期末高等数学(上)试题及答案

1

第一学期期末高等数学试卷

一、解答下列各题 （本大题共16小题，总计80分）

（本小题5分）

3

求极限 lim 一3x -

x 2

2x 3 （本小题5分）

求 X 2 2 dx. （1 x ）

（本小题5分）

（本小题5分）

设函数y y （x ）由方程y 5 in y 2 x 6

所确定，求鱼.

dx

（本小题5分） 求函数y 2e x e x

的极值

（本小题5分） 2 2 2 2

求极限lim & ° （2x ° （3x ° 辿」

x （10x 1）（11x 1）

（本小题5分）

cos2x

d x. sin xcosx

二、解答下列各题

（本大题共2小题，总计14分）

3 . ----------

求 x . 1 xdx . 5 sin x , 2—dx. 0 8 sin 2

x

（本小题5分）

1、

2、

3、

4、

5、

6、

7、 8、 9、 10、 11、

12、 13、

14、

15、

16、

x 2的单调区间 设 x(t) e kt (3cos

4sin t), 求 dx .

12x 16

9x 2 12x

.1 arcs

in x

求极限 limarctan x

x

（本小题5分） 求—^dx.

1 x

（本小题5分） 求—x .1 t 2 dt . dx 0

（本小题5分） 求 cot 6 x esc 4

xdx.

（本小题5分） 求-1

1 ,

求 cos dx.

x x

5分）

［曲2确定了函数y es

int

5分）

（本小题

设

x

y （本小

y(x),求乎

dx

（本大题6分）

设f （x ） x （x 1）（ x 2）（ x 3）,证明f （x ） 0有且仅有三个实根

一学期期末高数考试（答案）

、解答下列各题

（本大题共16小题，总计77分） 1、（本小题3分）

lim 」^ x 2

12x 18

2、（本小题3分）

(1

2

1

d(1 x ) 2 (1 x 2)2

1 1

2 1 x 2

3、（本小题3分）

故 limarctan

x

4、（本小题3分）

dx

dx

」 dx dx

1 x

x In 1 x c.

5、 (本小题3分)

原式 2x 1 x 4 6、 (本小题4分)

.6

4

cot x csc xdx

cot 6 x(1 cot 2 x)d(cot x)

1、（本小题7分）

某农场需建一个面积为 512平方米的矩形的晒谷场，一边可用原来的石条围

另三边需砌新石条围沿 2、（本小题7分）

2

求由曲线y -和y

2

三、解答下列各题

，问晒谷场的长和宽各为多少时,才能使材料最省?

3

—所围成的平面图形绕 ox 轴旋转所得的旋转体的 8

沿， 体积.

解:原式

lim x 2

6x 3x 2~ 2

12 18x 12 c.

因为 arctanx

—而 limarcsin 2 x

.1

x arcs in

x

7、 1

.7

cot x 7 (本小题

8、 9、

原式 （本小题 解: 1

cot 9 x c.

9

1 cos — d (—) - x x .1 sin —

x 1 4分) dy dx 4分) x 2

原式 2 1 (u （本小题 令,1 e 2t (2 s int cost)

~t 2 2~ e (cost

2tsin t ) e t (2sint cost)

2 2~ (cost 2t sin t ) 4 u 2

）du 5 3 2（

U U

）

2（

亍

T ）

116

15 10、（本小题5分） 函数定义域（，

y

当x 当x 当x 1

, 1

,

1, ） 2x 2（1 x ）

y o y 0函数单调增区间为 y 0函数的单调减区间为1,

,1

11、（本小题5分） 原式 2 d cosx 0

9 cos 2 x 1 3 cosx

ln ---------- 6 3 cosx 1

ln 2

6 6分） （t ）dt （4 6分） 业 y

3yx 5

y y 2 1

14、（本小题6分）

定义域（

12、 （本小题

dx x

kt e 13、 （本小题 2yy

3k)cos t (4k 3 )sin t dt

6x 5

x 2x

y 2e (e

）,且连续

丄）

2

驻点： x 3n 丄

2 2 由于y X

2e X

a

e

1 i sin2x

1

In 1 -si n2x c

2

二、解答下列各题

（本大题共2小题，总计13分） 1、（本小题5分）

设晒谷场宽为X,则长为

512

米,新砌石条围沿的总长为

X

（X 0）

唯一驻点 X 16 即X 16为极小值点

故晒谷场宽为16米,长为5-— 16

32米时,可使新砌石条围沿

所用材料最省

2、（本小题8分）

3

X c

2

,8x 8

2

（X-）

2

V x

(

1

4

2x 3

X

1

0, x 1 4.

dx

4

(7 64)dX

1 5 X 5

4

1

4

仃

三、解答下列各题

（本大题

10分）

证明:f （x ）在（

1 64

1 7 1

X )

512 35

）连续,可导,从而在[0,3];连续，可导.

15、（本小题

8分)

1 2 1 2 ,亠 1 2

(

-)(2 -) (3 -) 原式 lim 一

X

X X

X

1 1 (10 -)(11 -)

X X

10 11 21

6 10 11

7

2

16、（本小10分)

解：匚

cos2x

dx

cos2x ——

dx

1 sin xcosx

1 ；sin2x

d (丄 si n2x 1)

2

2

512

1024

故函数有极小值,,y （~1 In -2） 2 2

X

又 f (0) f (1) f (2) f (3) 0

则分别在[0,1],[1,2],[2,3]上对f(x)应用罗尔定理得，至少存在

1

(0,1), 2 (1,2), 3

(2,3)使f (1) f ( 2) f ( 3)

即f (x)

0至少有三个实根，又f (x)

0,是三次方程,它至多有三个实根,

由上述f (x)有且仅有三个实根

参考答案

。填空题(每小题 3分，本题共15分)

三. 计算题(本题共 56分，每小题7分)

1

5、解:矽IZ 丄

dx 2t 2t

1 t 2

1 t

1 t

2 4t

6、解：2 si n(? 3)dx

x x

1 2 2

厂％

3)d(

-

3)

1

2 cos( 3) C 2 x

7、 解:

e x cos xdx

cosxde x

1、

2、k =1

x

3、

-

1 x

4、y 1

5、f (x) 2cos2x

?单项选择题(每小题 3分，本题共15分) 1、 D 2、 B

4、B

5、A

1?解:

.4 x 2 sin 2x

lim . ----- x 0

sin2x( ,4 x 2)

丄lim

2x

2 x 0sin 2x( J4 x 2)

3、解:

4、解:

1

/V

x

mo

cosx

e t dt

lim cos 2 x

sin xe 1 x 0 2x

2e

X

e

-xe

叫

2

1

由F （0） 0，在［0,xj 上应用罗尔定理知，至少存在一点

XXX

x

e cosx

e sinxdx

e cosx sin xde

x

x

x

e cosx e sin x e cosxdx

e x (sin x cosx) C

解：曲线y x 4与x

y 2的交点为（1, 1）,

A 绕y 轴旋转所产生的旋转体的体积为:

i

V ( ... y)2 y 4 dy

五、证明题（本题 7分） 证明：设 F(x) f(x) x ,

1 1

显然F （x ）在［一

,1］

上连续，在（一,1）内可导，

2 2

1 1

且

F （J ;

，F （1） 1 0.

4

2 1 &解： f (x 1)dx f (x)dx

1

f (x)dx

1

f(x)dx …

0 dx 1 dx 1

1 e x 01 x

1

(

1

x

e

1

-——)dx ln(1 x)。 1 e 0

1 ln(1

e x

) 1 In 2

1

1 In(1 e ) ln(1 e)

四. 应用题（本题7分）

于是曲线y x 2与x

2

y 所围成图形的面积 A 为

dx

2

X

3

_2

X

2

一

3

1

O

2

X

/ y_

3

2

5 0

10

2 2

(0,x1) ( 0,1) ，使F ( ) f ( ) 1 0，即f ( ) 1

（本小题5分）

求函数y 4 2x

（本小题5分）

1

由零点定理知存在x1［ ,1］，使F （为）0.