《微积分初步》形成性考核作业答案

《微积分初步》形成性考核作业（一）参考答案

——函数，极限和连续

一、填空题（每小题2分，共20分） 1．()

()

3,+∞2，3 或填{}23x x x >≠且； 2．(),5-∞或填{}5x x <；

3．()(]2,11,2--?-或填{}121x x x -<≤≠-且； 4．26x +； 5．2； 6．21x -；

7.1x =-； 8.1； 9.2； 10.

32

二、单项选择题（每小题2分，共24分）

1.B

2.A

3.D

4.C

5.D

6.D

7.C

8.D

9.C 10.B 11.D 12.A 三、解答题（每小题7分，共56分）

1、1/4;

2、7/2;

3、3/2;

4、2/3;

5、2；

6、-1/2;

7、-1/8; 8/16 《微积分初步》形成性考核作业（二）参考答案

——导数、微分及应用

一、填空题（每小题2分，共20分）

1．12

； 2．10x y -+=； 3．230x y +-=； 4

1

； 5．6-； 6．()271ln3+；7.21x -；

8.2-； 9.()1,+∞； 10. 0a >.

二、单项选择题（每小题2分，共24分）

1.D

2.C

3.C

4.B

5.D

6.C

7.C

8.C

9.A 10.B 11.B 12.A

三、解答题（每小题7分，共56分）

1．解：()111

22

1

221x

x

x

y xe x e x e x

??'=+-=- ???

. 2．解：24cos 43sin cos y x x x '=-. 3．

解：21y x

'=-

. 4．

解：sin tan cos x y x x '=

=. 5．解：方程两边同时对x 求微分，得

()()220

2222xdx ydy xdy ydx x y dx x y dy

x y

dy dx

x y

+--=-=--∴=

-

6. 解： 原方程可化为()2

1x y +=

1,1

x y y x ∴+=±=-±

1,y dy dx '∴=-=- 7. 解：方程两边同时对x 求微分，得

20x y y e dx e dy xe dx xdx +++=

()2y x y xe dy e e x dx =-++

2x y y

e e x

dy dx xe ++∴=-

. 8. 解：方程两边同时对x 求微分，得

()()sin 0y x y dx dy e dy -+++=

()

()

sin sin y

x y dy dx e x y +∴=

-+ 微积分初步》形成性考核作业（三）参考答案

——不定积分、极值应用问题

一、填空题（每小题2分，共20分）

1．2ln 2x x x c -+； 2．24x e --； 3．()1x x e +； 4．2cos2x ； 5．1x

； 6．4cos2x -；7.2

x e dx -； 8.sin x c +； 9.()1232F x c -+； 10. ()2112

F x c --+.

二、单项选择题（每小题2分，共16分） 1.A 3.A 4.A 5.A 6.A 7.C 8.B 三、解答题（每小题7分，共35分）

1．解：原式＝3

2sin 3ln cos 3

x dx x x c x

??

=-+ ???

?.

2．解：原式＝

()()()()101111

111121212121221122

x d x x c x c --=?-+=-+?. 3．解：原式＝111

sin cos d c x x x

??

-=+ ????. 4．解：原式＝11111

cos 2cos 2cos 2cos 2sin 222224

xd x x x xdx x x x c -

=-+=-++??.

5．解：原式＝()1x x x x x x xde xe e dx xe e c x e c -------=-+=--+=-++??. 四、极值应用题（每小题12分，共24分）

1．解： 设矩形ABCD 的一边AB x =厘米，则60BC x =-厘米， 当它沿直线AB 旋转一周后，得到圆柱的体积

()()2

60,060V x x x π=-<<

令()()2

602600V x x x π??'=---=??

得20x = 当()0,20x ∈时，0V '>；当()20,60x ∈时，0V '<.

20x ∴=是函数V 的极大值点，也是最大值点.

此时6040x -=

答：当矩形的边长分别为20厘米和40厘米时，才能使圆柱体的体积最大. 2. 解：设成矩形有土地的宽为x 米，则长为216

x

米， 于是围墙的长度为()432

3,0L x x x

=+> 令2

432

30L x '=-=得()12x =取正

易知，当12x =时，L 取得唯一的极小值即最小值，此时

216

18x

= 答：这块土地的长和宽分别为18米和12米时，才能使所用的建筑材料最省. 五、证明题（本题5分）

《微积分初步》形成性考核作业（四）参考答案

——定积分及应用、微分方程

一、填空题（每小题2分，共20分）

1．23-； 2．2； 3．3221633y x =-； 4．4； 5．24

a π； 6．0；7.1

2； 8.x y e =；

9.3x y ce -=； 10. 4.

二、单项选择题（每小题2分，共20分）

1.A

2.A

3.A

4.D

5.D

6.B

7.B

8.D

9.C 10.B 三、计算题（每小题7分，共56分）

1．解：原式＝()()()2

ln 2

3ln 2

0011911133

x x

x e d e e ++=+=-?.

2．解：原式＝()()()21111715ln 15ln 15ln 5102

e e

x d x x ++=+=?.

3．解：原式＝()1

1

1

10

00

11x x x x

xde xe e dx e e e e =-=-=--=??.

4．解：原式＝0

2cos 2cos 4sin 4222x x x xd x π

π

??

-=-+=?????.

5．解：原式＝22220000cos cos cos 0sin 1xd x x x xdx x ππ

π

π

-=-+=+=??. 6. 解：()()21,1P x Q x x x

==+

()()()()()()11

2

ln 2ln 342 1 11

111 42P x dx P x dx dx dx x x x x y e Q x e dx c e x e dx c e x e dx c x x dx c x x x c x --

-????=+????

????=++??

????=++??

??

=++?

???

=++??

??

????通解 即通解31

142c y x x x

=++ 7. 解：()()1,2sin 2P x Q x x x x

=-=

()()()()

11

ln ln 2sin 2 2sin 21 2sin 2 cos 2P x dx P x dx dx dx x x

x x

y e Q x e dx c e x xe dx c e x xe dx c x x x dx c x x x c ---????∴=+????????=+??

????=+??

??

=?+??

??

=-+????通解

即通解为()cos2y x x c =-+.

四、证明题（本题4分）

()()()()()()()()()()()0

00

00

a

a

a

a

a

a

a

a a

f x dx f x dx

f x dx f x dx

f x d x f x dx f x dx f x dx

f x f x dx ----+=-+=---+=

-+=-+=?????

????

??

??

证：左边＝右边

()()()()1 0, 01 0, 0

,0.

x x x f x e x e x f x f x x e '=-<<<'∴<>=--∞证：当时当时从而函数在区间是单调增加的