特征根法

(45) 特征方程法求解递推关系中的数列通项

一、（一阶线性递推式）设已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式。

采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程,d cx x +=称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.

定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即

0101,;x b a a x a a n n n +===时当，其中}{n b 是以c 为公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-.

证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10c

d

x -=

作换元,0x a b n n -=则.)(110011n n n n n n cb x a c c

cd ca c d d ca x a b =-=--=--

+=-=-- 当10a x ≠时，01≠b ，数列}{n b 是以c 为公比的等比数列，故;1

1-=n n c b b

当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕） 下面列举两例，说明定理1的应用.

例1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23

111=∈--=+a n a a n n 求.n a

解：作方程.2

3

,2310-=--=x x x 则

当41=a 时，.211

23,1101=+=≠a b x a

数列}{n b 是以3

1

-为公比的等比数列

.于是

.N ,)3

1

(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n

例2．已知数列}{n a 满足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数单位。当1a 取何值时，数列}{n a 是常数数列？ 解：作方程,)32(i x x +=则.5360i x +-=

要使n a 为常数，即则必须.5

3601i

x a +-== 二、（二阶线性递推式）定理2：对于由递推公式n n n qa pa a +=++12，βα==21,a a 给出的数列{}n a ，方程02

=--q px x ，叫做数列{}n a 的特征方程。

若21,x x 是特征方程的两个根，当21x x ≠时，数列{}n a 的通项为1

211--+=n n n Bx Ax a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入1

211--+=n n n Bx Ax a ，得到关于A 、B 的方程组）；当21x x =时，数列{}n a 的通项为1

1)(-+=n n x B A a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入1

1)(-+=n n x Bn A a ，得到关于A 、

B 的方程组）。

例3：已知数列{}n a 满足),0(0253,,1221N n n a a a b a a a n n n ∈≥=+-==++，求数列{}n a 的通项公式。

解法一（待定系数——迭加法） 由025312=+-++n n n a a a ，得

)(3

2

112n n n n a a a a -=

-+++， 且a b a a -=-12。

则数列{}n n a a -+1是以a b -为首项，

3

2

为公比的等比数列，于是 11)3

2

)((-+-=-n n n a b a a 。把n n ,,3,2,1???=代入，得

a b a a -=-12，

)32

()(23?-=-a b a a ，

234)3

2

()(?-=-a b a a ，

???

21)3

2

)((---=-n n n a b a a 。

把以上各式相加，得

])3

2()32(321)[(21-+???+++-=-n n a b a a )(3

21)32(11

a b n ---=

-。 a b b a a a b a n n n 23)3

2

)((3)]()32(33[11-+-=+--=∴--。

解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,的特征方程是：02532

=+-x x 。

3

2,121=

=x x , ∴1

211--+=n n n Bx Ax a 1)3

2(-?+=n B A 。

又由b a a a ==21,，于是

??

?-=-=???

?

??+=+=)(32332b a B a b A B A b B

A a 故1

)

3

2

)((323--+-=n n b a a b a

三、(分式递推式)定理3：如果数列}{n a 满足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ，都有

h ra q pa a n n n ++=

+1（其中p 、q 、r 、h 均为常数，且r

h

a r qr ph -≠≠≠1,0,），那么，可作特

征方程h

rx q

px x ++=

.

（1）当特征方程有两个相同的根λ（称作特征根）时， 若,1λ=a 则;N ,∈=n a n λ 若λ≠1a ，则,N ,1∈+=

n b a n n λ其中.N ,)1(11∈--+-=n r p r n a b n λ

λ特别地，当存在,N 0∈n 使00=n b 时，无穷数列}{n a 不存在.

（2）当特征方程有两个相异的根1λ、2λ（称作特征根）时，则1

1

2--=

n n n c c a λλ，,N ∈n

其中).(,N ,)(211212111λλλλλ≠∈----=-a n r

p r p a a c n n 其中

例3、已知数列}{n a 满足性质：对于,3

24

,N 1++=∈-n n n a a a n 且,31=a 求}{n a 的通项公式.

解:依定理作特征方程,3

24

++=

x x x 变形得,04222=-+x x 其根为.2,121-==λλ故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有

.N ,)2

21211(2313)(1

1212111∈?-?-?+-=--?--=

--n r p r p a a c n n n λλλλ

∴.N ,)5

1(521

∈-=

-n c n n ∴.N ,1)5

1(521

)51

(5221

1112∈----?-=--=--n c c a n n n n

n λλ 即.N ,)5(24

)5(∈-+--=n a n

n n

例5．已知数列}{n a 满足：对于,N ∈n 都有.3

25

131+-=+n n n a a a

（1）若,51=a 求;n a （2）若,31=a 求;n a （3）若,61=a 求;n a

（4）当1a 取哪些值时，无穷数列}{n a 不存在？

解：作特征方程.3

25

13+-=

x x x 变形得,025102=+-x x

特征方程有两个相同的特征根.5=λ依定理2的第（1）部分解答.

(1)∵∴=∴=.,511λa a 对于,N ∈n 都有;5==λn a (2)∵.,311λ≠∴=a a ∴λ

λr p r

n a b n --+-=

)1(11

51131

)1(531?-?

-+-=

n ,8

121-+-=n

令0=n b ，得5=n .故数列}{n a 从第5项开始都不存在， 当n ≤4，N ∈n 时，5

17

51--=+=

n n b a n n λ. (3)∵,5,61==λa ∴.1λ≠a ∴.,8

1

1)1(11N n n r p r n a b n ∈-+=--+-=

λλ

令,0=n b 则.7n n ?-=∴对于.0b N,n ≠∈n ∴.N ,743

558

1111

∈++=+-+

=+=

n n n n b a n

n λ (4)、显然当31-=a 时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，

51=a 时，数列}{n a 是存在的，当51=≠λa 时，则有.N ,8151)1(111∈-+-=--+-=

n n a r p r n a b n λλ令,0=n b 则得N ,1

13

51∈--=n n n a 且n ≥2. ∴当1

13

51--=

n n a （其中N ∈n 且N ≥2）时，数列}{n a 从第n 项开始便不存在. 于是知：当1a 在集合3{-或,:1

13

5N n n n ∈--且n ≥2}上取值时，无穷数列}{n a 都不存

在.

练习题：

求下列数列的通项公式：

1、 在数列}{n a 中，,7,121==a a )3(3221≥+=--n a a a n n n ，求n a 。（key ：

21)1(32---+?=n n n a ）

2、 在数列}{n a 中，,5,121==a a 且2145---=n n n a a a ，求n a 。（key ：)14(3

1-=

n

n a ）

3、 在数列}{n a 中，,7,321==a a )3(2321≥-=--n a a a n n n ，求n a 。（key ：121

-=+n n a ）

4、 在数列}{n a 中，,2,321==a a n n n a a a 3

1

3212+=

++，求n a 。（key ：2)3

1

(4147--?+=

n n a ） 5、 在数列}{n a 中，,35,321=

=a a )4(3112n n n a a a -=++，求n a 。

（key ：13

2

1-+=n n a ） 6、 在数列}{n a 中，,,21b a a a ==n n n qa pa a +=++12，且1=+q p .求n a .（key ：1

=q 时，))(1(a b n a a n --+=；1≠q 时，q

q a b b aq a n n +---+=-1))((1

）

7、 在数列}{n a 中，,,21b a a a a +==0)(12=++-++n n n qa a q p pa （q p ,是非0常数）.

求n a .（key ： b p

q q p p a a n n )](1[1

---+

= (q p ≠)； b n a a n )1(1-+=）(q p =)

8、在数列

}

{n a 中，

2

1,a a 给定，

2

1--+=n n n ca ba a .求

n a .(key:122211)

(a c a a n n n n n ?--+?--=

----α

βαβαβαβ)(βα≠；若βα=，上式不能应用，此时，.)2()1(112

2----?-=n n n a n a n a αα

附定理3的证明

定理3(分式递推问题)：如果数列}{n a 满足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ，都有

h ra q pa a n n n ++=

+1（其中p 、q 、r 、h 均为常数，且r

h

a r qr ph -≠≠≠1,0,），那么，可作特

征方程h

rx q

px x ++=

.

（1）当特征方程有两个相同的根λ（称作特征根）时， 若

,

1λ=a 则

;

N ,∈=n a n λ若

λ

≠1a ，则

,N ,1

∈+=

n b a n

n λ其中

.N ,)1(11∈--+-=

n r p r

n a b n λ

λ特别地，当存在,N 0∈n 使00=n b 时，无穷数列}{n a 不存在.

（2）当特征方程有两个相异的根1λ、2λ（称作特征根）时，则1

1

2--=

n n n c c a λλ，,N ∈n 其

中).(,N ,)(211

212111λλλλλ≠∈----=-a n r

p r p a a c n n 其中

证明：先证明定理的第（1）部分. 作交换N ,∈-=n a d n n λ 则λλ-++=

-=++h

ra q

pa a d n n n n 11

h ra h

q r p a n n +-+-=

λλ)(

h

d r h

q r p d n n ++-+-+=

)())((λλλλ

λ

λλλr h rd q p h r r p d n n -+--+--=]

)([)(2 ①

∵λ是特征方程的根，∴λ.0)(2=--+?++=q p h r h

r q

p λλλλ

将该式代入①式得.N ,)

(1∈-+-=+n r

h rd r p d d n n n λλ ②

将r

p

x =代入特征方程可整理得,qr ph =这与已知条件qr ph ≠矛盾.故特征方程的根λ,r

p

≠

于是.0≠-r p λ ③ 当01=d ，即λ+=11d a =λ时，由②式得,N ,0∈=n b n 故.N ,∈=+=n d a n n λλ 当01≠d 即λ≠1a 时，由②、③两式可得.N ,0∈≠n d n 此时可对②式作如下变化：

.1)(11

r

p r

d r p r h r p d r h rd d n n n n λλλλλ-+?-+=--+=

+ ④

由λ是方程h rx q px x ++=的两个相同的根可以求得.2r h

p -=λ

∴,122=++=---+=-+h p p h r

r

h p p r

r h p h r p r h λλ

将此式代入④式得

.N ,111

∈-+=

+n r

p r d d n n λ 令.N ,1∈=n d b n n 则.N ,1∈-+=+n r p r b b n n λ故数列}{n b 是以r

p r λ-为公差的等差数列.

∴.N ,)1(1∈-?

-+=n r

p r

n b b n λ 其中.11111λ

-==

a d

b 当0,N ≠∈n b n 时，.N ,1

∈+=

+=n b d a n

n n λλ 当存在,N 0∈n 使00=n b 时，λλ+=

+=0

001

n n n b d a 无意义.故此时，

无穷数列}{n a 是

不存在的.

再证明定理的第（2）部分如下：

∵特征方程有两个相异的根1λ、2λ，∴其中必有一个特征根不等于1a ，不妨令.12a ≠λ于是可作变换.N ,2

1

∈--=

n a a c n n n λλ

故21111λλ--=

+++n n n a a c ，将h

ra q

pa a n n n ++=+1代入再整理得

N ,)()(22111∈-+--+-=

+n h

q r p a h

q r p a c n n n λλλλ ⑤

由第（1）部分的证明过程知r p x =

不是特征方程的根，故.,21r

p r p ≠≠λλ 故.0,021≠-≠-r p r p λλ所以由⑤式可得：

N ,2211211

∈--+

--+

?--=+n r

p h q a r p h

q a r

p r p c n n n λλλλλλ ⑥

∵特征方程h

rx q px x ++=

有两个相异根1λ、2λ?方程0)(2

=--+q p h x rx 有两个相

异根1λ、2λ，而方程xr

p xh q x --=

-与方程0)(2

=---q p h x rx 又是同解方程.

∴

222111,λλλλλλ-=---=--r

p h

q r p h q

将上两式代入⑥式得

N ,2121211∈--=--?--=

-n c r

p r

p a a r p r p c n n n n λλλλλλ

当,01=c 即11λ≠a 时，数列}{n c 是等比数列，公比为

r

p r

p 21λλ--.此时对于N ∈n 都有

.))(()(

1

2121111211------=--=n n n r

p r p a a r p r p c c λλλλλλ

当01=c 即11λ=a 时，上式也成立. 由2

1

λλ--=

n n n a a c 且21λλ≠可知.N ,1∈=n c n

所以.N ,1

1

2∈--=

n c c a n n n λλ(证毕)

注:当qr ph =时,

h ra q pa n n ++会退化为常数;当0=r 时,h

ra q

pa a n n n ++=+1可化归为较易解

的递推关系,在此不再赘述.