三角形与坐标系压轴题

三角形与坐标系压轴题

解：（1）等腰三角形，证明略. …………3′

（2）解法一：设BC交y轴于K，过A作AN⊥y轴于N，

易证AN=CK=BK，△ANG≌△BKG，∴AG=BG，

又易证AG=OG，故设∠OAG=∠AOG=x，

∠GOB=∠GBO=y，∴2x+2y=180°，x+y=90°，

∴AO⊥BO.

解法二：连BC，∵B、C关于y轴对称，AC//y轴，∴AC⊥BC，

易证△COD≌△BOE（HL），∴∠DCO=∠ABO，

∴∠BAC+∠BOC=180°，设∠BAO=∠CAO=x，

∠OBC=∠OCB=y，∴2x+∠BOC=180°，

又2y+∠BOC=180°，∴x=y，故∠OAC=∠OBC，

∴∠AOB=∠ACB=90°，∴AO⊥OB. …………7′

（3）连BC，则∠ACB=90°，∵∠ACM=45°，∴CM平分∠ACB，又AM平分∠BAC，∴BM 平分∠ABC，设∠ABM=∠CBM=z，由（2）可得∠OMB=x+z，∠OBM=y+z=x+z ∴∠OMB=

∠OBM，∴OM=OB 故△OBM为等腰直角△，作MG⊥x轴于G，BH⊥x轴于H，易证△

OMG≌△OBH，∴OG=BH=1，MG=OH=3∴M(-1，3). ……12′

3.如图1，在平面直角坐标系中，△AOB 为等腰直角三角形，A （4，4）

（1）求B 点坐标；

（2）如图2，若C 为x 轴正半轴上一动点，以AC 为直角边作等腰直角△ACD ，∠ACD=90°连OD ，求∠AOD 的度数；

（3）如图3，过点A 作y 轴的垂线交y 轴于E ，F 为x 轴负半轴上一点，G 在EF 的延长线上，以EG 为直角边作等腰Rt △EGH ，过A 作x 轴垂线交EH 于点M ，连FM ，等式

OF FM AM -=1是否成立？若成立，请证明：若不成立，说明理由.

解：（1）作AE ⊥OB 于E ，

∵A （4，4），∴OE=4，

∵△AOB 为等腰直角三角形，且AE ⊥OB ，

∴OE=EB=4，∴OB=8，∴B （8，0）；

（2）作AE ⊥OB 于E ，DF ⊥OB 于F ，

∵△ACD 为等腰直角三角形，∴AC=DC ，∠ACD=90°

即∠ACF+∠DCF=90°，

∵∠FDC+∠DCF=90°，∴∠ACF=∠FDC ，

又∵∠DFC=∠AEC=90°，∴△DFC ≌△CEA ，

∴EC=DF ，FC=AE ，

∵A （4，4），∴AE=OE=4，

∴FC=OE ，即OF+EF=CE+EF ，∴OF=CE ，∴OF=DF ，∴∠DOF=45°，

∵△AOB 为等腰直角三角形，∴∠AOB=45°，

∴∠AOD=∠AOB+∠DOF=90°；

方法一：过C 作CK ⊥x 轴交OA 的延长线于K ，

则△OCK 为等腰直角三角形，OC=CK ，∠K=45°，

又∵△ACD 为等腰Rt △，

∴∠ACK=90°-∠OCA=∠DCO ，AC=DC ，

∴△ACK ≌△DCO （SAS ），∴∠DOC=∠K=45°，

∴∠AOD=∠AOB+∠DOC=90°；

（3）OF

FM AM -=1 成立，理由如下： 在AM 上截取AN=OF ，连EN ． ∵A （4，4），∴AE=OE=4，

又∵∠EAN=∠EOF=90°，AN=OF ，

∴△EAN ≌△EOF （SAS ），

∴∠OEF=∠AEN ，EF=EN ，

又∵△EGH 为等腰直角三角形，

∴∠GEH=45°，即∠OEF+∠OEM=45°，

∴∠AEN+∠OEM=45°

又∵∠AEO=90°，∴∠NEM=45°=∠FEM ，

又∵EM=EM ，∴△NEM ≌△FEM （SAS ），∴MN=MF ，

∴AM-MF=AM-MN=AN ，∴AM-MF=OF ，

即 OF

FM AM -=1； 方法二：在x 轴的负半轴上截取ON=AM ，连EN ，MN ，

则△EAM ≌△EON （SAS ），EN=EM ，∠NEO=∠MEA ，

即∠NEF+∠FEO=∠MEA ，而∠MEA+∠MEO=90°，

∴∠NEF+∠FEO+∠MEO=90°，而∠FEO+∠MEO=45°，

∴∠NEF=45°=∠MEF ，∴△NEF ≌△MEF （SAS ），∴NF=MF ，

∴AM=OF=OF+NF=OF+MF ，即 OF

FM AM -=1． 注：本题第（3）问的原型：已知正方形AEOP ，∠GEH=45°，将∠GEH 的顶点E 与正方形的顶点E 重合，∠GEH 的两边分别交PO 、AP 的延长线于F 、M ，求证：AM=MF+OF ．