高考数学大题经典习题(2020年九月整理).doc
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1. 对于函数()3
2
1(2)(2)3
f x a x bx a x =-+-+-。
(1)若()f x 在13x x ==和处取得极值,且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过
22sin cos t t t -+t 的取值范围;
(2)若()f x 为实数集R 上的单调函数,设点P 的坐标为(),a b ,试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。
1. (1)由()3
2
1(2)(2)3
f x a x bx a x =-+-+-,则
()2'(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-
因为()13f x x x ==在和处取得极值,所以()13'0x x f x ===和是的两个根
22
1(2)121(2)02
(2)323(2)0a a b a b a b a ⎧=--+⋅-⋅+-=⎧⇒⎨⎨=--+⋅-⋅+-=⎩⎩ ()2
'43f x x x ∴=-+-
因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过2
2sin cos t t t -+
所以()2
'2sin cos f x t t t x R ≤-∈恒成立,
而()()2
'21f x x =--+,其最大值为1.
故2
2sin cos 1t t t -≥
72sin 21,3412t k t k k Z πππππ⎛
⎫⇒-≥⇒+≤≤+∈ ⎪⎝
⎭
(2)当2a =-时,由()f x 在R 上单调,知0b =
当2a ≠-时,由()f x 在R 上单调()'0f x ⇔≥恒成立,或者()'0f x ≤恒成立. ∵()2
'(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-,
2244(4)0b a ∴∆=+-≤可得224a b +≤
从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为
4S π=
2. 函数cx bx ax x f ++=2
3
)((0>a )的图象关于原点对称,))(,(ααf A 、))
(,(ββf B
分别为函数)(x f 的极大值点和极小值点,且|AB|=2,αββα-=-)()(f f . (Ⅰ)求b 的值;
(Ⅱ)求函数)(x f 的解析式; (Ⅲ)若m
m x f x 6
)(],1,2[->-∈恒成立,求实数m 的取值范围. 2. (Ⅰ) b =0
(Ⅱ)
3'2()()30,f x ax cx
f x ax c αβ
=+∴=+=的两实根是
则 03c a αβαβ+=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩
|AB|=22
2
2
()()()()4()2f f αβαβαβ⇒-+-=⇒-= 3
4232
c c a a -⋅
=⇒=- 33()()f f a c a c αββαααβββα-=-⇒+--=-
222()1[()3]1a c a c ααββαβαβ⇒+++=-⇒+-+=-
233
()11122
c a c c ac a a a ∴-+=-⇒-+=-⇒-=-
又0
1a a >∴= 3()3
2
x f x x =-
(Ⅲ) [2,1]x ∈-时,求()f x 的最小值是-5
6(6)(1)50m m m m m
+-->-⇒< 106<<- 3. 已知()d cx bx ax x f +++=23是定义在R 上的函数,其图象交x 轴于A ,B ,C 三点,若 点B 的坐标为(2,0),且()x f 在]0,1[-和[4,5]上有相同的单调性,在[0,2]和[4, 5]上有相反的单调性. (1)求c 的值; (2)在函数()x f 的图象上是否存在一点M (x 0,y 0),使得()x f 在点M 的切线斜率为3b ? 若存在,求出点M 的坐标;若不存在,说明理由; 3. ⑴ ∵()x f 在[]0,1-和[]2,0上有相反单调性, ∴ x=0是()x f 的一个极值点,故()0'=x f , 即0232=++c bx ax 有一个解为x=0,∴c=0 ⑵ ∵()x f 交x 轴于点B (2,0) ∴()a b d d b a 24,048+-==++即 令()0'=x f ,则a b x x bx ax 32,0,023212- ===+ ∵()x f 在[]2,0和[]5,4上有相反的单调性 ∴4322≤-≤a b , ∴36-≤≤-a b 假设存在点M (x 0,y 0),使得()x f 在点M 的切线斜率为3b ,则()b x f 30'= 即 032302 =-+b bx ax ∵ △=()()⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+=+=-⨯⨯-94364334222a b ab ab b b a b 又36-≤≤-a b , ∴△<0 ∴不存在点M (x 0,y 0),使得()x f 在点M 的切线斜率为 4. 已知函数x x f ln )(= (1)求函数x x f x g -+=)1()(的最大值; (2)当b a <<0时,求证2 2) (2)()(b a a b a a f b f +->-; 4. (1)x x f x g x x f -+==)1()(,ln )( )1()1ln()(->-+=∴x x x x g 11 1 )(-+= 'x x g 令,0)(='x g 得0=x 当01<<-x 时,0)(>'x g 当0>x 时0)( ∴ 当且仅当0=x 时,)(x g 取得最大值0 (2))1ln(ln ln ln ln )()(b b a b a a b a b a f b f -+-=-==-=- 由(1)知b a b b b a a f b f x x -=--≥-≤+)()()1ln( 又2 2222 2)(2212,0b a a b b b a b b a a b ab b a b a +->-∴+>∴>+∴<<