20181月广东普通高中学业水平考试数学试题真题及答案及解析

2018年1月广东省普通高中学业水平考试

数学试卷（B 卷）

一、选择题：本大题共15小题. 每小题4分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1、已知集合{}1,0,1,2M =-，{}|12N x x =-≤<，则M N =（ ）

A .{}0,1,2

B .{}1,0,1-

C .M

D .N

2、对任意的正实数,x y ，下列等式不成立的是（ ）

A .lg lg lg

y y x x

-= B .lg()lg lg x y x y +=+ C .3lg 3lg x x = D .ln lg ln10x x = 3、已知函数31,0()2,0

x x x f x x ?-≥?=?

D .0 4、设i 是虚数单位，x 是实数，若复数1x i

+的虚部是2，则x =（ ） A .4 B .2 C .2- D .4-

5、设实数a 为常数，则函数2

()()f x x x a x R =-+∈存在零点的充分必要条件是（ ） A .1a ≤ B .1a > C .14a ≤ D .14

a > 6、已知向量(1,1)a =，(0,2)

b =，则下列结论正确的是（ ）

A .//a b

B .(2)a b b -⊥

C .a b =

D .3a b =

7、某校高一（1）班有男、女学生共50人，其中男生20人，用分层抽样的方法，从该班学生中随

机选取15人参加某项活动，则应选取的男、女生人数分别是（ ）

A .69和

B .96和

C .78和

D .87和

8、如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是正方形，则该几何体的体积为（ ）

A .1

B .2

C .4

D .8

9、若实数,x y 满足1000x y x y x -+≥??+≥??≤?

，则2z x y =-的最小值为

（ ）

A .0

B .1-

C .32

- D .2- 10、如图，o 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则下列等式正确的是（ ） A .DA DC AC -= B .DA DC DO +=

C .OA OB A

D DB -+= D .AO OB BC AC ++=

11、设ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c

，若2,a b c ===C =（ ） A .56π B .6π C .23π D .3

π 12、函数()4sin cos f x x x =，则()f x 的最大值和最小正周期分别为（ ）

A .2π和

B .4π和

C .22π和

D .42π和

13、设点P 是椭圆22

21(2)4

x y a a +=>上的一点，12F F ，

是椭圆的两个焦点，若12F F =

12PF PF +=（ ）

A .4

B .8 C

. D

.14、设函数()f x 是定义在R 上的减函数，且()f x 为奇函数，若10x <，20x >，则下列结论不正确的是（ ）

A .(0)0f =

B .1()0f x >

C .221()(2)f x f x +≤

D .11

1()(2)f x f x +≤ 15、已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，则22212n a a a ++

+=（ ） A .24(21)n - B .12

4(21)n -+ C .4(41)3n - D .14(42)3n -+ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.

16、双曲线22

1916

x y -=的离心率为 . 17、若2sin()23

π

θ-=，且0θπ<<，则tan θ= . 18、笔筒中放有2支黑色和1支红色共3支签字笔，先从笔筒中随机取出一支笔，使用后放回笔筒，第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用，则两次使用的都是黑色笔的概率为 .

19、圆心为两直线20x y +-=和3100x y -++=的交点，且与直线40x y +-=相切的圆的标准方程是 .

三、解答题：本大题共2小题. 每小题12分，满分24分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

20、若等差数列{}n a 满足138a a +=，且61236a a +=.

（1）求{}n a 的通项公式；

（2）设数列{}n b 满足12b =，112n n n b a a ++=-，求数列{}n b 的前n 项和n S .

21、如图所示，在三棱锥P ABC -中，PA ABC ⊥平面，PB BC =，F 为BC 的中点，DE 垂

直平分PC ，且DE 分别交AC PC ，于点,D E .

（1）证明：//EF ABP 平面；

（2）证明：BD AC ⊥.

2018年1月广东省普通高中学业水平考试

数学试卷（B 卷）答案解析

一、选择题：本大题共15小题. 每小题4分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1、B 解析：{}101M N =-，，，故选B.

2、B 解析：对于B 项，令1x y ==，则lg()lg 2lg10x y +=>=，而lg lg 0x y +=，显然不成立，故选B.

3、C 解析：3(0)011a f ==-=- 11()(1)22

f a f -∴=-==，故选C. 4、D 解析：(1)1(1)(1)22x x i x x i i i i -==-++- 242

x x ∴-=?=-，故选D. 5、C 解析：由已知可得，11404a a ?=-≥?≤

，故选C. 6、B 解析：对于A 项，12-010??≠，错误；

对于B 项，2(2,0)a b -=，(0,2)b =，则20+020(2)a b b ??=?-⊥，正确； 对于C 项，2,2a b ==，错误；

对于D 项，10122a b =?+?=，错误. 故选B.

7、A 解析：抽样比为1535010k ==，则应抽取的男生人数为320=6()10

?人，应抽取的女生人数为3(5020)9()10

-?=人，故选A. 8、C 解析：由三视图可知，该几何体为长方体，长为2，宽为2，高为1，则体积为2214V =??=，故选C.

9、D 解析：（快速验证法）交点为11(0,1),(0,0),(,)22-，则2z x y =-分别为32,0,2

--

，所以z 的最小值为2-，故选D. 10、D 解析：对于A 项，DA DC CA -=，错误；

对于B 项，2DA DC DO +=，错误；

对于C 项，OA OB AD BA AD BD -+=+=，错误；

对于D 项，AO OB BC AB BC AC ++=+=，正确. 故选D.

11、A 解析：由余弦定理，

得222222cos 22a b c C ab +-===，又0C π<< 5=6

C π∴，故选A. 12、A 解析：()2sin 2f x x =max ()2f x ∴=，最小正周期为22

T ππ==，故选A. 13、B

解析：122F

F c c ==?=22224164a c b a ∴=+=+=?= 122248PF PF a ∴+==?=，故选B.

14、D 解析：对于A 项，()f x 为R 上的奇函数 (0)0f ∴=，正确；

对于B 项，()f x 为R 上的减函数 110()(0)0x f x f ∴=，正确； 对于C 项，20x >222222

1121x x x x x x ∴+≥===（当且仅当，即时等号成立) 22

1()(2)f x f x ∴+≤，正确； 对于D 项，10x < 1111111()2x x x x x ∴+=--+≤-=---

11

1()(2)(2)f x f f x ∴+≥-=-，错误. 故选D. 15、C 解析：当2n ≥时，1122(22)2222n n n n n n n n a S S +-=-=---=?-=；当1n =时，

211222a S ==-=适合上式. 222()(2)4n n n n n a n N a *∴=∈?=={}

2n a ∴是首项为4，公比为4的等比数列 2

22

124(14)4(41)143n n n a a a --∴+++==-，故选C. 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.

16、53

解析：由已知，得2293,164a a b b =?==?= 222916255c a b c ∴=+=+=?= ∴双曲线的离心率为53c e a =

=. 17

、解析：2sin()cos 23

πθθ-==

，且0θπ<

<

sin 3θ∴=

==

sin 3tan cos 2θθθ∴===. 18、49 解析：224339

P ?==?. 19、22(4)(2)2x y -++= 解析：联立203100x y x y +-=??-++=?得4(4,2)2x y =??-?=-?

圆心为 则圆心(4,2)-到直线40x y

+-=

的距离为

d ==

∴圆的标准方程为22(4)(2)2x y -++=.

三、解答题：本大题共2小题. 每小题12分，满分24分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

20、解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d .

∴1311161211828236511362

a a a a d a a a a d a d d +=++==????????+=+++==???

2(1)22n a n n ∴=+-?= ∴数列{}n a 的通项公式为2n a n =.

（2）由（1）知，2n a n = 1122(1)2222n n n b a a n n n ++∴=-=+-?=-+ 2(1)224n b n n ∴=--+=-+ 又12b =适合上式 24()n b n n N *∴=-+∈ 122(24)2n n b b n n +∴-=-+--+=- ∴数列{}n b 是首项为2，公差为2-的等差数列. 22(1)2(2)232

n n n S n n n n n n -∴=+?-=-+=-+ 21、解：（1）证明：DE 垂直平分PC E ∴为PC 的中点 又F 为BC 的中点 EF ∴为BCP 的中位线 //EF BP ∴ 又,EF ABP BP ABP ??平面平面 //EF ABP ∴平面

（2）证明：连接BE

PB BC =，E 为PC 的中点 PC BE ∴⊥ DE 垂直平分PC PC DE ∴⊥

又BE DE E =，,BE DE BDE ?平面 PC BDE ∴⊥平面 又BD BDE ?平面 PC BD ∴⊥

,PA ABC BD ABC ⊥?平面平面 PA BD ∴⊥

又PC PA P =，,PC PA PAC ?平面 BD PAC ∴⊥平面 又AC PAC ?平面 BD AC ∴⊥