2020版高考数学(理)大一轮复习：全册精品学案(含答案)

第1讲集合

1.元素与集合

(1)集合元素的性质:、、无序性.

(2)集合与元素的关系:①属于,记为;②不属于,记为.

(3)集合的表示方法:列举法、和.

(4)常见数集及记法

数集

自然

数集正整

数集

整数

集

有理

数集

实数集

符号

2.集合间的基本关系

文字语言符号语言记法

基本关系子集

集合A中的

都是集合B中

的元素

x∈A?x

∈B

A?B或

集合A是集合

B的子集,但集

合B中有

一个元素不属

于A

A?B,?x0

∈

B,x0?A

A

B或

B?A 相等

集合A,B的元

素完全

A?B,B?

A

空集

任何元素

的集合,空集

是任何集合的

子集

?x,x?

?,

??A

?

3.集合的基本运算

表示

运算

文字语言符号语言图形语言记法

交集属于 A

属于B的

元素组成

的集合

{x|x∈A,

x∈

B}

并集属于A

属于B的

元素组成

的集合

{x|x∈A,

x∈

B}

补集全集U中

属于A的

元素组成

的集合

{x|x∈U,

x

A}

4.集合的运算性质

(1)并集的性质:A∪?=A;A∪A=A;A∪B= ;A∪B= ?B?A.

(2)交集的性质:A∩?=?;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A?A B.

(3)补集的性质:A∪(?U A)=U;A∩(?U A)= ;

?U(?U A)= ;?U(A∪B)=(?U A)(?U B);?U(A∩B)= ∪.

常用结论

(1)非常规性表示常用数集:如{x|x=2(n-1),n∈Z}为偶数集,{x|x=4n±1,n∈Z}为奇数集等.

(2)①一个集合的真子集必是其子集,一个集合的子集不一定是其真子集;

②任何一个集合是它本身的子集;

③对于集合A,B,C,若A?B,B?C,则A?C(真子集也满足);

④若A?B,则有A=?和A≠?两种可能.

(3)集合子集的个数:集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集、2n-1个真子集、2n-1个非空子集、2n-2个非空真子集.集合元素个数:card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)(常用

在实际问题中).

题组一常识题

1.[教材改编]已知集合A={0,1,x2-5x},若-4∈A,则实数x的值为.

2.[教材改编]已知集合A={a,b},若A∪B={a,b,c},则满足条件的集合B有个.

3.[教材改编]设全集U=R,集合A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤3},则(?U A)∪B= .

4.[教材改编]已知集合A={-1,1},B={a,a2+2}.若A∩B={1},则实数a的值为.

题组二常错题

◆索引:忽视集合元素的性质致错;对集合的表示方法理解不到位致错;忘记空集的情况导致出错;忽视集合运算中端点取值致错.

5.已知集合A={1,3,},B={1,m},若B?A,则m= .

6.已知x∈N,y∈N,M={(x,y)|x+y≤2},N={(x,y)|x-y≥0},则M∩N中元素的个数是.

7.已知集合M={x|x-a=0},N={x|ax-1=0},若M∩N=N,则实数a的值是.

8.设集合A={x||x-a|<1,x∈R},B={x|1

探究点一集合的含义与表示

例1 (1)[2018·全国卷Ⅱ]已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为()

A.9

B.8

C.5

D.4

(2)设集合A={-4,2a-1,a2},B={9,a-5,1-a},且集合A,B中有唯一的公共元素9,则实数a的值为.

[总结反思] 解决集合含义问题的关键有三点:一是确定构成集合的元素;二是确定元素的限制条件;三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.特别提醒:含字母的集合问题,在求出字母的值后,需要验证集合的元素是否满足互异性.

变式题 (1)已知集合A={x|x=3k-1,k∈Z},则下列表示正确的是()

A.-1?A

B.-11∈A

C.3k2-1∈A

D.-34?A

(2)[2018·上海黄浦区二模]已知集合A={1,2,3},B={1,m},若3-m∈A,则非零实数m的值是.

探究点二集合间的基本关系

例2 (1)[2018·武汉4月调研]已知集合M={x|x2=1},N={x|ax=1},若N?M,则实数a的取值集合为()

A.{1}

B.{-1,1}

C.{1,0}

D.{1,-1,0}

(2)设集合M={x|x=5-4a+a2,a∈R},N={y|y=4b2+4b+2,b∈R},则下列关系中正确的是()

A.M=N

B.M?N

C.N?M

D.M∈N

[总结反思] (1)一般利用数轴法、Venn图法以及结构法判断两集合间的关系,如果集合中含有参数,需要对式子进行变形,有时需要进一步对参数分类讨论.

(2)确定非空集合A的子集的个数,需先确定集合A中的元素的个数.特别提醒:不能忽略任何非空集合是它自身的子集.

(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素满足的式子或区间端点间的关系,常用数轴法、Venn图法.

变式题 (1)设x,y∈R,集合A={(x,y)|y=x},B=(x,y)=1,则集合A,B间的关系为() A.A?B B.B?A

C.A=B

D.A∩B=?

(2)已知集合M={x|x≤1},N={x|a≤x≤3a+1},若M∩N=?,则a的取值范围

是.

探究点三集合的基本运算

角度1集合的运算

例3 (1)[2018·长沙周南中学月考]已知集合A={x|x<1},B={x|e x<1},则()

A.A∩B={x|x<1}

B.A∪B={x|x

C.A∪(?R B)=R

D.(?R A)∩B={x|0

(2)[2018·山西大学附中5月调研]已知集合A={x|2x≤1},B={x|ln x<1},则A∪B=

()

A.{x|x

B.{x|0≤x≤e}

C.{x|x≤e}

D.{x|x>e}

[总结反思] 对于已知集合的运算,可根据集合的交集和并集的定义直接求解,必要时可结合数轴以及Venn图求解.

角度2利用集合运算求参数

例4 (1)已知集合A={x∈Z|x2-4x-5<0},B={x|4x>2m},若A∩B中有三个元素,则实数m的取值范围是()

A.[3,6)

B.[1,2)

C.[2,4)

D.(2,4]

(2)设全集U=R,集合A={x|x>1},集合B={x|x>p},若(?U A)∩B=?,则p应该满足的条件是

()

A.p>1

B.p≥1

C.p<1

D.p≤1

[总结反思] 根据集合运算求参数,要把集合语言转换为方程或不等式,然后解方程或不等式,

再利用数形结合法求解.

角度3集合语言的运用

例5 (1)已知集合S={0,1,2,3,4,5},A是S的一个子集,当x∈A时,若有x-1?A且x+1?A,则称x为A的一个“孤立元素”,那么S的无“孤立元素”的非空子集的个数为 ()

A.16

B.17

C.18

D.20

(2)对于a,b∈N,规定a*b=与的奇偶性相同

与的奇偶性不同

集合M={(a,b)|a*b=36,a,b∈N*},则M中的

元素个数为.

[总结反思] 解决集合新定义问题的关键是:

(1)准确转化:解决新定义问题时,一定要读懂新定义的本质含义,紧扣题目所给定义,结合题目的要求进行恰当转化,切忌同已有概念或定义相混淆.

(2)方法选取:对于新定义问题,可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法,并结合集合的相关性质求解.

第1讲集合

考试说明 1.集合的含义与表示:

(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系;

(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.