15-17年全国高考立体几何真题及答案详解
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近三年立体几何高考真题几详解
1、(2015年1卷6题)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放斛的米约有( ) (A )14斛 (B )22斛 (C )36斛 (D )66斛
【答案】B
【解析】设圆锥底面半径为r ,则12384r ??==16
3
r =,所以米堆的体积为211163()5433????=3209,故堆放的米约为
320
9
÷1.62≈22,故选B.
考点:圆锥的性质与圆锥的体积公式
2、(2015年1卷11题)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20π,则r=( )
(A )1 (B )2 (C )4 (D )8 【答案】B
【解析】由正视图和俯视图知,该几何体是半球与半个圆柱的组合体,圆柱的半径与球的半径都为r ,圆柱的高为2r ,其表面积为221
42222
r r r r r r πππ?+?++?=2254r r π+=16 + 20π,解得r=2,故选B.
考点:简单几何体的三视图;球的表面积公式、圆柱的测面积公式 3、(2015年1卷18题)如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E ,F 是平面ABCD 同一侧的两点,BE ⊥平面ABCD ,DF ⊥平面ABCD ,BE=2DF ,AE ⊥EC.
(Ⅰ)证明:平面AEC ⊥平面AFC ;
(Ⅱ)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值. 【解析】 试题分析:(Ⅰ)连接BD ,设BD∩AC=G,连接EG ,FG ,EF ,在菱形ABCD 中,不妨设GB=1易证EG ⊥AC ,通过计算可证EG ⊥FG ,根据线面垂直判定定理可知EG ⊥平面AFC ,由面面垂
直判定定理知平面AFC ⊥平面AEC ;(Ⅱ)以G 为坐标原点,分别以,GB GC
的方向为x 轴,y 轴正方向,||GB
为单位长度,建立空间直角坐标系G-xyz ,利用向量法可求出异面直线
AE 与CF 所成角的余弦值. 试题解析:(Ⅰ)连接BD ,设BD∩AC=G,连接EG ,FG ,EF ,在菱形ABCD 中,不妨设GB=1,
由∠ABC=120°,可得 由BE ⊥平面ABCD ,AB=BC 可知,AE=EC ,
又∵AE ⊥EC ,∴EG ⊥AC ,
在Rt △EBG 中,可得DF=
2
.
在Rt △FDG 中,可得
在直角梯形BDFE 中,由BD=2,可得 ∴222
EG FG EF +=,∴EG ⊥FG ,
∵AC∩FG=G,∴EG ⊥平面AFC ,
∵EG ?面AEC ,∴平面AFC ⊥平面AEC.
(Ⅱ)如图,以G 为坐标原点,分别以,GB GC 的方向为x 轴,y 轴正方向,||GB
为单位长
度,建立空间直角坐标系G-xyz ,由(Ⅰ)可得A (00),E (,F (-
1,0,C (00),∴AE =(1,CF =(-1,) (10)
分
故cos ,3||||
AE CF AE CF AE CF ?<>==
.
所以直线AE 与CF
考点:空间垂直判定与性质;异面直线所成角的计算;空间想象能力,推理论证能力
4、(2015年2卷6题)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )
A .
81 B .71 C .61 D .5
1 【解析】由三视图得,在正方体1111ABCD A BC D -中,
截去四面体111A A B D -,如图所示,,设正方体棱长为a ,则11133111326A A B D V a a -=
?=,故剩余几何体体积为33315
66
a a a -=,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为5
1
,故选D .
考点:三视图.
5、(2015年2卷9题)已知A,B 是球O 的球面上两点,∠AOB=90,C 为该球面上的动点,若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36,则球O 的表面积为( ) A .36π B .64π C .144π D .256π
【解析】如图所示,当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时,三棱锥O ABC -的体积最大,设球O 的半径为R ,此时23111
36326
O ABC C AOB V V R R R --==
??==,故6R =,则球O 的表面积为2
4144S R ππ==,故选C .
考点:外接球表面积和椎体的体积.
6、(2015年2卷19题)(本题满分12分)如图,长方体1111ABCD A BC D -中,
=16AB ,
A
1
=10BC ,18AA =,点E ,F 分别在11A B ,11C D 上,114A E D F ==.过点E ,F 的平
面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.
(Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由); (Ⅱ)求直线AF 与平面α所成角的正弦值. 【解析】(Ⅰ)交线围成的正方形EHGF 如图:
(Ⅱ)作EM AB ⊥,垂足为M ,则14AM AE ==,18EM AA ==,因为EHGF 为正方形,所以10EH EF BC ===.于是226MH EH EM =
-=,所以10AH =.以D
为坐标原点,DA
的方向为x 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -,则
(10,0,0)A ,(10,10,0)H ,(10,4,8)E ,(0,4,8)F ,(10,0,0)FE = ,(0,6,8)HE =-
.设
(,,)n x y z = 是平面E H G F 的法向量,则0,
0,n FE n HE ??=???=??
即100,680,x y z =??-+=?所以可取(0,4,3)n = .又(10,4,8)AF =- ,故45
cos ,15n AF n AF n AF
?<>==
? .所以直线AF 与平面α所成角的正弦值为
45
15
.
考点:1、直线和平面平行的性质;2、直线和平面所成的角.
7、(2016年1卷6题)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是
283
π
,则它的表面积是 (A )17π(B )18π(C )20π(D )28π
D D C
A
E F
A B C
B
【解析】
试题分析: 该几何体直观图如图所示:
是一个球被切掉左上角的1
8,设球的半径为R ,则37428V R 833
ππ=?=,解得R 2=,所以它
的表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和2271
=42+32=1784
S πππ????故选A .
考点:三视图及球的表面积与体积
8、(2016年1卷11题)平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α//平面CB 1D 1,αI 平面ABCD =m ,αI 平面AB B 1A 1=n ,则m 、n 所成角的正弦值为
(B (D)13
试题分析:如图,设平面11CB D 平面ABCD ='m ,平面11CB D 平面11ABB A ='n ,因为
//α平面11CB D ,所以//',//'m m n n ,则,m n 所成的角等于','m n 所成的角.延长AD ,过1
D 作11//D
E B C ,连接11,CE B D ,则CE 为'm ,同理11B
F 为'n ,而111//,//BD CE B F A B ,则
','m n 所成的角即为1,A B BD 所成的角,即为60?,故,m n ,选A. 考点:平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角.
【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是:平移定角、连线成形,解形求角、得钝求补.
9、(2016年1卷18题)如图,在以A ,B ,C ,D ,E ,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF =2FD ,
90AFD ∠= ,且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60 .
(I )证明:平面ABEF ⊥平面EFDC ; (II )求二面角E -BC -A 的余弦值.
试题解析:(I )由已知可得F DF A ⊥,F F A ⊥E ,所以F A ⊥平面FDC E . 又F A ?平面F ABE ,故平面F ABE ⊥平面FDC E .
(II )过D 作DG F ⊥E ,垂足为G ,由(I )知DG ⊥平面F ABE .
以G 为坐标原点,GF 的方向为x 轴正方向,GF
为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标
系G xyz -.
由(I )知DF ∠E 为二面角D F -A -E 的平面角,故DF 60∠E = ,则DF 2=,DG 3=,可得
()1,4,0A ,()3,4,0B -,()3,0,0E -
,(D .
由已知,//F AB E ,所以//AB 平面FDC E .
又平面CD AB 平面FDC DC E =,故//CD AB ,CD//F E .
由//F BE A ,可得BE ⊥平面FDC E ,所以C F ∠E 为二面角C F -BE -的平面角,
C F 60∠E =
.从而可得(C -.
所以(C E = ,()0,4,0EB =
,(C 3,A =--
,()4,0,0AB =- .
设(),,n x y z =
是平面C B E 的法向量,则
C 00n n ??E =???EB =?? ,
即0
40x y ?+=??
=?
?, C
A
B
D
E
F
所以可取(3,0,n =
.
设m 是平面CD AB 的法向量,则C 0
m m ??A =???AB =??
,
同理可取()
4m =
.则cos ,n m n m n m ?==
故二面角C E -B -A
的余弦值为
考点:垂直问题的证明及空间向量的应用
【名师点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.第二问一般考查角度问题,多用空间向量解决.
10、(2016年2卷6题)右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为
(A )20π (B )24π (C )28π (D )32π 解析:几何体是圆锥与圆柱的组合体,
设圆柱底面圆半径为,周长为,圆锥母线长为,圆柱高为. 由图得,,由勾股定理得:,
,
故选C .
11、(2016年2卷14题)α,β是两个平面,m ,n 是两条线,有下列四个命题:
①如果m n ⊥,m α⊥,n β∥,那么αβ⊥. ②如果m α⊥,n α∥,那么m n ⊥. ③如果a β∥,m α?,那么m β∥.
④如果m n ∥,αβ∥,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.
r c l h 2r =2π4πc r ==
4l =21
π2
S r ch cl =++表4π16π8
π=++28π=
其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号) 【解析】②③④
12(2016年2卷19题)(本小题满分12分)
如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,5AB =,6AC =,点E ,F 分别在AD ,CD 上,5
4
AE CF ==,EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D EF '
的位置OD '=(I )证明:DH
'⊥平面ABCD ; (II )求二面角B D A C '--的正弦值.
【解析】⑴证明:∵,∴,∴. ∵四边形为菱形,∴,∴,∴,
∴.∵,∴;又,, ∴,∴,∴,∴, ∴.又∵,∴面.
⑵建立如图坐标系.
,,,, ,,, 设面法向量,
由得,取, ∴.同理可得面
的法向量, 54AE CF ==
AE CF
AD CD
=EF AC ∥ABCD AC BD ⊥EF BD ⊥EF D H ⊥EF DH
'⊥6AC =3AO =5AB =AO OB ⊥4OB =1AE OH OD AO
=
?=3DH D H '==222
'OD OH D H '=+'D H OH ⊥OH EF H =I 'D H ⊥ABCD H xyz -()500B ,,()130C ,,()'003D ,,()130A -,,()430AB =u u u r ,,()'133AD =-u u u r ,,()060AC =u u u r ,,'ABD ()1n x y z =,,u r
1100n AB n AD ??=??'?=?? 430330
x y x y z +=??-++=?345x y z =??
=-??=?
()1345n =-u r ,,'AD C ()2301n =u u r
,,
∴,∴.
13、(2016年3卷9题)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实现画出的是某多面体的
三视图,则该多面体的表面积为()
(A
)18+B
)54+C )90(D )81 【答案】B
考点:空间几何体的三视图及表面积.
【技巧点拨】求解多面体的表面积及体积问题,关键是找到其中的特征图形,如棱柱中的矩形,棱锥中的直角三角形,棱台中的直角梯形等,通过这些图形,找到几何元素间的关系,建立未知量与已知量间的关系,进行求解. 14、(2016年3卷10题)在封闭的直三棱柱
111ABC A B C -内有一个体积为V 的球,若
AB BC ⊥,6AB =,8BC =,13AA =,则V 的最大值是() (A )4π (B )92π
(C )6π (D )323π
【答案】B
试题分析:要使球的体积V 最大,必须球的半径R 最大.由题意知球的与直三棱柱的上下
底面都相切时,球的半径取得最大值32,此时球的体积为334439
()3322R πππ
==,故选B .
考点:1、三棱柱的内切球;2、球的体积.
【思维拓展】立体几何是的最值问题通常有三种思考方向:(1)
根据几何体的结构特征,变
1212cos n n n n θ?=u r u u r u r u u
r sin θ
=
动态为静态,直观判断在什么情况下取得最值;(2)将几何体平面化,如利用展开图,在平面几何图中直观求解;(3)建立函数,通过求函数的最值来求解. 15、(2016年3卷19题)(本小题满分12分) 如图,四棱锥P ABC -中,PA ⊥地面ABCD ,AD BC ,3AB AD AC ===,
4PA BC ==,M 为线段AD 上一点,2AM MD =,N 为PC 的中点.
(I )证明MN 平面PAB ;
(II )求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析;
(Ⅱ).
【解析】
试题分析:(Ⅰ)取PB 的中点T ,然后结合条件中的数据证明四边形AMNT 为平行四边形,从而得到MN AT ,由此结合线面平行的判断定理可证;(Ⅱ)以A 为坐标原点,以
,AD AP 所在直线分别为,y z 轴建立空间直角坐标系,然后通过求直线AN 的方向向量与平
面PMN 法向量的夹角来处理AN 与平面PMN 所成角.
试题解析:(Ⅰ)由已知得
232
==
AD AM ,取BP 的中点T ,连接TN AT ,,由N 为PC
中点知BC TN //,221
==
BC TN .
又BC AD //,故
TN AM
,四边形AMNT 为平行四边形,于是AT MN //.
因为?AT 平面PAB ,?MN 平面PAB ,所以//MN 平面PAB
.
设(,,)n x y z = 为平面PMN 的法向量,则?????=?=?00PN n PM n ,即?????=-+=-0225042z y x z x ,可取
(0,2,1)n =
,
于是
|||cos ,|||||n AN n AN n AN ?<>==
.
考点:1、空间直线与平面间的平行与垂直关系;2、棱锥的体积. 【技巧点拨】(1)证明立体几何中的平行关系,常常是通过线线平行来实现,而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证;(2)求解空间中的角和距离常常可通过建立空间直角坐标系,利用空间向量中的夹角与距离来处理. 16、(2017年1卷7题)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形,这些梯形的面积之和为
A .10
B .12
C .14
D .16
【答案】B
【解析】由三视图可画出立体图
该立体图平面内只有两个相同的梯形的面
()24226S =+?÷=梯
6212S =?=全梯 故选B
17、(2017年1卷16题)如图,圆形纸片的圆心为O ,半径为5cm ,该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O ,D 、E 、F 为元O 上的点,DBC △,ECA △,FAB △分别是一
BC ,CA ,AB 为底边的等腰三角形,沿虚线剪开后,分别以BC ,CA ,AB 为折痕折
起DBC △,ECA △,FAB △,使得D ,E ,F 重合,得到三棱锥.当ABC △的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:3cm )的最大值为_______.
【答案】【解析】由题,连接OD ,交BC 与点G ,由题,OD BC ⊥
OG =
,即OG 的长度与BC 的长度或成正比 设OG x =,则
BC =,5DG x =-
三棱锥的高
h
21
32
ABC S x =?=△
则21
3
ABC V S h =?=△
令()452510f x x x =-,5
(0,)2
x ∈,()3410050f x x x '=-
令()0f x '>,即4320x x -<,2x <
则()()280f x f =≤ 则38045V ?=≤
∴体积最大值为3415cm
18、(2017年1卷18题)如图,在四棱锥P ABCD -中,AB CD ∥中,且90BAP CDP ∠=∠=?.
(1)证明:平面PAB ⊥平面PAD ;
(2)若PA PD AB DC ===,90APD ∠=?,求二面角A PB C --的余弦值. 【解析】(1)证明:∵90BAP CD P ∠=∠=?
∴PA AB ⊥,PD CD ⊥ 又∵AB CD ∥,∴PD AB ⊥
又∵PD PA P = ,PD 、PA ?平面PAD ∴AB ⊥平面PAD ,又AB ?平面PAB ∴平面PAB ⊥平面PAD
(2)取AD 中点O ,BC 中点E ,连接PO ,OE ∵AB CD
∴四边形ABCD 为平行四边形
∴OE
AB
由(1)知,AB ⊥平面PAD
∴OE ⊥平面PAD ,又PO 、AD ?平面PAD ∴OE PO ⊥,OE AD ⊥ 又∵PA PD =,∴PO AD ⊥ ∴PO 、OE 、AD 两两垂直
∴以O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -
设2PA =,∴()
002D -,
,、()220B ,,、()002P ,,、()
202C -,,, ∴()
022PD =-- ,
,、()222PB =- ,,、()
2200BC =-
,,
设()n x y z =
,,为平面PBC 的法向量
由00n PB n BC ??=???=??
,得20
0y +=-=??
令1y =
,则z =,0x =,可得平面PBC
的一个法向量(01n =
,
∵90APD ∠=?,∴PD PA ⊥
又知AB ⊥平面PAD ,PD ?平面PAD ∴PD AB ⊥,又PA AB A = ∴PD ⊥平面PAB
即PD
是平面PAB
的一个法向量,(0PD = ,,
∴cos PD n PD n PD n ?===?
,
由图知二面角A PB C --
为钝角,所以它的余弦值为19、(2017年2卷4题)如图,网格纸上小正方形的边长为1,学科&网粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得,则该几何体的体积为() 【解析】 A .90π B .63π C .42π D .36π
【解析】
【命题意图】本题主要考查简单几何体三视图及体积,以考查考生的空间想象能力为主目的. 【解析】 【解析】解法一:常规解法
【解析】
从三视图可知:一个圆柱被一截面截取一部分而剩余的部分,具体图像如下:
【解析】
从上图可以清晰的可出剩余几何体形状,该几何体的体积分成两部分,部分图如下:
从左图可知:剩下的体积分上下两部分阴影的体积,下面阴影的体
积为面部分体积
即第二种体积求法:V 20、(2017年2卷10题)已知直三棱柱111C C AB -A B 中,C 120∠AB =
,2AB =,
1C CC 1B ==,则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为()
A B C D 【命题意图】本题考查立体几何中的异面直线角度的求解,意在考查考生的空间想象能力 【解析】解法一:常规解法
在边
F 由三角形中位线定理和平行线平移功能,异面直线 通过几何关系求得FH 21、(2017年2卷19题)如图,四棱锥P -ABCD 中,侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ,
o 1
,90,2
AB BC AD BAD ABC ==
∠=∠=E 是PD 的中点. (1)证明:直线//CE 平面PAB (2)点M 在棱PC 上,且直线BM 与底面ABCD 所成锐角为o
45,求二面角M -AB -D 的余弦值
【命题意图】线面平行的判定,线面垂直的判定,面面垂直的性质,线面角、二面角的求解 【标准答案】(1)证明略;(2
【基本解法1】
(1)证明:取PA 中点为F ,连接EF 、AF 因为90BAD ABC ∠=∠=?,
1
2BC AD =所以BC 1
2
AD 因为E 是PD 的中点,所以EF
1
2
AD ,所以EF BC 所以四边形EFBC 为平行四边形,所以//EC BF 因为BF ?平面PAB ,EC ?平面PAB 所以直线//CE 平面PAB
(2)取AD 中点为O ,连接OC OP 、
因为△PAD 为等边三角形,所以PO ⊥AD
因为平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAD 平面ABCD AD =,PO ?平面PAD 所以PO ⊥平面ABCD
因为AO BC ,所以四边形OABC 为平行四边形,所以//AB OC 所以OC AD ⊥
以,,OC OD OP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,如图
设1BC =,则(0,1,0),(1,1,0),(1,0,0)P A B C --,所以(1,0,PC =
设(,,)M x y z ,则(,,PM x y z =,(1,0,0)AB =
因为点M 在棱PC 上,所以(01)PM PC λλ=≤≤
,即(,,(1,0,x y z λ=
所以()M λ,所以(1,1)BM λ=-
平面ABCD 的法向量为(0,0,1)n =
因为直线BM 与底面ABCD 所成角为45?,
所以|||sin 45||cos ,|2||||BM n BM n BM n ??=<>===
解得12λ=-()22
BM =--
设平面MAB 的法向量为(,,)m x y z = ,则0
0AB m x BM m x y z ??==?
??=+=??
令1z =
,则m =
所以cos ,5
m n <>==
所以求二面角M AB D --
的余弦值5
22、(2017年3卷8题)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()
A .π
B .3π4
C .π2
D .π
4
【答案】B
【解析】由题可知球心在圆柱体中心,圆柱体上下底面圆半径r =,
则圆柱体体积2
3ππ4V r h ==,故选B.
23、(2017年3卷16题)为空间中两条互相垂直的直线,等腰直
角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与
,都垂直,斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转,有下列结论:
①当直线AB 与成60?角时,AB 与成30?角; ②当直线AB 与成60?角时,AB 与成60?角; ③直线AB 与所成角的最小值为45?; ④直线AB 与所成角的最大值为60?.
其中正确的是________(填写所有正确结论的编号) 【答案】②③
【解析】由题意知,a b AC 、、三条直线两两相互垂直,画出图形如图.
不妨设图中所示正方体边长为1, 故||1AC =
,AB =
斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转,则A 点保持不变, B 点的运动轨迹是以C 为圆心,1为半径的圆.
以C 为坐标原点,以CD 为轴正方向,CB
为轴正方向, CA
为轴正方向建立空间直角坐标系. 则(1,0,0)D ,(0,0,1)A ,
直线的方向单位向量(0,1,0)a = ,||1a =
. B 点起始坐标为(0,1,0),
直线的方向单位向量(1,0,0)b =
,||1b = . 设B 点在运动过程中的坐标(cos ,sin ,0)B θθ',
其中为B C '与CD 的夹角,[0,2π)θ∈.
那么'AB 在运动过程中的向量(cos ,sin ,1)AB θθ'=--
,||AB '
设AB ' 与所成夹角为π[0,]2
α∈,
则(cos ,sin ,1)(0,1,0)cos sin |a AB θθαθ--?=∈' . 故ππ
[,]42α∈,所以③正确,④错误.
设AB ' 与所成夹角为π[0,]2
β∈,
cos (cos ,sin ,1)(1,0,0)cos |AB b
b AB b AB βθθθ'?='
-?='
.
当AB ' 与夹角为60?时,即π3α=,
sin 3πθα====.
∵22cos sin 1θθ+=,
∴|cos |θ=
∴1cos |cos |2βθ==. ∵π
[0,]2
β∈.
∴π
=3
β,此时AB ' 与夹角为60?.
∴②正确,①错误.
24、(2017年3卷19题)如图,四面体ABCD 中,△ABC 是正三角形,△ACD 是直角三角
形.ABD CBD ∠=∠,AB BD =.
(1)证明:平面ACD ^平面ABC ;
(2)过AC 的平面交BD 于点E ,若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分.求二面角D AE C --的余弦值.
【解析】⑴取AC 中点为O ,连接BO ,DO ; ABC ? 为等边三角形 ∴BO AC ⊥∴AB BC = AB BC
BD BD
ABD DBC
=??
=??∠=∠?
ABD CBD ∴???. D
A B C
E
D A
B
C E
O
∴AD CD =,即ACD ?为等腰直角三角形,ADC ∠ 为直角又O 为底边AC 中点
∴DO AC ⊥令AB a =,则A B A C B C B D a ===
=易得
:O D a =
,OB =
∴222
OD OB BD +=由勾股定理的逆定理可得2DOB π∠=即OD OB ⊥
OD AC OD OB
AC OB O AC ABC OB ABC
⊥??⊥??
=??????? 平面平面OD ABC ∴⊥平面 又∵OD ADC ?平面
由面面垂直的判定定理可得ADC ABC ⊥平面平面 ⑵由题意可知V V D ACE B ACE --=
即B ,D 到平面ACE 的距离相等
即E 为BD 中点
以O 为原点,OA 为轴正方向,OB
为轴正方向,OD
为轴正方向,设AC a =,建立空间直角坐标系,
则()0,0,0O ,,0,02a A ?? ???,0,0,2a D ?
? ???
,,0B ?? ? ???
,,4a E ?? ? ???
易得:,24a a AE ??=- ? ??? ,,0,22a a AD ??=- ??? ,,0,02a OA ??
= ??? 设平面AED 的法向量为1n ,平面AEC 的法向量为2n
,
则1100AE n AD n ??=???=??
,解得1n = 2200AE n OA n ??=???=??
,解得(20,1,n = 若二面角D AE C --为,易知为锐角,
则1212
cos n n n n θ?==?
主要考点:
1、能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识 别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二侧法画出它们的直观图 .
2、了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式 .
3、能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题
4、掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.
5、掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线
与垂直.
6、理解直线的方向向量与平面的法向量.
7、能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题,
了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.
近三年高考全国卷理科立体几何真题精编版
新课标卷高考真题 1、(2016年全国I 高考)如图,在以A ,B ,C ,D ,E ,F 为顶点的五面体中,面 ABEF 为正方形,AF =2FD ,90AFD ∠=,且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60. (I )证明:平面ABEF ⊥平面EFDC ; (II )求二面角E -BC -A 的余弦值.
2、(2016年全国II 高考)如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O , 5,6AB AC ==,点,E F 分别在,AD CD 上,5 4 AE CF == ,EF 交BD 于点H .将DEF ?沿EF 折到'D EF ?位置,10OD '=. (Ⅰ)证明:D H '⊥平面ABCD ; (Ⅱ)求二面角B D A C '--的正弦值.
3【2015高考新课标1,理18】 如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC. (Ⅰ)证明:平面AEC⊥平面AFC; (Ⅱ)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.
4、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 如图1-3,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,P A⊥平面ABCD,E为PD的中点. (1)证明:PB∥平面AEC; (2)设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=3,求三棱锥E-ACD的体积. 图1-3
5、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图1-5,三棱柱ABC -A1B1C1中,侧面BB1C1C 为菱形,AB⊥B1C. 图1-5 (1)证明:AC=AB1; (2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,AB=BC,求二面角A -A1B1-C1的余弦值.
(完整版)高三数学立体几何历年高考题(2011年-2017年)
高三数学立体几何高考题 1.(2012年7)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出 的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为 (A )6 (B )9 (C )12 (D )18 2.(2012年8)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1,球心O 到平面α的距离为2,则此球的体积为 (A )6π (B )43π (C )46π (D )63π 3.(2013年11)某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为( ). A .16+8π B .8+8π C .16+16π D .8+16π 4.(2013年15)已知H 是球O 的直径AB 上一点,AH ∶HB =1∶2,AB ⊥平面α,H 为垂足,α截球O 所得截面的面积为π,则球O 的表面积为______. 5.(2014年8)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的 事一个几何体的三视图,则这个几何体是( ) A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 6.(2014年10)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4, 底面边长为2,则该球的表面积为( ) A.81π4 B .16π C .9π D.27π4 7.(2015年6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问”积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,米堆的体积和堆放的米各位多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米有( ) (A )14斛 (B )22斛 (C )36斛 (D )66斛 8.(2015年11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为1620π+,则r =( ) (A )1 (B )2 (C )4 (D )8 9(2016年7)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的 圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π 3 , 则它的表面积是 (A )17π (B )18π (C )20π (D )28π 10(2016年11)平面α过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ,11//CB D α平面, ABCD m α=I 平面,11ABB A n α=I 平面,则m ,n 所成角的正弦值为 (A )32 (B )22 (C )33 (D )1 3 11.(2017年6)如图,在下列四个正方体中,A ,B 为正方体的两个顶点,M ,N ,Q 为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直接AB 与平面MNQ 不平行的是 12.(2017年16)已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上,SC 是球O 的直径。若平面SCA ⊥平面SCB ,SA =AC ,SB =BC ,三棱锥S-ABC 的体积为9,则球O 的表面积为________。
立体几何高考真题大题
立体几何高考真题大题 1.(2016 高考新课标 1 卷)如图 , 在以 A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中, 面 ABEF为正方形 ,AF=2FD,AFD 90 ,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是 60 . D C F (Ⅰ)证明:平面ABEF平面EFDC; (Ⅱ)求二面角E-BC-A 的余弦值. 【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ) 2 19 19 【解析】 试题分析:(Ⅰ)先证明 F平面FDC ,结合F平面 F ,可得平面F 平面 FDC .(Ⅱ)建立空间坐标系, 分别求出平面C的法向量 m 及平面 C 的法 向量 n ,再利用 cos n, m n m 求二面角.n m 试题解析:(Ⅰ)由已知可得F DF, F F, 所以F平面 FDC . 又F平面F,故平面 F 平面FDC . (Ⅱ)过 D 作DG F ,垂足为 G ,由(Ⅰ)知 DG平面 F . 以 G 为坐标原点,GF 的方向为 x 轴正方向, GF 为单位长度, 建立如图所示的空间直角坐标系 G xyz . 由(Ⅰ)知DF为二面角D F的平面角,故DF60,则DF 2, DG3,可得1,4,0 ,3,4,0,3,0,0, D0,0, 3 . 由已知 ,// F,所以//平面FDC . 又平面CD平面FDC DC,故//CD , CD// F . 由//F,可得平面FDC ,所以 C F为二面角 C F 的平面角, C F60 .从而可得C2,0,3.
设 n x, y, z 是平面C的法向量,则 n C 0, 即x 3z 0, n0 4 y0 所以可取 n3,0, 3 . 设 m 是平面 m C0 CD 的法向量,则, m0 同理可取 m0, 3, 4 .则 cos n, m n m 2 19. n m19 故二面角C 219的余弦值为. 19 考点:垂直问题的证明及空间向量的应用 【名师点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明, 空间中线面位置关 系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系, 其中推理论证的关键是结 合空间想象能力进行推理, 要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面, 该类题目难度不 大 , 以中档题为主.第二问一般考查角度问题, 多用空间向量解决. 2 .( 2016 高考新课标 2 理数)如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD交于点 O , AB 5,AC 6,点 E, F 分别在 AD,CD 上, AE CF 5 ,EF交BD于点H.将4 DEF 沿 EF 折到 D EF 位置,OD10. (Ⅰ)证明: D H平面 ABCD ; (Ⅱ)求二面角 B D A C 的正弦值. 【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)295 .25
2018年全国高考III卷试题与参考答案
绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试理科综合能力测试(in 卷)可能用到的相对原子质量:H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Mg 24 Al 27 S 32 Cr 52 Zn 65 I 127 7?化学与生活密切相关。下列说法错误的是 A.泡沫灭火器可用于一般的起火,也适用于电器起火 B.疫苗一般应冷藏存放,以避免蛋白质变性 C.家庭装修时用水性漆替代传统的油性漆,有利于健康及环境 D.电热水器用镁棒防止胆腐蚀,原理是牺牲阳极的阴极保护法 8.下列叙述正确的是 A.24 g镁与27 g铝中,含有相同的质子数 B.同等质量的氧气和臭氧中,电子数相同 C. 1 mol重水与1 mol水中,中子数比为 2 : 1 D. 1 mol乙烷和1 mol乙烯中,化学键数相同 9 .苯乙烯是重要的化工原料。下列有关苯乙烯的说法错误的是 A.与液溴混合后加入铁粉可发生取代反应 B.能使酸性高锰酸钾溶液褪色 C.与氯化氢反应可以生成氯代苯乙烯 D.在催化剂存在下可以制得聚苯乙烯 10.下列实验操作不当的是 A.用稀硫酸和锌粒制取 H2时,加几滴CuSO溶液以加快反应速率 B.用标准HCI溶液滴定NaHCO溶液来测定其浓度,选择酚酞为指示剂 C.用铂丝蘸取某碱金属的盐溶液灼烧,火焰呈黄色,证明其中含有Na+ D.常压蒸馏时,加入液体的体积不超过圆底烧瓶容积的三分之二 2
11.一种可充电锂-空气电池如图所示。当电池放电时,Q与Li +在多孔碳材料电极处生成 Li 2Q-X (x=0或1) o 下 列说法正确的是 A.放电时,多孔碳材料电极为负极 B.放电时,外电路电子由多孔碳材料电极流向锂电极 C.充电时,电解质溶液中 Li +向多孔碳材料区迁移 D.充电时,电池总反应为 Li 2Q-x=2Li+ (1- - ) O 非水电解质/高聚物隔鞭
(完整版)非常好高考立体几何专题复习
立体几何综合习题 一、考点分析 1.棱柱——有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 ①? ? ??????→?? ?????→? ? ?? L 底面是正多形 棱垂直于底面 斜棱柱 棱柱正棱柱 直棱柱 其他棱柱 ★ 底面为矩形 底面为正方形侧棱与底面边长相等 2. 棱锥 棱锥——有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 ★正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的射影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥。 3 .球 球的性质: ①球心与截面圆心的连线垂直于截面; ★②r(其中,球心到截面的距离为 d、球的半径为R、截面的半径为r) ★球与多面体的组合体:球与正四面体,球与长 方体,球与正方体等的内接与外切. 注:球的有关问题转化为圆的问题解决. B
1.求异面直线所成的角(]0,90θ∈??: 解题步骤:一找(作):利用平移法找出异面直线所成的角;(1)可固定一条直线平移 另一条与其相交;(2)可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。常用中位线平移法 二证:证明所找(作)的角就是异面直线所成的角(或其补角)。常需要证明线线平行; 三计算:通过解三角形,求出异面直线所成的角; 2求直线与平面所成的角[]0,90θ∈??:关键找“两足”:垂足与斜足 解题步骤:一找:找(作)出斜线与其在平面内的射影的夹角(注意三垂线定理的应用); 二证:证明所找(作)的角就是直线与平面所成的角(或其补角)(常需证明线面垂直);三计算:常通过解直角三角形,求出线面角。 3求二面角的平面角[]0,θπ∈ 解题步骤:一找:根据二面角的平面角的定义,找(作)出二面角的平面角; 二证: 证明所找(作)的平面角就是二面角的平面角(常用定义法,三垂线法,垂面法); 三计算:通过解三角形,求出二面角的平面角。
历年全国理科数学高考试题立体几何部分精选(含答案)
(一) 1.在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如 右图所示,则相应的俯视图可以为 2.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上,且6,23 ==,则棱锥 AB BC -的体积为。 O ABCD 3.如图,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为平行四 边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明:PA⊥BD; (Ⅱ)若PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值。 : `
} (一) 2.83 3. 解:(Ⅰ)因为60,2DAB AB AD ∠=?=, 由余弦定理得3BD AD = 从而BD 2+AD 2= AB 2,故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ,可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD (Ⅱ)如图,以D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ,则 ()1,0,0A ,()03,0B ,,() 1,3,0C -,()0,0,1P 。 (1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=- < 设平面PAB 的法向量为n=(x ,y ,z ),则0, 0, {n AB n PB ?=?= 即 3030 x y y z -+=-= 因此可取n=(3,1,3) 设平面PBC 的法向量为m ,则 m 0,m 0, { PB BC ?=?= 可取m=(0,-1,3-) 27 cos ,727 m n = =- 故二面角A-PB-C 的余弦值为 27 7 - <
(二) 1. 正方体ABCD-1111A B C D 中,B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A 23 B 33 C 2 3 D 63 2. 已知圆O 的半径为1,PA 、PB 为该圆的两条切线,A 、B 为俩切点,那么PA PB ?的最小值为 (A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+ \ 3. 已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点,若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (A) 23 (B)43 (C) 23 (D) 83 4. 如图,四棱锥S-ABCD 中,SD ⊥底面ABCD ,AB ⊥⊥(Ⅰ)证明:SE=2EB ; (Ⅱ)求二面角A-DE-C 的大小 . 《
高考立体几何大题20题汇总情况
高考立体几何大题20 题汇总情况 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
(2012江西省)(本小题满分12分) 如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,E ,F 是线段AB 上的两点,且DE ⊥AB ,CF ⊥AB ,AB=12,AD=5, BC=42,DE=4.现将△ADE ,△CFB 分别沿DE ,CF 折起,使A ,B 两点重合与点G ,得到多面体CDEFG. (1) 求证:平面DEG ⊥平面CFG ; (2)求多面体C DEFG 的体积。 2012,山东(19) (本小题满分12分) 如图,几何体E ABCD -是四棱锥,△ABD 为正三角形, ,CB CD EC BD =⊥. (Ⅰ)求证:BE DE =; (Ⅱ)若∠120BCD =?,M 为线段AE 的中点,求证:DM ∥平面BEC . 2012浙江20.(本题满分15分)如图,在侧棱锥垂直 底面的四棱锥1111ABCD A B C D -中,,AD BC //AD 11,2,2,4,2,AB AB AD BC AA E DD ⊥====是的中 点,F 是平面11B C E 与直线1AA 的交点。 (Ⅰ)证明:(i) 11;EF A D //ii ()111;BA B C EF ⊥平面 (Ⅱ)求1BC 与平面11B C EF 所成的角的正弦值。 (第20题图) F E C 1 B 1 D 1A 1 A D B C
(2010四川)18、(本小题满分12分)已知正方体''''ABCD A B C D -中,点M 是棱'AA 的中点,点O 是对角线'BD 的中点, (Ⅰ)求证:OM 为异面直线'AA 与'BD 的公垂线; (Ⅱ)求二面角''M BC B --的大小; 2010辽宁文(19)(本小题满分12分) 如图,棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形,11B C A B ⊥ (Ⅰ)证明:平面11A B C ⊥平面11A BC ; (Ⅱ)设D 是11A C 上的点,且1//AB 平面1B CD ,求11:A D DC 的值。
2018年高考理综真题及答案(全国卷)
2018年高考理综真题及答案(全国卷) 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。学·科网 可能用到的相对原子质量:H 1 Li 7 C 12 N 14 O 16 Na 23 S 32 Cl 35.5 Ar 40 Fe 56 I 127 一、选择题:本题共13个小题,每小题6分。在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.生物膜的结构与功能存在密切的联系。下列有关叙述错误的是A.叶绿体的类囊体膜上存在催化ATP合成的酶 B.溶酶体膜破裂后释放出的酶会造成细胞结构的破坏 C.细胞的核膜是双层膜结构,核孔是物质进出细胞核的通道D.线粒体DNA位于线粒体外膜上,编码参与呼吸作用的酶2.生物体内的DNA常与蛋白质结合,以DNA—蛋白质复合物的形式存在。下列相关叙述错误的是 A.真核细胞染色体和染色质中都存在DNA—蛋白质复合物B.真核细胞的核中有DNA—蛋白质复合物,而原核细胞的拟核
中没有 C.若复合物中的某蛋白参与DNA复制,则该蛋白可能是DNA 聚合酶 D.若复合物中正在进行RNA的合成,则该复合物中含有RNA 聚合酶 3.下列有关植物根系吸收利用营养元素的叙述,错误的是 A.在酸性土壤中,小麦可吸收利用土壤中的N2和NO-3 B.农田适时松土有利于农作物根细胞对矿质元素的吸收 C.土壤微生物降解植物秸秆产生的无机离子可被根系吸收D.给玉米施肥过多时,会因根系水分外流引起“烧苗”现象4.已知药物X对细胞增值有促进作用,药物D可抑制药物X的作用。 某同学将同一瓶小鼠皮肤细胞平均分为甲、乙、丙三组,分别置于培养液中培养,培养过程中进行不同的处理(其中甲组未加药物),每隔一段时间测定各组细胞数,结果如图所示。据图分析,下列相关叙述不合理的是 A.乙组加入了药物X后再进行培养 B.丙组先加入药物X,培养一段时间后加入药物D,继续培养C.乙组先加入药物D,培养一段时间后加入药物X,继续培养D.若药物X为蛋白质,则药物D可能改变了药物X的空间结构
2017年高考立体几何大题
2017年高考立体几何大题(文科) 1、(2017新课标Ⅰ文数)(12分) 如图,在四棱锥P-ABCD 中,AB//CD ,且90BAP CDP ∠=∠=o (1)证明:平面PAB ⊥平面PAD ; (2)若PA =PD =AB =DC ,90APD ∠=o ,且四棱锥P-ABCD 的体积为 83 ,求该四棱锥的侧面积.
如图,四棱锥P ABCD -中,侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,1,90.2 AB BC AD BAD ABC ==∠=∠=? (1)证明:直线BC ∥平面PAD ; (2)若△PCD 的面积为P ABCD -的体积.
如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD. (1)证明:AC⊥BD; (2)已知△ACD是直角三角形,AB=BD.若E为棱BD上与D不重合的点,且AE⊥EC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.
如图,在三棱锥P–ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点. (Ⅰ)求证:PA⊥BD; (Ⅱ)求证:平面BDE⊥平面PAC; (Ⅲ)当PA∥平面BD E时,求三棱锥E–BCD的体积.
由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1- B1CD1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E⊥平面ABCD. A O∥平面B1CD1; (Ⅰ)证明: 1 (Ⅱ)设M是OD的中点,证明:平面A1EM⊥平面B1CD1.
如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD. 求证:(1)EF∥平面ABC; (2)AD⊥AC.
历年江苏高考数学立体几何真题汇编含详解
历年江苏高考数学立体几何真题汇编(含详解) (2008年第16题) 在四面体ABCD 中, CB =CD ,AD ⊥BD ,且E 、F 分别是AB 、BD 的中点, 求证:(1)直线EF ∥平面ACD (2)平面EFC ⊥平面BCD 证明:(1) ? ??? ?E ,F 分别为AB ,BD 的中点?EF ∥AD 且AD ?平面ACD ,EF ?平面ACD ?直线EF ∥平面ACD (2)??????? ?? ?CB =CD F 是BD 的中点 ? CF ⊥BD ? ??? ?AD ⊥BD EF ∥AD ? EF ⊥BD ?直线BD ⊥平面EFC 又BD ?平面BCD , 所以平面EFC ⊥平面BCD (2009年第16题) 如图,在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,E ,F 分别是A 1B ,A 1C 的中点,点D 在B 1C 1上, A 1D ⊥ B 1 C . 求证:(1)EF ∥平面ABC (2)平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C 证明:(1)由E ,F 分别是A 1B ,A 1C 的中点知EF ∥BC , 因为EF ?平面ABC ,BC ?平面ABC ,所以EF ∥平面ABC (2)由三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱知CC 1⊥平面A 1B 1C 1, 又A 1D ?平面A 1B 1C 1,故CC 1⊥A 1D , 又因为A 1D ⊥B 1C ,CC 1∩B 1C =C , CC 1、B 1C ?平面BB 1C 1C 故A 1D ⊥平面BB 1C 1C ,又A 1D ?平面A 1FD , 故平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C (2010年第16题)
立体几何高考真题大题
立体几何高考真题大题 1.(2016高考新课标1卷)如图,在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF=2FD, 90AFD ∠=o ,且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60o . (Ⅰ)证明:平面ABEF ⊥平面EFDC ; (Ⅱ)求二面角E-BC-A 的余弦值. 【答案】(Ⅰ)见解析; (Ⅱ)19 - 【解析】 试题分析:(Ⅰ)先证明F A ⊥平面FDC E ,结合F A ?平面F ABE ,可得平面F ABE ⊥平 面FDC E .(Ⅱ)建立空间坐标系,分别求出平面C B E 的法向量m u r 及平面C B E 的法向量 n r ,再利用cos ,n m n m n m ?=r r r r r r 求二面角. 试题解析:(Ⅰ)由已知可得F DF A ⊥,F F A ⊥E ,所以F A ⊥平面FDC E . 又F A ?平面F ABE ,故平面F ABE ⊥平面FDC E . (Ⅱ)过D 作DG F ⊥E ,垂足为G ,由(Ⅰ)知DG ⊥平面F ABE . 以G 为坐标原点,GF u u u r 的方向为x 轴正方向,GF u u u r 为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -. 由(Ⅰ)知DF ∠E 为二面角D F -A -E 的平面角,故DF 60∠E =o ,则DF 2=,DG 3=,可得()1,4,0A ,()3,4,0B -,()3,0,0E - ,(D . 由已知,//F AB E ,所以//AB 平面FDC E . 又平面CD AB I 平面FDC DC E =,故//CD AB ,CD//F E . 由//F BE A ,可得BE ⊥平面FDC E ,所以C F ∠E 为二面角C F -BE -的平面角, C F 60∠E =o .从而可得(C -. 所以(C E =u u u r ,()0,4,0EB =u u u r ,(C 3,A =--u u u r ,()4,0,0AB =-u u u r . 设(),,n x y z =r 是平面C B E 的法向量,则 C 0 0n n ??E =???EB =??u u u r r u u u r r , 即040x y ?=?? =??, 所以可取(3,0,n =r .
历年高考立体几何大题试题(卷)
2015年高考立体几何大题试卷 1. 【2015高考新课标2,理19】 如图,长方体ABCD -A1B1C1D1中,AB=16, BC=10, AA = 8,点E , F 分别在AB , C1D1上,A1E =4 .过点E , F的平面:-与此长方体的面相交,交线围成一个正方形. (1题图) (I )在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由) (n )求直线AF与平面〉所成角的正弦值. 2. 【2015江苏高考,16】如图,在直三棱柱ABC—中,已知AC丄BC ,
BC =CC 1,设 AB 1 的中点为 D , BQ BC^ E .求证:(1) DE // 平面 AA 1C 1C ; (2) BC 1 _ AB 1 . (2题图) (3题图) C C 第的题图
3. 【2015高考安徽,理19】如图所示,在多面体 AEDQCBA ,四边形AABB , ADD 1A 1 ,ABCD 均为正方形,E 为Bp 的中点,过 A,D,E 的平面交CD ,于F. (I)证明:EF //BQ ; (□)求二面角E - A ,D - B i 余弦值. 4. 【2015江苏高考,22】如图,在四棱锥P-ABCD 中,已知PA _平面ABCD ,且 四边形 ABCD 为直角梯 形,.ABC =/BAD = —,PA 二 AD =2,AB 二 BC =1 2 (1)求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值; (2)点Q 是线段BP 上的动点,当直线 CQ 与DP 所成角最小时,求线段 BQ 的长 (4题图) 5 .【2015高考福建,理17】如图,在几何体 ABCDE 中,四边形ABCD 是矩形,AB A 平面BEC , BE A EC , AB=BE=EC=2 , G , F 分别是线段 BE , DC 的中点. (I 求证:GF //平面ADE ; (^)求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值. 6. 【2015高考浙江,理17】如图,在三棱柱 AB^A 1B 1C 1-中,.BAC =90;, AB = AC=2 , AA = 4 , A 在底面ABC 的射影为BC 的中点,D 为B 1C 1的中点. (5题图) D
高考立体几何大题及答案理
1.如图,四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 为矩形,SD ⊥底面 ABCD ,2AD =,2DC SD ==,点M 在侧棱SC 上, ∠ABM=60 。 (I )证明:M 是侧棱SC 的中点; ()II 求二面角S AM B --的大小。 2.如图,直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB ⊥AC ,D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点,DE ⊥平面BCC 1(Ⅰ)证明:AB =AC (Ⅱ)设二面角A -BD -C 为60°,求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小 3.如图,DC ⊥平面ABC ,//EB DC ,22AC BC EB DC ====,120ACB ∠=,,P Q 分别为,AE AB 的中点.(I )证明://PQ 平面ACD ; (II )求 AD 与平面ABE 所成角的正弦值. 4.如图,四棱锥P ABCD -的底面是正方形, PD ABCD ⊥底面,点E 在棱PB 上.(Ⅰ)求证:平面AEC PDB ⊥平面;(Ⅱ)当2PD AB =且E 为PB 的中 点 时,求AE 与平面PDB 所成的角的大小. 5.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是矩形, PA ⊥平面ABCD ,4PA AD ==,2AB =.以BD 的中点O 为球心、BD 为直径的球面交PD 于点M . B C D E O A P B M
(1)求证:平面ABM ⊥平面PCD ; (2)求直线PC 与平面ABM 所成的角; (3)求点O 到平面ABM 的距离. 6.如图,正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直,△ABE 是等腰直角三角形,,,45AB AE FA FE AEF ?==∠=(I )求证:EF BCE ⊥平面; (II )设线段CD 、AE 的中点分别为P 、M ,求证: PM ∥BCE 平面 (III )求二面角F BD A --的大小。 7.如图,四棱锥S -ABCD 的底面是正方形,SD ⊥平面ABCD ,SD =AD =a ,点E 是SD 上的点,且DE =λa (0<λ≦1). (Ⅰ)求证:对任意的λ∈(0、1), 都有AC ⊥BE : (Ⅱ)若二面角C -AE -D 的大小为600C ,求λ的值。 8.如图3,在正三棱柱111ABC A B C -中,AB =4, 17AA =,点D 是BC 的中点,点E 在AC 上,且DE ⊥1A E .(Ⅰ)证明:平面1A DE ⊥平面 11ACC A ;(Ⅱ)求直线AD 和平面1A DE 所成角的正弦值。 9.如图,正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直,△ABE 是等腰直角三角形,,,45AB AE FA FE AEF ?==∠= (I )求证:EF BCE ⊥平面;
立体几何高考真题大题
立体几何咼考真题大题 1. (2016高考新课标1 卷)如图,在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方 形,AF=2FD, NAFD =90:且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 60: (I )证明:平面 ABEF 丄平面EFDC (n )求二面角 E-BC-A 的余弦值. 【答案】(I )见解析;(n ) -2蜃 19 【解析】 试题分析:(I )先证明AF 丄平面E FDC ,结合直F U 平面AB E F ,可得平面ABE F 丄 平面E FDC . (n )建立空间坐标系,分别求出平面E C E 的法向量m 及平面E C E 的法 试题解析:(I )由已知可得 A F 丄DF, A F 丄F E|,所以A F 丄平面E FDC . 又A F U 平面 AE E F ,故平面AEE F 丄平面|E F D C . _ (n )过D 作DG 丄E F ,垂足为G ,由(I )知DG 丄平面[A E 百F . 以G 为坐标原点,GF 的方向为x 轴正方向,GF 为单位长度,建立如图所示的空间直 角坐标系G —xyz . 由(I )知N DF E 为二面角D -A F -E 的平面角,故N DF E =60:贝U DF = 2 , DG|=3,可得九(1,4,0 ), B(—3,4,0 ), E(—3,0,0 ), D (0,0, 73 ). 由已知,AE //E F ,所以AE //平面E FDC . 又平面 A ECD n 平面 |E FDC = DC ,故〕AB //CD , CD//EF . 由EE //A F ,可得EE 丄平面I E F DC ,所以N C E F |为二面角C —EE —F 的平面角, 向量n ,再利用cos (n,m ) 求二面角. n ||m |
(完整版)历年高考立体几何大题试题.doc
2015 年高考立体几何大题试卷 1.【 2015 高考新课标2,理 19】 如图,长方体ABCD A1B1C1D1中,AB=16,BC =10, AA18 ,点E,F分别在 A1 B1,C1D1上, A1 E D1F 4 .过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方 形. D F C A E B D C A B ( 1 题图) (Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由); (Ⅱ)求直线AF 与平面所成角的正弦值. 2. 【 2015 江苏高考, 16】如图,在直三棱柱ABC A1 B1C1中,已知AC BC , BC CC1,设 AB1的中点为D, B1C BC1 E .求证:(1) DE // 平面 AA1C1C ; (2)BC1AB1. A C B E D A C B ( 2 题图)(3 题图) 3. 【2015 高考安徽,理19】如图所示,在多面体A1 B1 D1 DCBA ,四边形 AA1B1 B , ADD A , ABCD 均为正方形, E 为 B D 的中点,过 A1 , D , E 的平面交CD于F. 1 1 1 1 1 (Ⅰ)证明:EF / / B1C ;(Ⅱ)求二面角 E A1 D B1余弦值.
4.【2015江苏高考,22】如图,在四棱锥P ABCD 中,已知 PA平面ABCD,且四边形 ABCD 为直角梯形,ABC BAD,PA AD 2, AB BC 12 ( 1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值; ( 2)点Q是线段BP上的动点,当直线CQ 与 DP 所成角最小时,求线段BQ 的长 A P D Q B F A D G B C E C ( 4 题图)( 5 题图) 5 .【 2015 高考福建,理 17】如图,在几何体 ABCDE 中,四边形 ABCD 是矩形, AB ^平 面 BEC, BE^ EC,AB=BE=EC=2 , G,F 分别是线段 BE, DC 的中点 . ( Ⅰ ) 求证:GF / /平面ADE; ( Ⅱ ) 求平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值. 6. 【 2015 高考浙江,理17】如图,在三棱柱ABC A1B1C1 - 中,BAC 90o, AB AC 2 ,A1A 4 ,A1在底面ABC的射影为BC的中点, D 为B1C1的中点. (1)证明:A1D平面A1B C; (2)求二面角A1-BD- B1的平面角的余弦值.
2018年高考语文真题及答案
2018年高考语文真题及答案 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、现代文阅读 (一)论述类文本阅读 阅读下面的文字,完成下列小题。 对城市而言,文明弹性是一个城市体在生存、创新、适应、应变等方面的综合状态、综 合能力,是公共性与私人性之间、多样性与共同性之间、稳定性与变迁性之间、柔性与刚性 之间的动态和谐,过于绵柔、松散,或者过于刚硬、密集,都是弹性不足或丧失的表现,是 城市体出现危机的表征。当代城市社会,尤其需要关注以下文明弹性问题。 其一,空间弹性。城市具有良好空间弹性的一个重要表现,是空间的私人性与公共性关 系能够得到较为合理的处理。任何城市空间都是私人性与公共性的统一,空间弹性的核心问 题,就是如何实现空间的公共性与私人性的有机统一、具体转换。片面地强调空间的公共性 或片面地强调空间的私人性,都会使城市发展失去基础,目前,人们更多地要求空间的私人 性,注重把空间固化为永恒的私人所有物、占有物。这种以私人化为核心的空间固化倾向, 造成城市空间弹性不足,正在成为制约城市发展的一个重要原因。 其二,制度弹性,一种较为理想的、有弹性的城市制度,是能够在秩序与活力、生存与 发展间取得相对平衡的制度。城市有其发展周期、发展阶段,对一个正在兴起的城市而言, 其主要任务是聚集更多的发展资源、激活发展活力,而对一个已经发展起来的城市而言,人 们会更为注重城市制度的稳定功能。但问题在于,即使是正在崛起的城市,也需要面对秩序 与稳定的问题;即使是一个已经发展起来的城市,也需要面对新活力的激活问题。过于注重 某种形式的城市制度,过于注重城市制度的某种目标,都是城市制度弹性不足,走向僵化的 表现,都会妨害城市发展。
高考立体几何大题20题汇总
(2012省)(本小题满分12分) 如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,E ,F 是线段AB 上的两点,且DE ⊥AB ,CF ⊥AB ,AB=12,AD=5,BC=42,DE=4.现将△ADE ,△CFB 分别沿DE ,CF 折起,使A ,B 两点重合与点G ,得到多面体CDEFG. (1) 求证:平面DEG ⊥平面CFG ; (2)求多面体CDEFG 的体积。 2012,(19) (本小题满分12分) 如图,几何体E ABCD -是四棱锥,△ABD 为正三角形, ,CB CD EC BD =⊥. (Ⅰ)求证:BE DE =; (Ⅱ)若∠120BCD =?,M 为线段AE 的中点,求证:DM ∥平面BEC . 201220.(本题满分15分)如图,在侧棱锥垂直底面 的四棱锥1111ABCD A B C D -中,,AD BC //AD 11,2,2,4,2,AB AB AD BC AA E DD ⊥====是的中点,F 是平面11B C E 与直线1AA 的交点。 (Ⅰ)证明:(i) 11;EF A D //ii ()111;BA B C EF ⊥平面 (Ⅱ)求1BC 与平面11B C EF 所成的角的正弦值。 (2010)18、(本小题满分12分)已知正方体''''ABCD A B C D -中,点M 是棱'AA 的中点,点O 是对角线'BD 的中点, (Ⅰ)求证:OM 为异面直线'AA 与'BD 的公垂线; (Ⅱ)求二面角''M BC B --的大小; (第20题图) F E C 1 B 1 D 1A 1 A D B C
2010文(19)(本小题满分12分) 如图,棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形,11B C A B ⊥ (Ⅰ)证明:平面11A B C ⊥平面11A BC ; (Ⅱ)设D 是11A C 上的点,且1//AB 平面1B CD ,求11:A D DC 的值。 2012(18)(本小题满分12分) 如图,直三棱柱/ / / ABC A B C -,90BAC ∠=, 2,AB AC ==AA ′=1,点M ,N 分别为/A B 和//B C 的 中点。 (Ⅰ)证明:MN ∥平面/ / A ACC ; (Ⅱ)求三棱锥/ A MNC -的体积。 (椎体体积公式V= 1 3 Sh,其中S 为地面面积,h 为高) 2012,(16)(本小题共14分) 如图1,在Rt ABC ?中,90C ∠=?,D ,E 分别为 AC ,AB 的中点,点F 为线段CD 上的一点,将ADE ? 沿DE 折起到1A DE ?的位置,使1A F CD ⊥,如图2. D F D E B C A 1 F E C B A
全国卷历年高考立体几何真题归类分析(含答案)
全国卷历年高考立体几何真题归类分析(含答案) 类型一:直建系——条件中已经有线面垂直条件,该直线可以作为z轴或与z轴平行,底面垂直关系直接给出或容易得出(如等腰三角形的三线合一)。这类题入手比较容易,第(Ⅰ)小问的证明就可以用向量法,第(Ⅱ)小问往往有未知量,如平行坐标轴的某边长未知,或线上动点等问题,以增加难度。该类问题的突破点是通过条件建立方程求解,对于向上动点问题这主意共线向量的应用。 1.(2014年全国Ⅱ卷)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD 的中点. (Ⅰ)证明:PB∥平面AEC; (Ⅱ)设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=3,求三棱锥E-ACD的体积. 2.(2015年全国Ⅰ卷)如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC. (Ⅰ)证明:平面AEC⊥平面AFC;(Ⅱ)求直线AE与直线CF所成角的余弦值. 3.(2015年全国Ⅱ卷)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形. (Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由);(Ⅱ)求直线AF与平面α所成角的正弦值.
4.(2016年全国Ⅲ卷)如图,四棱锥P ABC -中,PA ⊥底面面ABCD ,AD ∥BC , 3AB AD AC ===,4PA BC ==,M 为线段AD 上一点,2AM MD =,N 为PC 的中点. (I )证明MN 平面PAB ;(II )求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值. 5.(2017全国Ⅱ卷)如图所示,在四棱锥P ABCD -中,侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD ,1 2 AB BC AD == ,o 90BAD ABC ∠=∠=, E 是PD 的中点. (1)求证:直线//CE 平面PAB ; (2)点M 在棱PC 上,且直线BM 与底面ABCD 所成的锐角为45,求二面角M AB D --的余弦值. E M D C B A P 类型二:证建系(1)——条件中已经有线面垂直条件,该直线可以作为z 轴或与z 轴平行,但底面垂直关系需要证明才可以建系(如勾股定理逆定理等证明平面线线垂直定理)。这类题,第(Ⅰ)小问的证明用几何法证明,其证明过程中的结论通常是第(Ⅱ)问证明的条件。第(Ⅱ)小问开始需要证明底面上两条直线垂直,然后才能建立空间直角坐标系。 6.(2011年全国卷)如图,四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD ,PD ⊥底面ABCD . (Ⅰ)证明:P A ⊥BD ; (Ⅱ)若PD =AD ,求二面角A-PB-C 的余弦值.
-2017立体几何全国卷高考真题
2015-2017立体几何高考真题 1、(2015年1卷6题)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放斛的米约有( ) (A )14斛 (B )22斛 (C )36斛 (D )66斛 【答案】B 【解析】设圆锥底面半径为r ,则12384r ??==16 3 r =,所以米堆的体积为211163()5433????=320 9 ,故堆放的米约为 320 9 ÷1.62≈22,故选B. 考点:圆锥的性质与圆锥的体积公式 2、(2015年1卷11题)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20π,则r=( ) (A )1 (B )2 (C )4 (D )8 【答案】B 【解析】由正视图和俯视图知,该几何体是半球与半个圆柱的组合体,圆柱的半径与球的半径都为r ,圆柱的高为2r ,其表面积为221 42222 r r r r r r πππ?+?++?=2254r r π+=16 + 20π,解得r=2,故选B. 考点:简单几何体的三视图;球的表面积公式、圆柱的测面积公式 3、(2015年1卷18题)如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E ,F 是平面ABCD 同一侧的两点,BE ⊥平面ABCD ,DF ⊥平面ABCD ,BE=2DF ,AE ⊥EC.