(完整)一元二次方程(分知识点,详细,适合基础差的学生),推荐文档

一元二次方程

知识网络详解：

考点 1．一元二次方程的定义：形如ax bx c 0（a 0）的关于x 的方程为一元二次方

程．

考点 2．一元二次方程的解法：先尝试“因式分解法” ；不能分解时可选择“配方法”或者“求根公式法”

b b24ac

x1,2

求根公式：2a

考点 3．一元二次方程的判别式：b2 4ac

有两个不相等的实数根：0有两个相等的实数根：0 无实数根：0有实数根：0 考点 4．一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：

2

若0 时，设x1、x2为一元二次方程ax bx c 0（a 0）的两个实数根，那么：bc

x1 x2 x1 x2

a ，a

考点 5．一元二次方程应用题（数字问题，互赠问题，面积问题，增长率问题，利润问题）

【课前回顾】

形的斜边是（）

A. 3

B.3

C.6

D. 6

2、关于x 的方

程m 1 x22mx m

0有实数根，则 m 的取值范围是

（）

A. m 0且 1

B. m0

C. m 1

D. m 1

3、关于 x 的一元二次方程（k-1）x 2-4x-5=0 有两个不相等实数根 , 则 k 的取值范围是

4、某工厂计划在两年内把产量提高44%，如果每年的增长率都和上一年相同，则平均每年

的增长率是。

5、解方程

（1）x 2 225 0 （2）2x2 10x 3

1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2x2 8x 7 0 的两根，则这个直角三角

经典例题讲解：

例 1、下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是（ ）

2

11

A

3

x 1 2

2 x1

B

2

20

xx

C ax 2 bx c 0

2

D x 2

2x

x

2 1

变式：

当

k

时，关于 x 的方程 kx 2 2x x 2 3是一元二次方程。

例 2、方程 m 2 x m

3mx 1 0 是关于 x 的一元二次方程， 则 m 的值为 变式练习：

1、方程 8x 2

7 的一次项系数是 ，常数项是 。 2、若方程 m 2 x m 1

0是关于 x 的一元一次方程，

⑴求 m 的值；⑵写出关于 x 的一元一次方程。 3、若方程 m 1 x 2

m ?x 1是关于 x 的一元二次方程，则 m 的取值范围是

4、若方程 nx m

+x n

-2x 2=0 是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）

A.m=n=2

B.m=2,n=1

C.n=2,m=1

D.m=n=1 考点二、方程的解

例 1、已知 2y 2 y 3 的值为 2，则 4y 2

2y

例 2、关于 x 的一元二次方程 a 2 x 2 x a

2

例 3、已知关于 x 的一元二次方程 ax 2

bx c 必有一根为 。

例 4、已知 a,b 是方程 x 2

4x

则 m 的值为

。

1 的值为 。 4 0

的一个根为 0，则 a 的值为

0 a 0 的系数满足 a c b ，则此方

程

3) (x 3)2 (1 2x)2

4)1x

2 3 x 2

0 3 2 3

2

m 0的两个根， b,c 是方程 y 2

8y 5m 0的两个

变式练习：

2

1、已知方程x2 kx 10 0的一根是 2，则 k为，另一根是

2x 1

2、已知关于 x 的方程x2 kx 2 0 的一个解与方程3的解相同。

x1

⑴求 k 的值；⑵方程的另一个解。

22

3、已知 m 是方程x2 x 1 0 的一个根，则代数式m2 m

22

4、已知a 是x2 3x 1 0 的根，则2a2 6a

2

5、方程a b x2 b c x c a 0的一个根为（ A 1 B 1 C b c

6、若2x 5y 3 0,则4x ?32y。考点三、解法

类型一、直接开方法：x2 m m 0 , x m

变式练习：下列方程无解的是（

x 2

2ax a

2

※※对于x a2 2

m ，ax m

2

bx n 2等形式均适用直接开

例 1、解方程：12x2 8 0; 2

2 25 16x2

2

3 1 x 2 9 0;

例 2、若9 x 2

1 2 16 x 2 则 x 的值为

22

A.x2 3 2x2 1

B. x

20 C.2x 3 1 2

2

90 1 x20 x x1, 或x x2

※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“

0”，

※方程形式：如

ax m 2 bx n 2，x a x b xa xc

例 1、2x x 3 5x 3 的根为（

5 B x3

5 3D

2 A x

C x 1

,x 2 x

2

1 2 2

5

例 2、若 4x 2

y

3 4x y 4

，则 4x+y 的值

为

。

变式 1： a 2

b 2 2

22

a b 6

0, 则 a 2

b 2

。

变式 2：若 x y2

x y 3

0 ，则 x+y 的值为

。

变式 3：若 x 2

xy y 14 ， y 2

xy x 28 ，则 x+y 的值为

。

例 3、方程

x 2

x

6 0 的解为( )

A.x 1 3，x 2 2

B.x 1 3，x 2

2 C.x 1 3，x 2

3 D.x 1

2

，

x 2 变式练习：

1、下列说法中：

①方程 x 2 px q 0 的二根为 x ， x 2 ，则 x 2

px q (x x 1)(x x 2)

② x 2

6x 8 (x 2)(x 4).

③ a 2 5

ab 6b 2 (a 2)(a 3)

④ x 2

2 y

(

x

y)( x y)( x y)

⑤方程 (3x 1)2

7 0 可变形为 (3x 1 7)(3x 1 7) 0

正确的有( )

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个 2、以

1

7

与1 7 为根的一元二次方程是()

A ． x 2

2x 6 0

B ． x 2

2x 6 0

3、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为 1，且两根互为倒数：

⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为 1，且两根互为相反数：

2 C ． y 2y 6 0 2

D ． y 2y 6 0

0 ，则 x+y 的值为(

C 、1

或-2 D 、 1或2

b

2a

b 2

4ac 4a 2

0 a 0

4、若实数 x 、 y 满足

※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。

例1、试用配方法说明x2 2x 3的值恒大于 0。

例2、已知 x、y 为实数，求代数式x2 y2 2x 4y 7 的最小值。

例3、已知x2 y2 4x 6y 13 0，x、y为实数，求x y的值。

例4、分解因式：4x2 12x 3

变式练习：

2

1、试用配方法说明10x2 7x 4 的值恒小于 0。

2 1 1 1

2、已知x22x 4 0 ，则x .

x x x

3、若t 2 3x212x 9 ，则 t 的最大值为，最小值为

例 1、选择适当方法解下列方程：

2

2

⑴ 31 x 2 6. ⑵ x 3 x 6 8. ⑶ x2 4x 1 0

⑷ 3x2 4x 1 0 ⑸3 x 1 3x 1 x 1 2x 5

例 2、在实数范围内分解因式： 1) x 2

2 2x 3；

(2) 4x 2 8x 1. ⑶ 2x 2 4xy 5y

2

例 2、关于 x 的方程 m 1 x 2 2mx m 0 有实数根，则 m 的取值范围

是 (

例 3、已知关于 x 的方程 x 2

k 2 x 2k 0 (1) 求证：无论 k 取何值时，方程总有实数根； (2)

若等腰 ABC 的一边长为 1，另两边长恰好是方程的两个根，求

ABC 的周长。

变式练习：

2

1、当 k 时，关于 x 的二次三项式 x 2

kx 9 是完全平方式。

2、当 k 取何值时，多项式 3x 2

4x 2k 是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？

3、已知方程 mx 2

mx 2 0有两个不相等的实数根，则 m 的值是 .

y kx 2,

4、 k 为何值时，方程组 2

例 1、若关于 x 的方程 x 2

2 kx

1 0

有两个不相等的实数根， 则 k 的取

值范围是

A.m 0且m 1

B.m 0

C.m 1

D.m 1

例 4、已知二次三项式 9x 2

(m 6)x m 2 是一个完全平方式，试求 m 的值 .

例 5、 m 为何值时，方程组 2

x mx 2y 2

y

6,

有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？ 3.

y24x 2y 1 0.

1)有两组相等的实数解，并求此解；

2）有两组不相等的实数解；

3）没有实数解 .

例 1、关于 x 的方程m 1 x2 2mx 3 0

⑴有两个实数根，则 m 为 , ⑵只有一个根，则 m 为。

例1、不解方程，判断关于 x 的方程x2 2 x k k 23根的情况。

22

例 3、如果关于 x 的方程x2 kx 2 0及方程x2 x 2k 0 均有实数根，问这两方程是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k 的值；若没有，请说明理由。

1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯 990 次，问晚宴共有多少人出席？

2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了90 张，那么这个小组共多少人？

3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放

市场，根据计划，第一年投入资金

1

600 万元，第二年比第一年减少1，第三年比第

1

少1，该产品第一年收入资

400 万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收

1

回，还要盈利，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？（结果精确到

3

0.1，13 3.61 ）

4、某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的水产品，据市场分析，若按每千克50 元销售，一个月能售出 500 千克，销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10 千克，针对此回答：（1）当销售价定为每千克 55 元时，计算月销售量和月销售利润。

（2）商店想在月销售成本不超过 10000 元的情况下，使得月销售利润达到 8000 元，销售单价应定为多少？

5、将一条长 20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？

（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。

（3）两个正方形的面积之和最小为多少？

6、A、B 两地间的路程为 36 千米 .甲从 A地，乙从 B 地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走 2 小时 30 分到达 B地，乙再走 1 小时 36分到达 A地，求两人的速度 .

例 1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2x2 8x 7 0 的两根，则这个直角三

角形的斜边是（）

A. 3

B.3

C.6

D. 6

例 2、已知关于 x 的方程k 2x2 2k 1 x 1 0 有两个不相等的实数根x1,x2，（1）求 k 的取值范围；

（2）是否存在实数 k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由。

3.方程

x(x 3) (x 3)

解是( )

A ．x 1=－4， x 2 =3

B ．x 1=4，x 2 =－3

C ．x 1=－4，x 2 =－3

D ．x 1=4，x 2 =3

例 3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为 1）时，小明因看错

常数项，而得到解为 8 和 2，小红因看错了一次项系数，而得到解为 -9 和 -1。你知道

原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？

例 4、已知 a b ， a 2

2a 1 0， b 2

2b 1 0，求 a b

2 2

a b 变式：若 a 2 2a 1 0， b 2

2b 1 0，则

的值为 。

ba

例 5、已知 , 是方程 x 2

x 1 0 的两个根，那么 4

3 .

变式练习：

自检自测：

1.钟老师出示了小黑板上的题目

（如图 1－2－ 2）后，小敏回答： 方程有一根为 1”，小聪回

A ．只有小敏回答正确 C ．两人回答都正确

B ．只有小聪回答正确 D ．两人回答都不正确

2.解一元二次方程 x 2

－x － 12=0，结果正确的是（

答：“方程有一根为 2”．则你认为（ 1、解方程组 x y 3, (1)

x 2 y 2

5 (2)

2．已知 a 2 7a 4 ， b 2

7b

2

3、已知 x 1,x 2是方程

32 x 9 0的两实数根，求 x 13 7x 22

3x

2

66 的值。

4 (a

的

4.若 t 是一元二次方程 ax2＋bx+c=0（a≠0）的根，则判别式Δ = b2－4ac 和完全平方式

M=（2at+b）2的关系是（）

A．Δ =M B．Δ> M C．Δ< M D．大小关系不能确定

2

5.方程x （x 1） 0的根是（）

A．0 B．1 C．0，－ 1 D．0，1

2

6.已知一元二次方程 x2－ 2x－ 7=0的两个根为 x1，x2，则 x1+ x2 的值为（）A．－2 B．2 C．－ 7 D．7

2 1 1

7.已知 x1、x2是方程 x2－3x＋1 ＝0的两个实数根，则的值是（）

x1 x2

1

A、 3

B、－ 3

C、3

D、 1

8.用换元法解方程（x2＋x）2＋（x2＋x）＝6时，如果设 x2＋x＝y，那么原方程可变形为（）

2＋y－6＝0 B、y 2－y－6＝0 C、y2－y＋6＝0 D、 y 2 A、y

＋y＋6＝0

9.方程 x2－ 5x=0的根是（）

A．0 B．0，5 C．5， 5 D． 5

10.若关于 x的方程 x 2＋ 2x＋ k=0 有实数根，则（）

A．k<1，B．k≤1 C．k≤－ 1 D．k ≥－1

11.如果一元二次方程 x2－4x＋2＝0 的两个根是 x1，x2，那么 x1＋x2等于（）

A. 4

B. － 4

C. 2

D. －2

A．x 1=1 B．x1=0，x2 =－3 C．x1 =1，x 2 =3 D．x1=1，x2 =－3

12.用换元法解方程（x2－x）－x2x ＝6时，设x2x ＝ y，那么原方程可化为（）

2 2 2 2

A. y ＋ y － 6＝ 0

B. y ＋ y＋ 6＝ 0

C. y － y－ 6 ＝ 0

D. y

－y＋6＝0

13.设 x1，x2 是方程 2x2

+3x-2=0的两个根，则 x1＋x2的值是（）

16. ____________________________________________________ 两个数的和为 6，差为 8，以这两个数为根的一元二次方程是 ___________________ 17. __________________________ 方程 x 2

－x=0的解是

18. _______ 等腰△ ABC 中， BC=8， AB 、BC 的长是关于 x 的方程 x 2

－10x+m= 0的两根，则 m 的值 是 .

19. 关于 x 的一元二次方程 ax2 +2x+1=0 的两个根同号， 则 a 的取值范围是 __

2 2 2

20. 解方程： 2(x －1) 2

+5( x － l) +2=0． x 2

－2x －2=0

x 2

+5x+3=0

2

22.已知关于 x 的一元 二次方程

(k 4)x

2

21.已知关于 x 的一元二次方

程 x

(k 1)x 6

0的一个根是 2，求方程的另一根和

k 的值．

3x k 2

3k 4 0

的一个根为 0，求 k 的值．

C ．

3

14.方程 x 3

-x=0 的解是( ) A ．0， 1

B ．1， -1

(

x

)2 5x

15.用换元法解方程 (

x 1)

x 1

A ．-3

B ．3

C ．0，-1

D ．0，1，－

1

4 0时，若设 x

=y, 则原方程