解答-2009概率统计试卷

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）

2009学年第一学期 考试科目： 概率论与数理统计（解答）

考试类型：（闭卷） 考试时间：120分钟

学号 姓名 年级专业

一、 填空题（每小题3分，共3?5=15分）

1、设随机变量X 服从二项分布()

10,B p ，若X 的方差是5

2分析：X 服从二项分布(),B n p ，则方差()D X np =。于是由5102p =，得5

4

p =

。

2、设随机变量X 、Y 均服从正态分布()2,0.2N 且相互独立，则随机变量

21Z X Y =-+分析：X 、Y 均服从正态分布()2,0.2N ，则

21Z X Y =-+服从正态分布(1,1)N -，

所以Z 的概率密度为

2

(1)2

.x +-

分析：X 的密度函数为

,0

()0,0x e x f x x λλ-?>=?≤?

，

因此估计λ的似然函数为

1

,0(1,,)

()0,i

n x i i e x i n f x λλ-=?∏>=?=???

其它。

二、单项选择题（每小题3分，共3?5=15分）

1、设A ，B 是两个互斥的随机事件，则必有（A ）

()()()()()()()()A P A B P A P B B P A B P A P B =+-=- ()()()()

()()()1C P AB P A P B D P A P B ==-

分析：答案是A 。

另外选项B 当B A ?时成立，选项C 当A ，B 相互独立时成立，选项D 当A ，B 对立时成立。

2、设A ，B 是两个随机事件，()()()

245

,,556

P A P B P B A ===，则（C ）

()()()()()()()()1

35122

4

8

25

A P A

B B P A B

C P A B

D P A B =

=

=

=

分析：()

()()

531()

652

P AB P B A P

AB P A =

?=?=

()

()5

14.25()8

P AB P A B P B ?=

==

3、设X ，Y 为相互独立的两个随机变量，则下列不正确的结论是（ D ）

()()()()()()()()A E X Y E X E Y B E XY E X E Y ±=±= ()()()()

()()()()C D X Y D X D Y D D XY D X D Y ±=+=

分析：由课本P76，期望性质3,4；课本P81，方差性质4；可知选项（A ）（B ）（C ）正确。

三、判别题（每小题2分，共2?5=10分）

（请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“?”） 1、（? ）设随机变量X 的概率密度为

()X f x ，随机变量Y 的概率密度为

()Y f y ，则二维随机变量（X 、Y ）的联合概率密度为()()X Y f x f y ，

分析：该结论只有在X ，Y 相互独立时才成立。

2、（√ ）设()x Φ是服从标准正态分布()0,1N 的随机变量的分布函数，X 是

服从正态分布()2

,N μσ的随机变量，则有{}21a P X a μσ??-<=Φ- ???

3、（?）设一维随机变量X 服从参数为2的泊松 分布，则X 的分布律为：

{}()

2

2,

0,1,2,...!

k P X k e k n k -===

分析：见课本P84，泊松分布的分布律，K 的取值范围为无限， 4、（√ ）若T 服从自由度为n 的t 分布，则T 2服从()1,F

n 分布。

分析：见课本P110，例2 。

四、解答题（每小题10分，共10?2=20分） 1、某饭店一楼刚好停了三部电梯，现有五位乘客要乘电梯，假定他们选择哪 部电梯乘座是随机的，求每部电梯都有乘客的概率。

解：令i A 表示事件“第i 部电梯至少有一位乘客”，1,2,3,i = 则：

P(每部电梯都有乘客)()

()1231231

23

()11P A A A P A A A P A A A =

=-=- ()()()()()()()1

2

3

1

2

1

3

2

3

123

1P A P A P A P A A P A A P A A P A A A =---+++-

5552150

13300.61733381

=-?+?-=≈

说明：用分类方法，每部电梯有人，则各电梯人数为 1 1 3， 2 2 1。

2、甲、乙两人轮流投篮，甲先投。一般来说，甲、乙两人独立投篮的命中率

分别为0.7和0.6。但由于心理因素的影响，如果对方在前一次投篮中投中，紧

跟在后面投篮的这一方的命中率就会有所下降，甲、乙的命中率分别变为0.4和 0.5。求：

（1）乙在第一次投篮中投中的概率； （2）甲在第二次投篮中投中的概率。 分析：问题中的事件关系如下图

1

1

21

1

2

B A B B A B 甲乙甲第一次投中第一次投中第二次投中

因此事件

12,A B 的概率用全概率公式来求。

解：令

1A 表示事件“乙在第一次投篮中投中”，

令i B 表示事件“甲在第i 次投篮中投中”，1,2i =

（1）由全概率公式有

()()()()(

)1111111P A P B P A B P B P A B =+

0.70.50.30.60.53=?+?=（5分）

（2）()()

110.53,

0.47P A P A =?= ，由全概率公式有

()()()()()

21211210.530.40.470.70.541P B P A P B A P A P B A =+=?+?= （5分）

五、解答题（每小题10分，共10?2=20分）

1、设随机变量X 的概率密度为：(),0220,

a a x x f x ?

-<

（1） 常数a ； （2） X 的分布函数()F

x ；

（3） 条件概率112P X X ??

>≤?

???

。 解：（1）

()2

2

200124a a f x dx a x dx ax x a +∞

-∞

???

?=-=-== ? ????

??

? （3分）

即()1

1,02

20,

x x f x ?-<

()()20

00

2020,

00,

00(1),02

,

02241,2

0(1)0,22

x

x

x x dt x x t x F x f t dt dt dt x x x t x dt dt dt x -∞-∞

-∞-∞?<

??

?

==+-≤<=-≤

?≥???

+-+≥????

?????

（5分）

（3）{}()()11111522121112P X F F P X X P X F ????

<≤-?? ?

??????>≤===??≤??

（2分）

2、设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为：

()2,

01,0

,0,

y xe x y f x y -?<<>=?

?其余，求

（1） 关于X 的边缘概率密度()X f x ；

（2）

随机变量Z =

()Z f z 。

解（1）

()()02,01

2,01,0,0,

y X x x xe dy x f x f x y dy +∞

-+∞

-∞

?<<<

其余其余

（2）用分布函数法。Z 的分布函数

()

{

}}

{}

()2

2,Z X F z P Z z P

z P X z

F z =

<=<=<=

分布函数定义

分布函数定义

()()22223

()()

222,014,010,0,Z X Z X dF z dF z f z f z z

dz dz

z z z z z ?===????<<<<==??

??其它其它

另外还可以用公式法求，见课本P46公式（2.30）。

由z =

2,(0)x z z =≥，所以

()()()223

222

0122,014,()20,0,Z X X z z z z z f z f z z z f z ≤≤??≤≤'====????。

其它

其它

六、解答题（每小题10分，共10?2=20分） 1、设总体()2

~,3X N

μ，现从X 中抽取一个容量为n 的样本，计算出样本

均值48.4x =。对10.95α-=的置信水平， （1） 估计μ的置信区间；

（2） 若要求置信区间的长度不超过3，样本容量n 至少为多少？ （参考数据：0.05

0.0250.0051.64, 1.96, 2.58u u u ===）

解：（1）在2

23σ

=已知的条件下，μ在置信水平10.95α

-=下的置信区间为：

0.02548.448.4x u x u ?

?-+=-+ ?

?

48.448.4?

= ?

（5分）

（2

）令2315.3664n ≤?≥，即样本容量至少为16。 （5分） 2、已知某种小麦叶片的宽度(

)2

~,0.048

X N μ，

（单位：cm ），在喷洒一种 农药后再抽取5张叶片，测得它们的宽度为：1.32；1.55；1.36；1.40；1.44。

（1） 求该样本的均值和方差；

（2） 问喷洒农药后小麦叶片的宽度的方差是否正常（0.1α=）

（参考数据：()()()()0.950.05

0.95

0.05

2

22240.71,

49.49,5 1.15,511.07

χχχχ====解：（1） 1.414x =，2

0.03112

0.007784

s =

= （5分） （2）①检验假设：2

2

2201:0.048,

:0.048,H H σσ=≠用2

χ检验法，

②检验所用统计量222

(1)

-=n S χσ，拒绝域()()1-2

2

2

222

11≥-≤-n n ααχχχχ或

③又 2

222(1)40.0078813.50690.048

n S χσ-?==≈， ()()0.05

2

2

2

149.49n αχχ-==，

()()0.95

22

12

140.71n αχχ--==，

④因此拒绝域如右图的阴影部分，2

χ值落入右尾部拒绝域， 所以拒绝H 0，因此接受H 1，即在0.1α=的假设水平下，认为叶宽的方差发生了变化。（5

分）

说明：2

χ检验，当双边检验时有两个临界值。

0.71

9.49