(新)安徽大学2013—2014学年第一学期《高等数学C(一)》 考试试卷 (A卷)及答案(张春杰)

安徽大学2013—2014学年第一学期 《高等数学C （一）》 考试试卷 （A 卷）

（闭卷 时间 120分钟） 考场登记表序号__________________

一、填空题 （每小题3分，共15分）

1. 0x →时，函数ln(1sin )x x +是x 的____________阶无穷小量.

2. 设曲线()y f x =过点(0,0)，且当自变量在0x =处取得增量x ?时，相应的函数值增

量3()(0)y x x x ο?=?+??→，则1

lim ()n nf n

→∞=______________.

3． 若函数()y y x =由方程2cos()1x y e xy e +-=-确定，则

0x dy

dx ==_____________. 4. 曲线2y =

(1)x >的渐近线方程是_________________________.

5. 若二元方程ln x y z x =，则全微分dz =____________________.

二、选择题（每小题3分，共15分）

6. 设有两个数列{}n x 与{}n y ，以下结论一定正确是的是 （ ） A ．若lim 0n n n x y →∞

=，则必有lim n n x →∞

或lim 0n n y →∞

=

B ．若lim n n n x y →∞

=∞，则必有lim n n x →∞

=∞或lim n n y →∞

=∞

C ．若{}n n x y 有界，则必有{}n x 与{}n y 都有界

D ．若{}n n x y 无界，则必有{}n x 无界或{}n y 无界

7.若函数2

1

1

()arctan

x f x e

x

-=，则0x =是其 （ ） A.连续点 B.无穷间断点

C.跳跃间断点

D.可去间断点

8.设()f x 在0x 处取得极值，下列说法一定错误．．的是 （ ） A ．0x 可能是区间端点 B.0x 可能是()f x 的驻点

C ．0x 可能是()f x 的间断点 D.00(,())x f x 可能是曲线()y f x =的拐点

9.设()f x 是 cos x e x -+的一个原函数，则下列各式中可能是()f x 的原函数的是 ( )

A.cos x e x -+

B.sin x e x -+ C ．cos x e x -- D ．sin x e x --

10.设(),()f x g x 均在区间 [0,2]上二阶可导，(0)(0)0,(2)(2)1f g f g ====，且对任意 [0,2]x ∈,()0f x ''>,()0g x ''<记2

10

()S f x dx =?,2

20

()S g x dx =?则 ( )

A ．121S S <<

B ．211S S <<

C ．121S S <<

D ．211S S <<

三、计算题（每小题 6 分，共 42 分）

11．求极限11(4)6lim 56

n n

n n n ++→∞-++.

12. 求极限2

4

sin lim

x x tdt x →?.

13. 计算2

1

23

I dx x x =-+?

. 14. 计算2

ln (1)

x

I dx x =-?

. 15. 计算31

-?.

16. 解方程

32

(1)1

dy y x dx x -=++，并求满足初始条件1(0)2y =的特解.

17.

计算二重积分

D

I =，其中{(,)|01,1}D x y x y x =≤≤≤.

四、综合题（每小题9分，共18分）

18. 设D是曲线ln

y x

=及其切线

x

y

e

=与x轴所围的平面图形，

（1）求D的面积；

（2）求D绕y轴旋转一周所得旋转体的体积．

19．设有幂级数

11

n

n n

x n

∞=+

∑

（1）求其收敛域；（2）求常数项级数

1

1 2n

n n n

∞=+?

∑的和．五、证明题（每小题5 分，共10 分）

20．证明0x >时，

1arctan arctan 2

x x π+=.

21.设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，(0)0f ≠，且1

0()0f x dx =?，

证明：存在(0,1)ξ∈使得()()0f f ξξξ'+=．

安徽大学 2013 —2014 学年第一学期

《高等数学 C （一）》（A 卷）考试试题参考答案及评分标

准

一、填空题（每小题 3 分，共 15 分）

1．2或高； 2． 3 ； 3．2-； 4．1y x =+； 5．ln ln ln y y x x dx dy x y ??

+ ???

二、选择题（每小题 3 分，共 15 分）

6．D ； 7．D ； 8．A ； 9．C ； 10．C 三、计算题（每小题 6 分，共 42 分）

11．解：11211(4)61366lim lim 566

516n

n n

n n n n n ++→∞→∞??-+ ?-+??==+??+ ???

..............................................................6分 12. 解：2

230

4

330

00sin 2sin 1

lim

lim lim 422

x x x x tdt x x x x x x →→→===?..................................................... 6分 13. 解：

2

222

111

123(1)22111I dx dx dx

x x x d C ==

-+-++=

=

++?

??

..................................................6分

14.解：2ln 1ln (1)1x I dx xd x x ??

==- ?--??

?? 1111

1ln ln 1(1)11x dx x dx x x x x x x ??=-

+=-+- ?----??

?? 11

ln ln 1x x C x x

-=-

++- .............................................6分

15

．解：由定积分的性质知31

112--==??? 令cos x t =

，原式1

3

2

122(2sin )2sin 3

t dt t π

ππ

==-=?

?.........................................6分 16. 解：原方程可化为'32

(1)1

y y x x -=++，这是一个一阶线性非齐次方程，其 通解公式为

()()(())p x dx p x dx

y e q x e dx C -??=+?，即

2

2

3

44111

((1))(1)(1)2

dx

dx

x x y e

x e

dx C x C x -

++??=++=+++?

代入初始条件1(0)2y =，得0C =，故原方程的解为41

(1)2

y x =+ ......................6 分

17. 解：令cos ,sin x r y r θθ==,则

原式2sin 40

1

2D

I d rdr r

π

θ

θ==?=??

..............................................6分

四、综合题（每小题9分，共18分）

18．解： （1）依题意D 的面积为 1

0()1122

y e e

S e ey dy e =-=--

=-? ..................4分 （2）依题意，旋转体的体积为

2221

1

2

2

0011

()()()2362y e e e V e dy ey dy πππππ-=-=-=-?? ...................9分

19．解：（1）依题意知，幂级数的收敛半径为

2lim()111n n n

R n n →∞+=?=++，

而当1x =±时，幂级数1

1n

n n x n ∞

=+∑均发散， 故其收敛域为(1,1)- ........................................3 分

（2）不难看出112

n

n n n ∞

=+?∑是幂级数1

1n n n x +=∑在1

2x =时的常数项级数. 设幂级数的和函数为()S x ,(1,1)x ∈-,1111111()(1)n n n n

n n n n n S x x x x x n n n

∞

∞∞∞====+==+=+∑∑∑∑， 而

11

00011111,()ln(1)11n x x x n

n n n n n n x x x t dt t dt dt x x n t ∞

∞∞∞--=========----∑∑∑∑???， 故 ()ln(1)1x

S x x x

=

---， . 111

()1ln 222n

n n S n ∞

=+==+?∑ ........ ............9 分 五、证明题（每小题5分，共10分）

20.令1

()arctan arctan F x x x

=+则'222

111()011F x x x x ??

=+

?-= ?+??

+. 故 ()F x C =对 0x ?>.

令1x =，得2C π

=

,故1arctan arctan 2

x x π

+=. ......................5分 21．令()()F x xf x =，[0,1]x ∈. 由积分中值定理知，存在(0,1]c ∈，使得1

()()0f x dx f c ==?.

显然()F x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，(0)()0F F c ==.

由罗尔定理知存在(0,1)ξ∈，使得'()0F ξ=，即()()0f f ξξξ'+= .......................5分