高考数学大题经典习题(2020年九月整理).doc

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1. 对于函数()3

2

1(2)(2)3

f x a x bx a x =-+-+-。

(1)若()f x 在13x x ==和处取得极值,且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过

22sin cos t t t -+t 的取值范围;

(2)若()f x 为实数集R 上的单调函数,设点P 的坐标为(),a b ,试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。

1. (1)由()3

2

1(2)(2)3

f x a x bx a x =-+-+-,则

()2'(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-

因为()13f x x x ==在和处取得极值,所以()13'0x x f x ===和是的两个根

22

1(2)121(2)02

(2)323(2)0a a b a b a b a ⎧=--+⋅-⋅+-=⎧⇒⎨⎨=--+⋅-⋅+-=⎩⎩ ()2

'43f x x x ∴=-+-

因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过2

2sin cos t t t -+

所以()2

'2sin cos f x t t t x R ≤-∈恒成立,

而()()2

'21f x x =--+,其最大值为1.

故2

2sin cos 1t t t -≥

72sin 21,3412t k t k k Z πππππ⎛

⎫⇒-≥⇒+≤≤+∈ ⎪⎝

(2)当2a =-时,由()f x 在R 上单调,知0b =

当2a ≠-时,由()f x 在R 上单调()'0f x ⇔≥恒成立,或者()'0f x ≤恒成立. ∵()2

'(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-,

2244(4)0b a ∴∆=+-≤可得224a b +≤

从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为

4S π=

2. 函数cx bx ax x f ++=2

3

)((0>a )的图象关于原点对称,))(,(ααf A 、))

(,(ββf B

分别为函数)(x f 的极大值点和极小值点,且|AB|=2,αββα-=-)()(f f . (Ⅰ)求b 的值;

(Ⅱ)求函数)(x f 的解析式; (Ⅲ)若m

m x f x 6

)(],1,2[->-∈恒成立,求实数m 的取值范围. 2. (Ⅰ) b =0

(Ⅱ)

3'2()()30,f x ax cx

f x ax c αβ

=+∴=+=的两实根是

则 03c a αβαβ+=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩

|AB|=22

2

2

()()()()4()2f f αβαβαβ⇒-+-=⇒-= 3

4232

c c a a -⋅

=⇒=- 33()()f f a c a c αββαααβββα-=-⇒+--=-

222()1[()3]1a c a c ααββαβαβ⇒+++=-⇒+-+=-

233

()11122

c a c c ac a a a ∴-+=-⇒-+=-⇒-=-

又0

1a a >∴= 3()3

2

x f x x =-

(Ⅲ) [2,1]x ∈-时,求()f x 的最小值是-5

6(6)(1)50m m m m m

+-->-⇒< 106<<-

3. 已知()d cx bx ax x f +++=23是定义在R 上的函数,其图象交x 轴于A ,B ,C 三点,若

点B 的坐标为(2,0),且()x f 在]0,1[-和[4,5]上有相同的单调性,在[0,2]和[4,

5]上有相反的单调性. (1)求c 的值;

(2)在函数()x f 的图象上是否存在一点M (x 0,y 0),使得()x f 在点M 的切线斜率为3b ?

若存在,求出点M 的坐标;若不存在,说明理由;

3. ⑴ ∵()x f 在[]0,1-和[]2,0上有相反单调性,

∴ x=0是()x f 的一个极值点,故()0'=x f , 即0232=++c bx ax 有一个解为x=0,∴c=0 ⑵ ∵()x f 交x 轴于点B (2,0) ∴()a b d d b a 24,048+-==++即

令()0'=x f ,则a

b

x x bx ax 32,0,023212-

===+ ∵()x f 在[]2,0和[]5,4上有相反的单调性

∴4322≤-≤a b , ∴36-≤≤-a

b

假设存在点M (x 0,y 0),使得()x f 在点M 的切线斜率为3b ,则()b x f 30'=

即 032302

=-+b bx ax ∵ △=()()⎪⎭

⎝⎛+=+=-⨯⨯-94364334222a b ab ab b b a b

又36-≤≤-a

b

, ∴△<0

∴不存在点M (x 0,y 0),使得()x f 在点M 的切线斜率为

4. 已知函数x x f ln )(=

(1)求函数x x f x g -+=)1()(的最大值; (2)当b a <<0时,求证2

2)

(2)()(b

a a

b a a f b f +->-;

4. (1)x x f x g x x f -+==)1()(,ln )(

)1()1ln()(->-+=∴x x x x g 11

1

)(-+=

'x x g 令,0)(='x g 得0=x 当01<<-x 时,0)(>'x g 当0>x 时0)(

∴ 当且仅当0=x 时,)(x g 取得最大值0

(2))1ln(ln ln

ln ln )()(b

b a b a a b a b a f b f -+-=-==-=- 由(1)知b

a

b b b a a f b f x x -=--≥-≤+)()()1ln(

又2

2222

2)(2212,0b

a a

b b b a b b a a b ab b a b a +->-∴+>∴>+∴<<

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