计算一棵树树叶的数量以及质量
计算一棵树树叶的数量以及质量，根据叶镶嵌原理，我们将一棵树的树叶分成n
层，并且假设树的轮廓近似为一个圆锥形，如图所示：
圆锥侧面展开之后成为一个扇形，假设每一层的树叶相邻排列，并且每片树叶形状相同
大小相等，那么树叶覆盖扇面的方式如下图所示：
，圆锥表面与阳光强度最大时（即正午）直照光相垂直，此时阳光照射方向与水平方向的夹角为θ（即太阳高度角）。这种关系可以用下图来表示：
假设每一层树叶与圆锥表面平行。这样每一层树叶形成了以n R 为底面半径，tan n n R h θ
=
为
高的圆锥体。假设每一层的底面半径从外向内等差递减，即1n n R R d +-=（d 为常数），即
0n R R n d =-?。那么每层圆锥体除底表面积为2
2
2
sin n
n n n R S R h R ππ
θ
=??+=。假设在
阳光最大位置时，照在外层圆锥除底表面的平均光照强度为0s L ，那么第一层的光照总强度
θ
为00o s L L S =?。根据假设光照到树叶上被完全吸收和反射，由于从上一层透过来的日光可以看做一个有一个均匀分布的光源群，根据无影灯原理，可以认为每一层的日光照射都是均匀分布的。从而我们知道由外向内的第二层总光照强度为1000()s L L S q ab π=?-，其中，0q 第一层的叶子数；第二层总光照强度为10001[()]s L L S q q ab π=?-+，其中，1q 第二层的叶
子数；这样每一层的光照总强度为1
000
()n n s n n L L S q ab π-==-∑，每一层的平均光照强度为
1
000
2
sin [()]n s n n n sn n
n
L S q ab L L S R θππ-=-=
=
∑.那么我们假设只要有0sn L >且第n 层的圆锥的体积
应该大于或者等于树木的体积而第1n +层的圆锥的体积应该小于或者等于树木的体积。那么树叶就可以生长。
下面计算每一层的树叶数:
将每一层圆锥展开，成为一个扇形，扇形半径为22
sin n n n n R r R h θ
=
+=
，则每一层的
树叶数为sin 0
21212222n R r c c n n a
a n c c c c k r a k r a q b
b
θ
ππ=
=
==--?
??
?-- ?
?
??
??
=
=
∑
∑
，其中sin n R k r θ==。
那么一棵树的树叶的总质量为：sin 0
2122n R c n n n
a n
n n n n c c k r a M q
m q b
θ
π=
===-?
?- ?
??
=
=
?∑∑∑
00tan R h θ=，0l t h h h =-其中l h 代表树的高度，t h 代表树冠底面距离地面的高度（即主
干高）。
模型的关键是得到树叶的层数，这个要考虑体积的原因。
这样就可以得到，树叶的总质量，与树的尺寸特征（高度、质量、体积）是有联系的。) 女贞叶树叶成卵形或卵状披针形，可近似看作为标准椭圆形，长5～14cm ，宽3.5～6cm
，
在我们学校中，抽取5棵大致相同的大女贞树进行测量，得到它们的叶子大小、树高、
主干高、胸径的平均值为：长8cm、宽4cm，树高6米，主干2米，胸径40cm
的研究树：
假设每一层的树叶的形状大小没有变化，只是质量（与厚度有关）发生了变化，每一片树叶的质量和平均光照强度成函数关系。
在研究不同平均光照强度对女贞树的树叶质量的影响时，我们查找资料，得出了不同光照之下，叶子质量的数据，如下：
光照强
度叶子质
量树木1树
叶质量
（g）
树木2树
叶质量
(g)
树木3树
叶质量
(g)
树木4树
叶质量
(g)
树木5树
叶质量
(g)
叶子平
均质量
(g)
40 0.42 0.47 0.68 0.52 0.62 0.542 80 0.53 0.52 0.82 0.62 0.65 0.628 160 0.61 0.59 0.86 0.69 0.72 0.694 320 0.72 0.68 0.96 0.81 0.78 0.79 640 0.68 0.61 0.89 0.74 0.74 0.732
、则可以拟合出叶子质量与平均光照强度的函数关系：
100200
300400500600700800
0.450.5
0.55
0.6
0.65
0.70.75
0.8
The average illumination
T h e m a s s o f l e a f
Raw data
The fitting curve
y =0.5420 0.6280 0.6940 0.7900 0.7320
p =0.0000 -0.0000 0.0019 0.47860.0031 1.3603n sn m L =+
0.00190.4786n sn m L =+
由于在光照强度达到640之后，叶子的质量开始变小，这样不利于研究，我们假设树木生活在合适的光照强度下，那么重新对数据进行拟合，得到叶子质量与平均光照强度的函数关系：
50100
150200250300350400
0.450.5
0.55
0.6
0.65
0.70.75
0.8
The average illumination
T h e m a s s o f l e a f
Raw data
The fitting curve
x=[40 80 160 320];
y=[0.542 0.628 0.694 0.79] n=2;
p=polyfit(x,y,n)
xi=linspace(0,400,10000);
z=polyval(p,xi); %多项式求值 plot(x,y,'o:',xi,z,'r',x,y ,' b ')
legend('Raw data','The fitting curve ') xlabel('Light intens ity ') ylabel('Leaf quality ')
y =.5420 0.6280 0.6940 0.7900
p =0.0000 0.0018 0.4853其中平均光照强度sn L 的单位为2
1
m ol m s
μ--??，树叶的质
量0m 的单位为g 。
0.00180.4853n sn m L =+。
由于西安位于东经107°40′～109°49′和北纬33°39′～34°45′之间，为了研究简单，我们假设我们学校位于东经108°和北纬'
3380
处。
对于太阳高度角即θ的确定，首先计算处2月11日时太阳直射点的地理纬度，根据某日太阳直射点的地理纬度位置=23°26′N—（某日—6月22日）*（23°26′*4/365）
'
'
232642326(22)(
)365
N Time June N ?--? 可以计算出2月11日太阳直射点的地理纬度位
置为'''232649082572-=- N ，则又由正午太阳高度计算的公式：H ＝90°－φ＋δ（H 为正午太阳高度，φ为当地纬度，δ为直射点的纬度）。计算出我们学校的正午时太阳高度：
'''9033802572302830θ=--=≈
参数的大小如下图所示： 参数
θ( )
a
(m)
b
（m ）
d
(cm)
l
h (m)
h (m)
0s L (2
1
m ol m
s
μ--??)
数值
30
0.08
0.04
0.1
6
2
320
经过matlab 编程之后即可计算出研究树的树叶总质量以及总叶子数: 则女贞树的树叶总质量为;
n
n
n n M q
m ==
=∑13.384kg
树的树叶层次： 24n =
总叶子数为：
24
4
2.734410n
n Q q
==
=?∑（片）