六年级奥数数论质数合数约数倍数ABC级学生版

质数合数、约数倍数

知识框架

一、质数与合数

一个大于1的自然数，如果除了1和它本身，再不能被其他自然数整除，那么它就叫做质数（也叫做素数）。

一个大于1的自然数，如果除了1和它本身，还能被其他自然数整除，那么它就叫做合数。

要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。

质数有无限多个。最小的质数是2。合数有无限多个。最小的合数是4。

常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；

除了2其余的质数都是奇数；

除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.

考点：⑴值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.

⑵除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.

二、判断一个数是否为质数的方法

根据定义如果能够找到一个小于p的质数q(均为整数)，使得q能够整除p，那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p，2K，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p的平方数p，我们可以先找一个大于且接近如没有能够除尽的那么p就为质数.

例如：149很接近，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是1212?144?

质数.

常用质数整理：101、103、107、109、113、127、131、137、139、149、151、157、163、167、173、179、181、191、193、197、1993、1997、1999、2003、401、223、2011、2017．

三、约数、公约数与最大公约数概念

(1)约数:在正整数范围内约数又叫因数,整数a能被整数b，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数；

(2)公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”；

(3)最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数；

被排除在约数与倍数之外(4)0．

求最大公约数的方法1.

分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．?

2221?3?7(231,252)?73252?2??；，例如：，所以11??3?723112218短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：?(12,18)?2?3?6；，所以63932?辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．

例如，求600和1515的最大公约数：；；28513152315?600?1515?600?；；；所以1515和600的最大公约数是15．030?15915?2?315285?130?28530?

2.最大公约数的性质

①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；

②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；

nn．，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以③几个数都乘以一个自然数

3.求一组分数的最大公约数

先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各个分数的b即为所求．分子的最大公约数b；a4.约数、公约数最大公约数的关系

（1）约数是对一个数说的；

（2）公约数是最大公约数的约数，最大公约数是公约数的倍数

四、倍数的概念与最小公倍数

1.倍数:一个整数能够被另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数

1)公倍数:在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，那么这些倍数就叫做它们的公倍数

2)最小公倍数：公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数。

2.求最小公倍数的方法

分解质因数的方法；

??22227252?2?3??7?11?2231,252??32772；，，所以例如：113?231??7 短除法求最小公倍数；

21812??；，所以例如：36??3?18,122?2?369332a?b．?b][a,(a,b)3.最小公倍数的性质

①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．

②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．

③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．

4.求一组分数的最小公倍数方法步骤

a；求出各个分数分母的最大公约数先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数b155[3,5]3即为所求．例如：；??[,]b4(4,12)412a??1,441???4,?例如：注

意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.????2,323??5.倍数、公倍数、最小公倍数的关系

（1）倍数是对一个数说的；

（2）最小公倍数是公倍数的约数，公倍数是最小公倍数的倍数

五、最大公约数与最小公倍数的常用性质

1.两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。m为、的最大公约数，且，，那么互质，所以、的最小如果BBAAbA?maaB?mb、，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基

本关系：公倍数为mab

①，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；mabmmb??A?B?ma?②最大公约数是、、、及最小公倍数的约数．BABA?A?B2.两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。

(a,b)?[a,b]?a?b，此性质比较简单，学生比较容易掌握。即

3.对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为

a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数

例如：，210就是567的最小公倍数21076??5?b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍

例如：，而6,7,8的最小公倍数为336??3362?168876??

注：性质3不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大。”几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大“小关系，即．

六、求约数个数与所有约数的和

1．求任一整数约数的个数

一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。

32?72?5，所以它的约数有(3+1)×(2+1) ×(1+1)=4×3×2=24如:1400严格分解质因数之后为个。(包括1和1400本身)

约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲过的数字“唯一分解定理”形式基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要求其掌握。难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有多少个约数，然后再结合其他几个条件将原数“还原构造”出来，或者是“构造出可能的最值”。

2．求任一整数的所有约数的和

一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。

33?7?25?321000?，所以21000如：所有约数的和为2323 748807)?)(1?3)(1?5?5?(1?2?25?2)(1?此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮助学生找规律性的记忆即可。

重难点

，质数的个位数特征2、5（1）特殊质数）要注意观察约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数的内在关系；（2任何一个数字都可以表示为“（3）整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟☆☆☆△...?△??△”的结构，而且表达形式唯一

例题精讲

.

）2009这三个数中，质数的个数是（1】在19、197、【例3

) D 2 () ( B ）（A 0 () 1 C

π之间，3.1415927和3.1415926的值在年前，我国伟大的数学家祖冲之，计算出1500大约【巩固】．

ππ的值计算到了小数位小数的人．现代人利用计算机已经将的值精确到成为世界上第一个把7点后515亿位以上．这些数排列既无序又无规律．但是细心的同学发现：由左起的第一位3是质数，31也是质数，但314不是质数，那么在3141，31415，314159，3141592，31415926，31415927中，哪些是质数？

【例2】小晶最近迁居了，小晶惊奇地发现他们新居的门牌码是四位数．同时，她感到这个码很容易记aabba和是两个数字()住，因为它的形式为．具有这种形，其中，而且和都是质数b?babaab式的数共有多少个？

【巩固】自然数是一个两位数，它是一个质数，而且的个位数字与十位数字都是质数，这样的自NN然数有多少个？

【例3】一个两位数，数字和是质数．而且，这个两位数分别乘以3，5，7之后，得到的数的数字和都仍为质数．满足条件的两位数为

【巩固】三位数满足：它的所有质因数之和是。这样的三位数有个。AA26

【例4】用数字卡片1，1，2，2，3，3，4，4，5，5，6，7，9，9（不允许把6倒过来当作9，也不许把9倒过来当作6）组成七个不同的两位质数，这七个质数之和等于________．

【巩固】，那么这些质数中最大的一个可能是多少？21如果一些不同质数的平均数是

?????、cba、b342ca?b??b?【例5】。都是质数，如果，那么

ca ，那么，，，都是质数，并且。【巩固】，____ ?bba??d?44c?33b?c66?cd

将】6【例10拆成60个质数之和，要求最大的质数尽可能小，那么其中最大的质数是多少？

【巩固】将50分拆成10个质数的和，要求其中最大的质数尽可能大，则这个最大的质数是多少？

。【例7】有些三位数，它的各位数字之积为质数，这样的三位数最小是______，最大是______

万尼亚想了一个三位质数，各位数字都不相同．如果个位数字等于前两个数字的和，那么这【巩固】

个数是几？

LLL及它本身以外，不能被1)除1的全体正整数．如果中的数(1用【例8】不算表示所有被3除余LL—质数”是什么？ 8的任何数整除，称此数为“个“—质数”．问：第

【巩固】将八个不同的合数填入下面的括中，如果要求相加的两个合数互质，那么A最小是几？

A=（）+（）=（）+（）=（）+（）=（）+（）

【例9】一个自然数，它的最大的约数和次大的约数的和是111，这个自然数是________.

【巩固】一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数之和为10，那么此数为几？

DCBCABCDA，+，=187不等于1，也不等于10【例】两个整数、或的最大公约数是，最小公倍数是，并且已知BA等于多少？+那么

caa b cb，则它们的最大公【巩固】若 , 的自然数，且, 是三个互不相等的大于0 = 1155 + +

约数的最大值为，最小公倍数的最小值为，最小公倍数的最大值

为．

【例11】在1到100中，恰好有6个约数的数有多少个？

【巩固】恰有8个约数的两位数有________个．

【例12】动物园的饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一群，则每只猴子可得12粒；如只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20粒．那么平均给三群猴子，每只可得多少粒？

【巩固】加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成6个零件,第二道工序每名工人每小时可完成10个零件,第三道工序每名工人每小时可完成15个零件.要使加工生产均衡,三道工序最少共需要多少名工人?（假设这三道工序可以同时进行）

111得优，得良，一次考试，参加的学生中有【例13】得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满27350人，那么得差的学生有多少人？

111得优，得良，得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满参加的学生中有【巩固】一次考试，100473人，那么得差的学生有多少人？

【例14】两个自然数a，b的最小公倍数等于50，问a＋b有多少种可能的数值?

【巩固】已知a,b,c是三个自然数，且a与b的最小公倍数是60，a与c的最小公倍数是270。求b与c的最小公倍数。

【例15】如图，在长500米、宽300米的长方形广场的外围，每隔2.5米摆放一盆花，现要改为每隔2米摆放一盆花，并且广场的4个顶点处的花盆不动，则需增加___盆花；在重新摆放花盆时，共有___盆花不用挪动。

【巩固】有一些小朋友排成一行，从左面第一人开始每隔2人发一个苹果；从右面第一人开始每隔4人发一个桔子，结果有10个小朋友苹果和桔子都拿到.那么这些小朋友最多有多少人？

课堂检测

【随练1】炎黄骄子菲尔兹奖被誉为“数学界的诺贝尔奖”，只奖励40岁以下的数学家．华人数学家丘成桐、陶哲轩分别于1982年、2006年荣获此奖．我们知道正整数中有无穷多个质数(素数)，陶哲轩等证明了这样一个关于质数分布的奇妙定理：对任何正整数k，存在无穷多组含有k个等间隔质数(素数)的数组．例如，时，3，5，7是间隔为2的3个质数；5，11，17是间隔为6的33k 个质数：而，，是间隔为12的3个质数(由小到大排列，只写一组3个质数即可)．

【随练2】用0-9这10个数字组成若干个质数，每个数字都恰好用一次，这些质数的和最小是。

【随练3】用0，1，2，…，9这10个数字组成6个质数，每个数字至多用1次，每个质数都不大于500，那么共有多少种不同的组成6个质数的方法．请将所有方法都列出来．

．个两两不同的正整数，和为126，则它们两两最大公约数之和的最大值为【随练4】三

米，乙每分钟走400米的环形跑道行走，甲每分钟走80、乙两人同时从5】甲A点背向出发，沿【随练A点相遇？50米，两人至少经过多长时间才能在

家庭作业

个质数；甲顺次计算相邻二质数之和填在上行方格中；乙顺次计算中圆圈内依次写出了前251】图【作业相邻二质数之积填在下行方格中．............“和数”5甲填128...质数列97...28937111356............3515...”积数乙填“

问：甲填的数中有多少个与乙填的数相同?为什么?

【作业2】从1～9中选出8个数排成一个圆圈，使得相邻的两数之和都是质数．排好后可以从任意两个数字之间切开，按顺时针方向读这些八位数，其中可以读到的最大的数是多少？

ABCABCABC的最大值为=11011×28，那么，+两两互质，且×+×知三个合数【作业3】

已，

【作业4】用0～9这10个数字组成若干个合数，每个数字都恰好用一次，那么这些合数之和的最小值是________．

【作业5】某质数加6或减6得到的数仍是质数，在50以内你能找出几个这样的质数？把它们写出来.

【作业6】将37拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法？将每一种拆法中拆出的那些质数相乘，得到的乘积中，哪个最小？

【作业7】少年宫手工组的小朋友们做工艺品“猪娃娃”。每个人先各做一个纸“猪娃娃”；接着每2个人合做一个泥“猪娃娃”；然后每3个人合做一个布“猪娃娃”；最后每4个人合做一个电动“猪娃娃”。这样下来，一共做了100个“猪娃娃”，由此可知手工组共有个小朋友。

人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方33条圆形跑道，圆心都在操场中的旗杆处，甲、乙、丙【作业8】

11千米，外圈跑道长千米，中圈跑道长向跑步.开始时，3人都在旗杆的正东方向，里圈跑道长4513几小时后，.问他们同时出发，千米，4丙每小时跑5千米千米.甲每小时跑千米，乙每小时跑328 人第一次同时回到出发点? 3

，甲、丙两数的最小公倍数是，乙、丙两数的最小公倍数是105甲、乙两数的最小公倍数是90【作业9】

，那么甲数是多少? 126

C圈时，转4B恰好转3圈：当BA】如图，A、B、C是三个顺次咬和的齿轮，当转4圈时，【作业10 A恰好转5圈，则、B、C的齿数的最小数分别是多少？CAB

教学反馈

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