相似三角形的综合应用

相似三角形的综合应用（相似三角形的模型分析） ◆ 教学目标

知识技能目标：1、掌握相似三角形的判定和性质，运用相似三角形的性质定理解决相似中的模 型问题，如“金字塔型”、“沙漏型”、“母子型”.

2、通过推理掌握证明比例式、等积式、求线段长及求面积的方法. 过程与方法目标：通过学生体验，小组讨论，使知识口诀花，模型化.

情感态度与价值观目标：体验框架式教学，增强模型意识，增强学习数学的信心、兴趣. ◆ 重点：通过模型的学习，掌握相似中的证明，定理性质推论.

◆ 难点：性质定理及推论的选择、运用，理清知识间的相互联系.

◆ 知识储备：

（一）相似三角形的常见模型：

1、“金字塔”模型

2、“沙漏”模型

3、“母子”模型

2、相似三角形的判定定理和性质：

判定：①两角分别相等的两个三角形相似. ②两边对应成比例且夹角相等两个三角形相似. ③三边对应成比例的两个三角形相似.

④平行于三角形一边的直线，和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似. 性质：①相似三角形对应角相等，对应边成比例.

②相似三角形对应边上高的比、对应边上中线的比、对应角平分线的比，周长的比都等 于相似比.

③相似三角形的面积比等于相似比的平方.

◆ 教学过程

第一环节 自主做学,知识链接

例1、如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AB 的中点，则：

⑴_______==CD

AE DF EF ； (2)△AEF 的周长：△CDF 的周长= ； (3)若5AEF =△S ，则_______CD F =△S .

(4)过点F 作CD FG ⊥于点G ，交AB 于点H ，则

______=FG FH . 第二环节 合作探究

相似三角形的模型运用：（一）“金字塔”模型

例2、如图在△ABC 中，D 为BC 边上一点，连接AD ，分别过点B 、C 作

AD 的平行线，分别交CA 、BA 的延长线与点F 、E ，求证：CE

BF AD 111+= .

口诀：平行线，比例现；中间比，关系连.

变式演练：在梯形ABCD 中，AD//BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，

过点O 作MN//AD 分别交AB 、CD 于点M 、N,求证：OM=ON.

（二）“沙漏”模型

例3、如图，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，

CD DE 21=. (1)求证：AF=2FD ；(2)若△DEF 的面积为2，求平行四边形ABCD 的面积.

口诀：要求线段长，比例关系帮；模型在其中，面积自然来

变式演练：如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，DE//AC,若 3:1S CD E BD E =△△：S ，则AOC DOE S △△：S 的值为（ ） 3

1.A 41.

B 91.

C 161.D

(三)“母子”模型

例4、如图，在△ABC 中，AB CD ,90⊥︒=∠BCA 于点D.

(1)若AC=5，CD=4，求AD ，BD ，AB ，BC 的长.

(2)若AC=6，CD=8，求AD ，BD ，AB ，BC 的长.

口诀：双垂直母子型，射影定理要记清；知两段求四段，还有方法帮你算. 变式演练：如图，矩形ABCD 中，AD=a ，DC=b ，在AB 上找一点E ，使E 点

与C 、D 的连线将此矩形分成的三个三角形相似，设AE=x ，问：这样的E 点是否存在？若存在，这样的点E 有几个？请说明理由.

第三环节 课堂小结

一般归纳：模型→思路→方法→答案→...... “记忆通向理解形成直觉”

1、运用相似三角形的性质和判定解决相似中的模型问题.

2、通过推理掌握证明比例式，等积式，以及求线段长、求角的方法.

3、使知识模型化，口诀化，深度化，体验框架教学.