习题难度的划分

题库类产品如何计算题目的难度值

一、引言

题库类产品（如猿题库、易题库等）的一个标配功能是预测用户未来要进行的某项考试得分，我们称之为目标考试预测分。以猿题库高考为例，即将参加高考的学生通过在题库上做大量练习，练习的效果会以学生的高考预测分呈现出来，这是学生最关注的指标，也是整个题库产品中最关键的数据。

为了让“预测分”数据更加准确，我们引入了能力评估模型，通过测算用户在所有知识点上的能力水平，并将其量化成为一个数值。能力评估模型中有两个重要参数：题目难度值、用户答题的正确率。简化为：

A＝f(a n,d)

其中A表示能力值，a n表示所做n道题目的难度值，d表示用户做这n道题目的正确率。参数d的值是可轻易计算得出，而a n的值决定于这n道题每一道题的难度值。

于是，单题难度值的计算成为准确预测用户预测分的关键因素。

二、什么样的题目才算“难题”

我们这样定义“难题”：解题的逻辑、思路迂回复杂，所关联的知识点综合性强。

有一些情形，表面上似乎能证明这是一道“难题”，但并不属于我们考虑的范围：

?基础易错题：考察概念性、定义类的基础知识题目，但题目会设置若干干扰性强的易错项。

?多知识点平行考查：考查多个知识点，但知识点之间的关联性小，在题目内的综合度低。

?“超纲题”：答题者觉得“难”并不是因为这是一道逻辑复杂的题，而是解答此题需要用到的知识并不在答题者的所学范围以内；如二元一次方程的题目出现在一元一次方程的课后

习题里。

这些因素会在后续计算难度系数时剔除掉。

三、如何给一道“难题”确定难度系数

难度系数反映题目的难易程度，描述考生在答题时的失分情况。一般地，难度系数的计算公式为：L=1-X/W

其中，L为难度系数，X为样本平均得分，W为试卷总分（对于单题而言，W为该题的分值）。

这是在有足够答题数据的前提下建立的难度计算公式，而题库类的产品中题目被作答的次数是有一个累积的过程，对于新入库的题目，这个计算公式并不适用。针对题库产品的特性以及题目难度系数计算公式的适用问题，我们按以下步骤来确定并校准题目的难度系数：

1.人工标记题目初始难度

新题目在录入、解析的环节中，由教研人员根据一定的标准（如上述第二部分中“难题”的标准），给题目录入一个初始难度值，难度值的范围为1～10共10个等级，这个值越大代表这道题的难度越大。

2.题目被大量作答后，提取正确率并计算难度系数

根据公式L=1-X/W计算该题难度系数。

3.比对步骤1和步骤2中产生的难度值，确定题目的最终难度系数

如果难度值为1～3，而难度系数为0.7～0.9，则用人工初始难度值转化为该题的难度系数，并把这道题交由教研人员重新评估题目的难度值，并检查此题是否出现在了超纲的位置。此外的其他情形，都用新计算出来的难度系数来取代初始难度值。

4.步骤3中教研人员重新评估题目难度值的环节中如果发现严重的偏差，则在修正后用难

度系数来取代初始难度值。

四、小结

引入经典的难度系数计算公式，再通过与人工标记的难度值进行比对修正，使得题目的难度量化更加合理，为能力评估模型提供更准确的参数。

1．信度

试卷的信度是表示试卷作为测试工具的可靠程度的指标.试卷的信度高说明考生分数不易受偶然因素的影响,考生分数可以比较真实地反映考生的实际水平。

影响试卷信度的因素有:

①试题的难度.过难或过易的试题都会降低试卷的信度.

②题目的数量.试卷题目数量越多,信度越高,因为题目数量增多,尤其是同质题目增多,在每道题目上的随机误差将会互相抵消.虽然测评受到内容和时间的限制,题目数量不能太多,但可尽量把大题化小,增加题目数量,以提高信度.

③题目用语的准确性.题目用语不标准、不准确也会降低试卷的信度.试卷的信度值必须在考后才能计算出来,而且计算过程比较复杂,因此为提高试卷的信度,教师在命题时应尽量排除上述因素的干扰,使试卷的信度值尽可能高.

2．效度

试卷的效度是衡量考试结果与预定要达到的考试目标相符合的程度,效度反映了试卷的有效程度.如果测试的结果与学生平时学习的情况基本一致,这样的试卷有较高的效度,说明试卷内容恰恰是需要考查的内容；如果试卷的效度低,则说明所要考查的内容没有完全考查到.初学者数学学业考试中主要关注试卷的内容效度和结构效度,内容效度反映的是试卷是否按《数学课程标准》的要求,使各部分内容特别是教学重点内容得到合理的分配；结构效度反映的是试卷中的图文结构、题型结构和试卷的排版印刷质量是否合理等.

提高试卷的效度要注意三个方面的问题:一是考试的目标要明确,明确是要考查学生对基础知识的掌握,还是要考查学生应用数学知识进行推理判断的能力,或是两者兼而有之；二是试题的设计要有效地体现考试目标,填空题、选择题一般用来考查学生对基础知识的掌握,解答题则用来考查学生的数学运用能力；三是试卷的要求与《数学课程标准》的要求要一致,试卷内容要涉及数学教科书中的重点部分,排除与考试无关的内容,试卷中不要出现偏题、怪题,试卷内容要兼顾知识与能力两个方面.

3．难度

难度是指试题或试卷的难易程度,是试题或试卷考查学生知识和能力水平适合程度的指标.

1.试题的难度

数学试题一般分为三种形式:选择题、填空题和解答题.计算试题难度的方法有两种:

①选择题、填空题的难度计算公式为P=.(P为某试题的难度,R为做对该题的人数,N为参加考试的总人数.)

②解答题难度的简易计算公式为P=.(P为某试题的难度,为参加考试的学生对该题的平均得分,X为该题的满分数.)

从上述的计算公式可以知道,试题难度过大或过小,都不能区分学生的学习水平,所以掌握试题的难易程度。

2.试卷的难度

全卷难度计算公式为P=.(为考生的总平均分,w为全卷满分.)

通常对难度范围的划分如表1所示.

试卷难度应该根据考试的目的来选定,单元测验、期中考试、期末考试等检查性的考试,难度不宜过大,一般控制在0.8-0.9为宜；初中毕业学业考试全卷难度一般为0.75左右；对于选拔性考试,全卷平均难度在0.6左右能够产生较好的选拔效果；而数学竞赛试卷,难度应控制在0.3-0.5为宜.

因为试卷的难度值要在考试结束后才能统计得到,所以命题时必须对试卷做出比较准确的估计.一方面教师要钻研课程标准,精通教材；另一方面要了解学生的学习情况,只有这样才能编制出难度适当的试卷.

一般地,难度适当的试卷分数的分布应呈近似正态分布。.

4．区分度

区分度是旨试题或试卷对学生实际水平的区分程度或鉴别能力.区分度是反映学生掌握知识水平差异能力的指标.区分度高的试卷能对不同知识水平和能力的学生加以区分,使能力

强的学生得高分,能力弱的学生得低分.如果水平高和水平低的学生得分相差不大或没有规律可循,那么这样的试卷的区分度就低.

试卷的区分度和难度有着密切的关系,区分度的提高主要是通过控制试题难度来实现的.如果试题太难,优生和差生都答不出来,就没有区分度可言；如果试卷太容易,优生和差生都能答出来,同样没有区分度.只有合适的难度才会有很好的区分度.实践证明,难度值为0.5的试题具有最好的区分度.但在实际编制试卷时,不可能要求所有题目的难度值均为0.5.一般说来,较难的试题对高水平的考生区分度高,较易的试题对低水平的考生区分度高,中等难度的试题对中等水平的老先生区分度高.所以,当我们要求考生的成绩呈正态分布时,试题难度与特别容易的试题较少,接近中等难度的试题较多,此时全卷难度接近0.5,这样的试卷才具有较高的区分度.