大学概率论与数理统计上机报告

概率论与数理统计

第一次上机

专业：信息与计算科学

班级：信计1502（35组）

学生姓名：吕瑞杰陈炎睿何芝芝指导教师：张志刚

完成时间：2020年3月23日

Matlab 概率论与数理统计(LX1)

【练习1.1】二项分布、泊松分布、正态分布

（1） 对10,0.2n p ==二项分布，画出(,)b n p 的分布律点和折线； （2） 对np λ=，画出泊松分布()πλ的分布律点和折线；

（3） 对2,(1)np np p μσ==-，画出正态分布2(,)N μσ的密度函数曲线； （4） 调整,n p ，观察折线与曲线的变化趋势。 理论分析：

(1)因为x 为二项分布，所以有：;

)2.01(2.0)();

2.010(~k

k

k

n

C k Pn B X -=，

(2)根据泊松分布公式得：);

2(~;

22.0*10np P X ===λ

(3)由题意得正态分布有：);

6.1,2(~;

6.1)1(,22N X p np np =-===σμ

(4)改变n 和p 的取值。

Matlab 程序：

x=0:10;n=10;p=0.2; y=binopdf(x,n,p); y1=poisspdf(x,n*p); x1=-4:0.1:10;

y2=normpdf(x1,n*p,sqrt(n*p*(1-p))); plot(x,y,'b-',x,y,'b.',x,y1,'r-',x,y1,'r.',x1,y2,'k-');

(4) 设n=20,p=0.3;

则λ=6；μ=6，；

(新代码)

x=0:10;n=20;p=0.3;

y=binopdf(x,n,p);

y1=poisspdf(x,n*p);

x1=-2:0.1:12;

y2=normpdf(x1,n*p,sqrt(n*p*(1-p)));

plot(x,y,'b-',x,y,'b.',x,y1,'r-',x,y1,'r.',x1,y2,'k-'); （图形）

分析：

我们从理论上可以知道，

（1） 当n 很大，p 很小的情况下，二项分布可以近似地用泊松分布代替； （2） 当n 充分大，p 既不接近于0也不接近于1的情况下，二项分布向正态分

布逼近；

（3） 当λ充分大的时候，泊松分布近似于正态分布。

【练习1.2】 股票价格的分布

已知某种股票现行市场价格为100元/股，假设该股票每年价格增减是以0.4,10.6p p =-= 呈20%与-10%两种状态，

（1）求10n =年后该股票价格的分布，画出分布律点和折线；（2）求n 年之后的平均价格，画出平均价格的折线。 理论分析：

（1） 由题意可知，相关分布为二项分布；

设10年后股票价格为y ，有x 年股票为上涨状态，列出方程：

);

10...2,1,0()6.0()4.0(}{}{9.02.11001010(=====??=--k C k x P y P y k k k

n k x ）

（2） 根据求n 年之后价格的期望值可得。 Matlab 程序：

x=0:9; n=10; p=0.4;

y= binopdf(x,n,p); i=0:n-1;

price=100.*((1.2).^i).*((0.9).^(n-i)); avr=sum(y.*price); t=0:0.01:0.3; a=avr-(t-t);

plot(price,y,'r*',price,y,'b-',a,t);

(图形)

总结：由图像可看出未来10年里的股票价格分布近似呈现正态分布，其期望值接近n年后的平均价格。

【练习1.3】条件密度函数

设数X在(0,1)上随机取值，当观察到时，数Y在区间,(01)

X x x

=<<(,1)

x上

随机取值，（1）求Y的密度函数()

Y

f y，画出密度函数曲线；（2）模拟该过程，产生10000

n=个随机数X，在根据每个X的值，产生一个随机数Y（共有10000

n=），画出Y的样本密度曲线。

题目分析：

?-

-

=

=

-

=

=

-

=

?

?

?<

<

=

y

Y

X

Y

Y

X

Y

y

dx

y

x

f

y

f

x

x

y

f

y

f

y

x

f

x

x

y

f

x

x

f

|

|

)

1

ln(

)

,

(

)

(

;

1

1

)

|

(

)

(

)

,

(

;

1

1

)

|

(

,0

;1

0,1

)

(

其他

Matlab程序：

x=0:0.01:1;

y=-log(1-x);

rn=10000;

z1=unifrnd(0,1,1,rn);

array=zeros(1,10000);

array(1,:)=[1];

z2=unifrnd(z1,array,1,10000);

d=0.05;a=0.0:d:0.95; b=(hist(z2,a)/rn)/d;

plot(x,y,'b-',a,b,'r.')

(图形)

【练习1.4】二项分布、正态分布、切比雪夫不等式

在每次实验中，事件A发生的概率是0.5，求在1000次独立实验中，事件A 发生的次数在475~525之间的概率。（1）用二项分布公式精确计算；（2）用正态分布近似计算；（3）用切比雪夫不等式进行估计。

题目分析：

（1）)

1000

(

525

475

1000

1000

)5.0(

)5.0(

)k(k

k

k

k

C

P-

=

?

?

=∑

（2）

)

250

500

475

(

)

250

500

525

(

)

525

475

(

);1,0(

~

;

250

)

1(

,

500

np2

-

-

-

=

≤

<

-

=

=

-

=

=

=

φ

φ

σ

μ

σ

μ

X

P

N

X

Z

p

np

（3）;9.050

250

1)50|500|(;250)1()(;500np )(50

4755252

=-≥<-=-====-=x P p np x D X E ε

Matlab 程序：

n=1000; p=0.5;

P=sum(binopdf([475:525],n,p))

P1=normcdf((525-n*p)/sqrt(n*p*(1-p)))-normcdf((475-n*p)/sqrt(n*p*(1-p)))

P2=1-(n*p*(1-p))/25^2

（结果） P = 0.8933 P1 = 0.8862 P2 = 0.6000

总结：通过利用三种不同的求解方法，由求解原理以及结果分析可得：二项分布和正态分布较为准确，但需要知道题目的相关分布，切比雪夫不等式比较其他两种来说，不精确但不需知道分布情况。

【练习1.5】 正态分布

对正态分布的3σ法则进行演示，设22~(,)(1,2)X N N μσ=， （1）画出其密度函数曲线()X f x ；（2）分别对(),μσμσ-+，()2,2μσμσ-+，()3,3μσμσ-+进行填充；（3）分别求出随机变量X 落在这三个区间内的概率；（4）产生10000n =个随机数，计算其分别落在这三个区间的频率。 题意分析：

（1）2

2

22)1(221)(?--=x x e n

x f

（2）??

?

??-=+--=+--=+-）（），（）（）

，（）（）

，（7,5335,3223,1σμσμσμσμσμσμ （3）1

)3(2)2

1

5()217(}75{1)2(2)21

3()215(}53{1)1(2)21

1()213(

}31{-=----=≤<--=----=≤<--=----=≤<-φφφφφφφφφX P X P X P Matlab 程序：

mu=1; sigma=2; x=-8:0.1:10;

y=normpdf(x,mu,sigma); plot(x,y,'b-');

x1=mu-sigma:0.1:mu+sigma; x2=mu-2*sigma:0.1:mu-sigma; x21=mu+sigma:0.1:mu+2*sigma; x3=mu-3*sigma:0.1:mu-2*sigma; x31=mu+2*sigma:0.1:mu+3*sigma; y1=normpdf(x1,mu,sigma); y2=normpdf(x2,mu,sigma); y21=normpdf(x21,mu,sigma); y3=normpdf(x3,mu,sigma); y31=normpdf(x31,mu,sigma);

y=0;

hold on

area(x1,y1,'FaceColor','g')

area(x2,y2,'FaceColor','y')

area(x21,y21,'FaceColor','y')

area(x3,y3,'FaceColor','m')

area(x31,y31,'FaceColor','m')

p1=normcdf(mu+sigma,mu,sigma)-normcdf(mu-sigma,mu,sigma) p2=normcdf(mu+2*sigma,mu,sigma)-normcdf(mu-2*sigma,mu,sig ma)

p3=normcdf(mu+3*sigma,mu,sigma)-normcdf(mu-3*sigma,mu,sig ma)

rn=10000;

z= normrnd (mu,sigma,1,rn);

d1=2*sigma;a1=mu-sigma:d1:mu+sigma;

b1=(histc(z,a1)/rn);

d2=4*sigma;a2=mu-2*sigma:d2:mu+2*sigma;

b2=(histc(z,a2)/rn);

d3=6*sigma;a3=mu-3*sigma:d3:mu+3*sigma;

b3=(histc(z,a3)/rn);

P1=b1(:,1)

P2=b2(:,1)

P3=b3(:,1)

(第（1、2）题的图像)

（第（3）题的结果） p1 =

0.6827 p2 =

0.9545 p3 =

0.9973

（第（4）题的结果） P1 =

0.6852 P2 =

0.9546 P3 =

0.9973

总结:图像以及随机数的分布验证了正态分布的3σ法则： 尽管正态分布Y 的范围在正负无穷之间，但它的值几乎全部集中在区间]3,3[σμσμ+-内。

关于第一次的上机总结：概率论与数理统计这一门学科无疑是精彩且又深奥的，而若这一门课程没有与计算机结合起来的话，无疑增加了它的难度。事实上，正是因为计算机与概率论课程的结合，不仅简化了数据处理的过程，让寻找数据之间的关系变得容易，更能进行实用可见的模拟，增强对数据有效性和可信度的检验。可能由于对概率论与上机的初次接触，对于它们的优点还不能尽知，但也仅仅是我所知道的一小部分，也能让我获益匪浅。