学而思高中完整讲义：直线与圆锥曲线板块一直线与椭圆(1)学生版

1．椭圆的定义：平面内与两个定点12F F ，的距离之和等于常数（大于12||F F ）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距． 2．椭圆的标准方程：

①22

221(0)x y a b a b +=>>，焦点是1(0)F c -，，2(0)F c ，，且222c a b =-． ②22

221(0)y x a b a b +=>>，焦点是1(0)F c -，，2(0)F c ，，且222c a b =-． 3．椭圆的几何性质（用标准方程22

221(0)x y a b a b

+=>>研究）：

⑴范围：a x a -≤≤，b y b -≤≤；

⑵对称性：以x 轴、y 轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心；

⑶椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的1212A A B B ，，，； ⑷长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的12A A ；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段

12B B ．

⑸椭圆的离心率：c

e a

，焦距与长轴长之比，01e <<，e 越趋近于1，椭圆越扁；

反之，e 越趋近于0，椭圆越趋近于圆．

y=-b y=b x=-a

x=a

B 2

B 1

A 2

A 1c b a

F 2

F 1

O y x

4．直线l ：0Ax By C ++=与圆锥曲线C ：()0f x y =，的位置关系：

直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可归纳为：

板块一.直线与椭圆(1)

设直线l ：0Ax By C ++=，圆锥曲线C ：()0f x y =，，由0

()0Ax By C f x y ++=??=?

，

消去y （或消去x ）得：20ax bx c ++=．

若0a ≠，24b ac ?=-，0?>?相交；0?

若0a =，得到一个一次方程：①C 为双曲线，则l 与双曲线的渐近线平行；②C 为抛物线，则l 与抛物线的对称轴平行．

因此直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．

5．连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦．

求弦长的一种求法是将直线方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求；

另外一种求法是如果直线的斜率为k ，被圆锥曲线截得弦AB 两端点坐标分别为1122()()

x y x y ，，，，则弦长公式为2

12121||11AB k x x y y k ??

=+-=+- ???

．

两根差公式：

如果12x x ，满足一元二次方程：20ax bx c ++=，

则2

1212124()44b c b ac x x x x x x a a a a -???-=+-=--?==

???

（0?>）． 6．直线与圆锥曲线问题的常用解题思路有：

①从方程的观点出发，利用根与系数的关系来进行讨论，这是用代数方法来解决几何问题的基础．要重视通过设而不求与弦长公式简化计算，并同时注意在适当时利用图形的平面几何性质．

②以向量为工具，利用向量的坐标运算解决与中点、弦长、角度相关的问题．

【例1】直线2y kx =+2

213

x y +=交于不同两点A 和B ，且1OA OB ?=（其中O 为

坐标原点），求k 的值．

【例2】在平面直角坐标系xOy 中，经过点(02)，且斜率为k 的直线l 与椭圆2

212

x y +=有

两个不同的交点P 和Q ．

⑴求k 的取值范围；

⑵设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量OP OQ +与AB 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．

典例分析

⑴求椭圆的方程；

OA OB ?的值．

【例5】已知椭圆中心在原点，一个焦点为1(0F -，，且离心率e 满足：24

e 33

，，成等

比数列．

⑴求椭圆方程；

⑵是否存在直线l ，使l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 恰被直线

x =-平分，若存在，求出l 的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由．

【例6】直线y kx b =+与椭圆2

214

x y +=交于A 、B 两点，记AOB ?的面积为S ，

⑴求在001k b =<<，的条件下，S 的最大值；

⑵当2AB =，1S =时，求直线AB 的方程．

椭圆上且0,||||AC CO AC CO ?==．

⑴求椭圆的方程；

⑵若平行于CO 的直线l 和椭圆交于,M N 两个不同点，求CMN △面积的最大值，并求此时直线l 的方程．

【例8】如图，点A 是椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>短轴的下端点．过A 作斜率为1的直线交椭

圆于P ，点B 在y 轴上，且BP x ∥轴，9AB AP ?=． ⑴若B 点坐标为(01)，，求椭圆方程； ⑵若B 点坐标为(0)t ，，求t 的取值范围．

为坐标原点， (,OM OA OB λμλμ=+，若OM OA OB λμ=+，求实数

【例12】已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为1F ，2F ，

且12||2F F =，

⑴求椭圆C 的方程；

⑵设过点D (0,4)的直线l 与椭圆C 交于,E F 两点，O 为坐标原点，若OEF △为直角三角形，求直线l 的斜率．

过点()2,1P 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点,A B ．

⑴求椭圆C 的方程；

⑵是否存直线l ，满足2

PA PB PM ?=？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请

说明理由．

【例16】已知椭圆22

221(0)x y

a b a b

+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，离心率e =，右准

线方程为2x =．

⑴求椭圆的标准方程；（准线方程2

a x c

=）

⑵过点1F 的直线l 与该椭圆交于M ，N 两点，且222F M F N +=，求直线l 的方程．

【例17】设椭圆22

221x y a b

(0)a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率2e =， M 、

N 是直线l ：2

a x c

=上的两个动点，且120F M F N ?=． ⑴若12||||25F M F N ==，求a 、b 的值．

⑵证明：当||

MN 取最小值时，12F M F N +与12F F 共线．

【例18】已知椭圆2

:14

y C x +=，过点()03M ，的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A 、

B ．

⑴若l 与x 轴相交于点N ，且A 是MN 的中点，求直线l 的方程；

⑵设P 为椭圆上一点，且OA OB OP λ+=（O 为坐标原点），求当AB <数λ的取值范围．

【例19】已知1F 、2F 分别是椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点，右焦点2(0)F c ，到上

顶点的距离为2

，若2a =．

⑴求此椭圆的方程；

⑵点A 是椭圆的右顶点，直线y x =与椭圆交于M 、N 两点（N 在第一象限内），又P 、Q 是此椭圆上两点，并且满足120||||NP NQ F F NP NQ ??

+?= ? ???

，求证：向量PQ 与AM 共线．

【例20】一束光线从点1(10)F -，出发，经直线l ：230x y -+=上一点P 反射后，恰好穿过

点2(10)F ，，

⑴求点1F 关于直线l 的对称点1F '的坐标； ⑵求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆C 的方程；

⑶设直线l 与椭圆C 的两条准线分别交于A 、B 两点，点Q 为线段AB 上的动点，且不为A 、B ，求点Q 到2F 的距离与到椭圆C 右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点Q 的坐标．

【例21】已知直线220x y -+=经过椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的左顶点A 和上顶点

D ．

椭圆C 的右顶点为B ．点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线10

l x =

分别交于M N ，两点． ⑴求椭圆C 的方程；

⑵求线段MN 的长度的最小值．

⑶当线段MN 的长度最小时，在椭圆C 上是否存在这样的点T ，使得TSB ?的面积为

？若存在，确定点T 的个数；若不存在，说明理由．