随机事件的概率教学设计案例

3．1．1 随机事件的概率

教学设计案例林世娴

教学目标：

通过试验，体会随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，由此给出概率的统计定义。

教学重点：了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性。

教学难点：理解频率与概率的关系。

教学过程：

[设置情景]

1名数学家＝10个师

在第二次世界大战中，美国曾经宣布：一名优秀数学家的作用超过10个师的兵力。这句话有一个非同寻常的来历。

1943年以前，在大西洋上英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击，当时，英美两国限于实力，无力增派更多的护航舰，一时间，德军的“潜艇战”搞得盟军焦头烂额。

为此，有位美国海军将领专门去请教了几位数学家，数学家们运用概率论分析后得出，舰队与敌潜艇相遇是一个随机事件，从数学角度来看这一问题，它具有一定的规律性。一定数量的船（为100艘）编队规模越小，编次就越多（为每次20艘，就要有5个编次），编次越多，与敌人相遇的概率就越大。

美国海军接受了数学家的建议，命令舰队在指定海域集合，再集体通过危险海域，然后各自驶向预定港口。结果奇迹出现了：盟军舰队遭袭被击沉的概率由原来的25％降为1％，大大减少了损失，保证了物资的及时供应。

在自然界和实际生活中，我们会遇到各种各样的现象。如果从结果能否预知的角度来看，可以分为两大类：一类现象的结果总是确定的，即在一定的条件下，它所出现的结果是可以预知的，这类现象称为确定性现象；另一类现象的结果是无法预知的，即在一定的条件下，出现那种结果是无法预先确定的，这类现象称为随机现象。

确定性现象，一般有着较明显得内在规律，因此比较容易掌握它。而随机现象，由于它具有不确定性，因此它成为人们研究的重点。

随机现象在一定条件下具有多种可能发生的结果，我们把随机现象的结果称为随机事件。

[探索研究]

1．随机事件

下列哪些是随机事件？ （1）导体通电时发热； （2）某人射击一次，中靶； （3）抛一石块，下落； （4）在常温下，铁熔化； （5）抛一枚硬币，正面朝上；

（6）在标准大气压下且温度低于c 0时，冰融化。 由学生回答，然后教师归纳：

必然事件、不可能事件、随机事件的概念。 可让学生再分别举一些例子。 2．随机事件的概率

由于随机事件具有不确定性，因而从表面上看，似乎偶然性在起着支配作用，没有什么必然性。但是，人们经过长期的实践并深入研究后，发现随机事件虽然就每次试验结果来说具有不确定性，然而在大量重复试验中，它却呈现出一种完全确定的规律性。

下面由学生做试验得出随机事件的频率，试验过程如下： 做抛掷一枚硬币的试验，观察它落地时 哪一个面朝上

第一步：全班同学做10次掷硬币试验，记录正面向上的次数和比例。 思考：试验结果与其他同学比较，你的结果和他们一致吗？为什么? 第二步：由组长把本小组同学的试验结果统计一下，填入下表。

思考：与其他小组试验结果比较，正面朝上的比例一致吗？为什么？ 第三步： 用横轴为实验结果，仅取两个值：1（正面）和0（反面），纵轴为实验结果出现的频率，画出你个人和所在小组的条形图，并进行比较，发现什么？

第四步： 把全班实验结果收集起来，也用条形图表示.

第五步：请同学们找出掷硬币时“正面朝上”这个事件发生的规律性。 结论：

随机事件A 在每次试验中是否发生是不能预知的，但是在大量重复实验后，随着次数的增加，事件A 发生的频率会逐渐稳定在区间[0，1]中的某个常数上。

思考：这个条形图有什么特点？如果同学们重复一次上面的实验，全班汇总结果与这一次汇总结果一致吗？为什么？

例如，历史上曾有人做过抛掷硬币的大量重复试验，结果如下表

组次

试验总次数

正面朝上总次

数

正面朝上的比例

我们可以看到，当抛掷硬币的次数很多时，出现正面的频率值是稳定的，接近于常数0.5，在它左右摆动。

概率的定义：

对于给定的随机事件A ，如果随着实验次数的增加，事件A 发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A 的概率，简称为A 的概率。

对于概率的统计定义，注意以下几点：

（1）求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验；

（2）只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件A 的概率；

（3）概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值； （4）概率反映了随机事件发生的可能性的大小；

（5）必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0。因此()10≤≤A P 。 3．例题分析

例1指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是随机事件？

（1）若c b a 、、都是实数，则()()c ab bc a =； （2）没有空气，动物也能生存下去；

（3）在标准大气压下，水在温度c ?90时沸腾； （4）直线()1+=x k y 过定点()0,1-；

（5）某一天内电话收到的呼叫次数为0；

（6）一个袋内装有性状大小相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出1个球则为白球。

（由学生口答，答案：（1）（4）是必然事件；（2）（3）是不可能事件；（5）（6）是随机事件。）

例2对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下：

（2）该厂生产的电视机优等品的概率是多少？ （由一名学生板演后，教师纠正） 解：（1）各次优等品的概率为

0.8， 0.92， 0.96， 0.95， 0.956， 0.954 （2）优等品的概率是0.95。

4．课堂练习 （1）．某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：

（II ）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？ （由一名学生板演后，教师讲解） (2)．问答：

（I ）试举出两个必然事件和不可能事件的实例； （II ）不可能事件的概率为什么是0？ （III ）必然事件的概率为什么是1？

（IV ）随机事件的概率为什么是小于1的正数？它是否可能为负数？ [参考答案] (1)．解：（I ）击中靶心的各个频率依次是：0.9，0.95，0.88，0.91，0.89，0.902

（II ）这个射手击中靶心的概率约为0.90。 (2)．略。

(3)．( 见课本P 105 )

5.总结提炼

(1)．随机事件的概念

在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件。 (2)．随机事件的概率的统计定义

(3)．概率的范围：()10≤≤A P 。

6.布置作业：

习题3.1 第1、2 题