2016届数学一轮(理科)人教B版课时作业第九章平面解析几何-5含答案

第5讲 椭 圆

基础巩固题组 (建议用时：40分钟)

一、选择题

1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 2

16＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为

( )

A ．4

B ．3

C ．2

D ．5

解析 由题意知，在△PF 1F 2中，|OM |＝1

2|PF 2|＝3， ∴|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4. 答案 A

2．已知椭圆x 210－m ＋y 2

m －2＝1的焦距为4，则m 等于

( )

A ．4

B ．8

C ．4或8

D ．以上均不对

解析 由

???10－m >0，

m －2>0，

得2

由题意知(10－m )－(m －2)＝4或(m －2)－(10－m )＝4， 解得m ＝4或m ＝8. 答案 C

3．(2015·青岛质量检测)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于1

2，则C 的方程是

( )

A.x 23＋y 2

4＝1 B.x 24＋y 2

3＝1

C.x 24＋y 2

3＝1

D.x 24＋y 2

＝1

解析依题意，所求椭圆的焦点位于x轴上，且c＝1，e＝c

a＝

1

2

?a＝2，b2＝a2

－c2＝3，因此其方程是x2

4＋

y2

3＝1，故选C.

答案 C

4．(2014·汕头一模)已知椭圆x2

4＋

y2

2＝1上有一点P，F1，F2是椭圆的左、右焦点，

若△F1PF2为直角三角形，则这样的点P有() A．3个B．4个C．6个D．8个

解析当∠PF1F2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P有2个；同理当∠PF2F1为直角时，这样的点P有2个；当P点为椭圆的短轴端点时，

∠F1PF2最大，且为直角，此时这样的点P有2个．故符合要求的点P有6个．答案 C

5．已知椭圆C：x2

a2＋

y2

b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，

B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝4

5，则C的离心率为

()

A.3

5 B.

5

7 C.

4

5 D.

6

7

解析如图，设|AF|＝x，则

cos∠ABF＝82＋102－x2

2×8×10

＝

4

5.

解得x＝6，∴∠AFB＝90°，由椭圆及直线关

于原点对称可知|AF1|＝8，∠F AF1＝∠F AB＋

∠FBA＝90°，△F AF1是直角三角形，所以|F1F|＝10，故2a＝8＋6＝14，2c＝

10，∴c

a＝5 7.

答案 B 二、填空题

6．(2015·威海模拟)已知P为椭圆x2

25＋

y2

16＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)

2

＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．

解析由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.

答案7

7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率等于1

3，其焦点分别为A ，B ，C 为椭圆上异

于长轴端点的任意一点，则在△ABC 中，sin A ＋sin B

sin C 的值等于________．

解析 在△ABC 中，由正弦定理得sin A ＋sin B sin C ＝|CB |＋|CA |

|AB |，因为点C 在椭圆

上，所以由椭圆定义知|CA |＋|CB |＝2a ，而|AB |＝2c ，所以sin A ＋sin B sin C ＝2a 2c ＝1

e ＝3. 答案 3

8．(2015·沈阳质量监测)已知F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)为椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)的两

个焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是

________．

解析 设P (x ，y )，则PF 1→·PF 2

→＝(－c －x ，－y )·(c －x ，－y )＝x 2－c 2＋y 2＝c 2，

①

将y 2

＝b 2

－b 2a 2x 2

代入①式解得

x 2＝（2c 2－b 2）a 2c 2＝（3c 2－a 2）a 2c 2

，

又x 2∈[0，a 2]，∴2c 2≤a 2≤3c 2， ∴e ＝c a ∈??????

33

，22.

答案 ??????

33，22

三、解答题

9．(2014·新课标全国Ⅱ卷)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N . (1)若直线MN 的斜率为3

4，求C 的离心率；

(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .

解 (1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ? ????

c ，b 2a ，2b 2＝3ac .

将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12或c a ＝－2(舍去)．故C 的离心率为1

2.

(2)由题意，知原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点

D (0，2)是线段MF 1的中点，故b 2

a ＝4，即

b 2＝4a . ①

由|MN |＝5|F 1N |，得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1＜0，则 ???2（－c －x 1）＝c ，－2y 1＝2，即?????

x 1＝－32c .y 1＝－1.

代入C 的方程，得9c 24a 2＋1

b 2＝1.

②

将①及c ＝a 2－b 2

代入②得9（a 2－4a ）4a 2＋14a ＝1.

解得a ＝7，b 2＝4a ＝28， 故a ＝7，b ＝ 2 7.

10.(2014·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .

(1)若点C 的坐标为? ????

43，13，且|BF 2|＝2，求椭圆

的方程；

(2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．

解 设椭圆的焦距为2c ，则F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)． (1)因为B (0，b )，所以|BF 2|＝b 2＋c 2＝a . 又|BF 2|＝2，故a ＝ 2. 因为点C ? ????

43，13在椭圆上，

所以169a 2＋19

b 2＝1，解得b 2＝1.

故所求椭圆的方程为x 22＋y 2

＝1.

(2)因为B (0，b )，F 2(c ，0)在直线AB 上，

所以直线AB 的方程为x c ＋y

b ＝1.

解方程组?????x c ＋y

b ＝1，

x 2a 2＋y 2b 2＝1，得?????x 1＝2a 2c

a 2＋c 2，

y 1＝b （c 2－a 2）a 2＋c 2，

???x 2＝0，y 2＝b .

所以点A 的坐标为? ????

2a 2c a 2＋c

2，

b （

c 2－a 2

）a 2＋c 2. 又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为? ????

2a 2c a 2＋c

2，

b （a 2－

c 2

）a 2＋c 2. 因为直线F 1C 的斜率为b （a 2－c 2）

a 2＋c 2－0

2a 2c a 2＋c 2－（－c ）＝b （a 2－c 2）

3a 2c ＋c 3

，

直线AB 的斜率为－b

c ，且F 1C ⊥AB ， 所以b （a 2－c 2）3a 2c ＋c 3·? ????－b c ＝－1.又b 2＝a 2－c 2， 整理得a 2＝5c 2. 故e 2＝15，因此e ＝55.

能力提升题组 (建议用时：25分钟)

11．(2014·朝阳市重点高中模拟)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 24＋y 2

3＝1的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列，则|AB |＝

( )

A.103

B ．3

C.83

D ．2

解析 依题意得|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|BF 1|)＋(|AF 2|＋|BF 2|)＝|AB |＋(|AF 2|＋|BF 2|)＝3|AB |＝4×2，|AB |＝8

3，故选C. 答案 C

12．(2015·云南统一检测)设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 2

16＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6，4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为 ( )

A ．10

B ．12

C ．15

D ．18

解析 |PF 1|＋|PF 2|＝10，|PF 1|＝10－|PF 2|， |PM |＋|PF 1|＝10＋|PM |－|PF 2|，

易知M 点在椭圆外，连接MF 2并延长交椭圆于P 点， 此时|PM |－|PF 2|取最大值|MF 2|， 故|PM |＋|PF 1|的最大值为

10＋|MF 2|＝10＋（6－3）2＋42＝15. 答案 C

13．(2015·陕西五校联考)椭圆x 2a 2＋y 25＝1(a 为定值，且a ＞5)的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B .若△F AB 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．

解析 设椭圆的右焦点为F ′，如图，由椭圆定义知，

|AF |＋|AF ′|＝|BF |＋|BF ′|＝2a .

又△F AB 的周长为|AF |＋|BF |＋|AB |≤|AF |＋|BF |＋|AF ′|＋|BF ′|＝4a ，

当且仅当AB 过右焦点F ′时等号成立．

此时4a ＝12，则a ＝3.故椭圆方程为x 29＋y 2

5＝1，

所以c ＝2，所以e ＝c a ＝2

3.

答案 2

3

14．(2014·辽宁卷)圆x 2＋y 2＝4的切线与x 轴正半轴、y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P (如图)．双曲线C 1：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)过点P 且离心率为 3. (1)求C 1的方程；

(2)椭圆C 2过点P 且与C 1有相同的焦点，直线l 过C 2的右焦点且与C 2交于A ，

B 两点．若以线段AB 为直径的圆过点P ，求l 的方程． 解 (1)设切点坐标为(x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，

则切线斜率为－x 0y 0

，切线方程为y －y 0＝－x 0

y 0

(x －x 0)，

即x 0x ＋y 0y ＝4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S ＝12·4x 0·4y 0＝

8x 0y 0.

由x 20＋y 2

0＝4≥2x 0y 0知当且仅当x 0＝y 0＝2时，x 0y 0有最大值，即S 有最小值，

因此点P 的坐标为(2，2)． 由题意知?????2a 2－2b 2＝1，a 2＋b 2＝3a 2，

解得a 2

＝1，b 2

＝2，故C 1的方程为x 2

－y 2

2＝1.

(2)由(1)知C 2的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)， 由此设C 2的方程为x 23＋b 21＋y 2

b 21

＝1，其中b 1>0.

由P (2，2)在C 2上，得23＋b 21

＋2

b 21＝1， 解得b 2

1＝3，因此C 2的方程为x 26＋y 23＝1. 显然，l 不是直线y ＝0.

设l 的方程为x ＝my ＋3，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由????

?x ＝my ＋3，x 26＋y 23＝1，得(m 2＋2)y 2＋23my －3＝0.

又y 1，y 2是方程的根，因此?????y 1＋y 2＝－23m m 2＋2，①y 1y 2＝－3

m 2＋2，②

由x 1＝my 1＋3，x 2＝my 2＋3，得

?

????x 1＋x 2＝m （y 1＋y 2）＋23＝43m 2＋2

，③x 1x 2＝m 2y 1y 2＋3m （y 1＋y 2）＋3＝6－6m

2

m 2＋2，④. 因为AP →＝(2－x 1，2－y 1)，BP →＝(2－x 2，2－y 2)， 由题意知AP

→·BP →＝0， 所以x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0，⑤

将①，②，③，④代入⑤整理得2m 2－26m ＋46－11＝0， 解得m ＝362－1或m ＝－6

2＋1.因此直线l 的方程为 x －? ????362－1

y －3＝0或x ＋? ??

??

62－1y －3＝0.