分形几何的早期历史研究

分形几何的早期历史研究

分形几何学是20世纪70年代诞生的一门数学分支,它是继非欧几何创立之后几何学史上的又一次重大革命。作为大自然的几何学,它在现实生活中有着非常广泛的应用。

因此,研究分形几何的早期历史具有非常重要的意义。本文在研读原始文献及其相关研究文献的基础上,通过历史分析和文献考证的方法,以“为什么数学”为指导思想,全面系统地考察了分形几何早期历史的内容和思想,深入剖析了分形几何创立的原因。

取得的研究结果如下:1.全面考察了分析严格化的背景下,魏尔斯特拉斯函数、康托尔集和科赫曲线等早期经典分形集产生的背景、原因、过程和影响。魏尔斯特拉斯为了搞清函数的连续性和可微性之间的关系,构造了一条连续但处处不可微的病态函数。

康托尔在单位区间上构造了一个完备但处处不稠密的病态点集。科赫运用递归法的思想,构造了一条可以几何直观表示的连续但处处不可切的病态曲线。

这些病态的函数、曲线和集合的出现是推动分形几何创立的内因。2.系统梳理了分数维数概念的产生过程。

为了准确测量出康托尔集的大小,康托尔、波莱尔和勒贝格等数学家相继提出了解决问题的办法和思路,但得到的结果不令人满意。直到卡拉泰奥多里在q 维空间中定义了p维测度集,才使问题取得了一些进展。

豪斯多夫在卡拉泰奥多里工作的基础上,将维数的取值范围由整数推广到分数,解决了康托尔集的测量问题。贝西科维奇完善了豪斯多夫关于分数维数的定义,给出了分数维数的确切概念。

3.详细论述了贝西科维奇、布利冈和柯尔莫戈洛夫等数学家对分数维数理论的贡献。贝西科维奇研究了分数维数集的密度性质和微积分,在实数理论中探讨了分数维数集的具体应用。

盒维数是一种重要的分数维数,它的最初模型由布利冈建立,庞特里亚金和施尼勒尔曼定义了具有数学表达式的盒维数,但缺乏严格性;柯尔莫戈洛夫和契霍洛夫给出了严格的盒维数定义;法尔科内则定义了现代意义下的盒维数。4.详尽阐述了莱维、莫兰和芒德勃罗等数学家对自相似理论的贡献。

自相似思想最早可追溯至古希腊时代,德谟克利特、亚里士多德以及我国古代的数学、哲学和医学著作中也有关于自相似思想的论述,但尚未形成严格的理论体系。莱维引入了参数和阶数等一些基本数学概念,他是第一个对自相似性进行系统研究的数学家。

莫兰将集合论引入自相似理论的研究,定义了自相似集的概念,形成了自相似理论的雏形。芒德波罗将统计性融入自相似理论,描绘了统计自相似性,解决了长期困扰大家的海岸线长度问题。

5.细致探究了分形几何的创立过程,深入剖析了分形几何的创立原因。通过论文“英国的海岸线有多长”和著作《大自然的分形几何》,细致探究了分形几何的创立过程。

在原始文献和相关研究文献的基础上,指出病态函数、曲线和集合的激励,数学理论发展的推动,实际问题的鞭策,以及创立者自身的优势是分形几何创立的主要原因。

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