上?x 与y 互为相反数 （4）、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征