第一章 行列式答案详解

第一章

行列式

习题1.1二阶和三阶行列式

1．计算下列二阶行列式．

()

121

12

-=4(1)5--=()

22

2111

x x x x -++22(1)(1)x x x x =-++-321

x x =--【分析】考查二阶行列式的计算公式2．计算下列三阶行列式．

()1251

3

12204

--13011

1311

31230

24

204===()2a b

c

b c a c a b 11()1()011b c b c

a b c c a a b c c b a c

a b a b b c

=++=++----333

()

3c b a c a b c abc a b c a b b c --=++=-----【分析】考查三阶行列式的计算公式或者行列式性质计算三阶行列式

3．当x 取何值时，3140010

x x x

¹．

【解析】31210

21

4040(24)

02

41010x x x x x x x

x

x

x x

且===-【分析】考查三阶行列式的计算公式或者行列式性质计算三阶行列式

习题1.2排列

1．求下列排列的逆序数，并确定它们的奇偶性．()14132；()41324t =，为偶排列

()2542316；()5423169t =，为奇排列()3()()246213521n n -L L ．

()()()(1)2462135212n n n n t +-=

L L ，4142443n k k n k k =++⎧⎨=+⎩或时，为奇排列

或时，为偶排列

【分析】考查逆序数的计算及奇偶排列的概念

*2．设排列12n i i i L 的逆序数为k ，求排列121n n i i i i -L 的逆序数．

【解析】考虑第m 个数(m=1,2,...,n-1)，它与后面n-m 个数的每一个数都有一个“序”，这个

序要么是“顺序”，要么是“逆序”。这样全部的“序”共有：（n-1)+(n-2)+...+2+1=n(n-1)/2个。12n i i i L 逆序数是k ，那么排列121n n i i i i -L 的逆序是n(n-1)/2-k 【分析】考查逆序概念

习题1.3

n 阶行列式

1．写出四阶行列式中含有因子1123a a 的项．

【解析】1123344211233244

;

a a a a a a a a +-【分析】行列式的定义

2．在5阶行列式中，下列各项应取什么符号？

()11523314254a a a a a ；()152********,+a a a a a 取“”t =()22132441355a a a a a ；()21324413552,+a a a a a 取“”t =()34153122435a a a a a ．()41531224355,a a a a a 取“-”

t =【分析】行列式的定义

3．设一个n 阶行列式中等于零的元素的个数大于2n n -，试证明该行列式为零．

【解析】N 阶行列式共有2n 个元素，等于零的元素的个数大于2

n n -，则非零元素个数小

于n 个，即一定出现一个0行，则行列式值为0.【分析】行列式的定义

4．用行列式的定义计算下列行列式．

()1010000200001

000n n -L L

M M M L

M

L L (23(1)1)112231,11(1)(1)!

n n n n n a a a a n τ----=-=- ()

2()

()1111121211000n n n n a a a a a a --L L M

L

M M L

(1)((1)21)

2

12(1)112(1)1

(1)

(1)n n n n n n n n n n a a a a a a τ----=-=- 【分析】行列式的定义和主次对角线行列式的结论

5．设()11

121314212223243132333441

42

43

44

x a a a a a x a a a f x a a x a a a a a x a --=

--，求()f x 中3

x 的系数．

【解析】根据行列式的定义，3

x 系数只能来自于一项11223344()()()()x a x a x a x a ----，即11223344()a a a a -+++【分析】行列式的定义

习题1.4

n 阶行列式的性质

1．用行列式的性质计算下列行列式．

()1a x x x x b x x

x x c x

+++00

00

00a x x x x x x b x x

b x x x b x x a x b x

c x

x c x x x c x x c +=+++=++++2()()()a b x c x x bcx abc ab ac bc x

=++-+=+++【分析】各行或各列元素之和相等的行列式+展开定理+三角化方法