经济数学方法
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經濟數學方法
壹、 矩陣與行列式
◎定義: m n ⨯-階矩陣為一包括n 列和m 行的數字的方形排列，若以A 代表
此矩陣，則
m n a a a a a a a a a a A ij nm n n m m ⨯=⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢
⎢⎢⎢⎣⎡=)(21222
21
11211Λ
M ΛM M ΛK
例:
⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=11133111,531
321213102B A 分別為43⨯和24⨯矩陣
◎定義: 若m n ij m n ij b B a A ⨯⨯==)(,)( 則 m n ij m n ij ij C b a B A ⨯⨯=+=+)()( =C m n ij a A ⨯=)(αα
例: ⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3152
12,112312B A 則⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++++-=+227520311152231122B A
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-+=-84513412315212551015510)1(55B A B A
A A A 21123122224624112312112312=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=+
◎ 定義:若A=()ij a 為m n ⨯矩陣，B=()ij b 為k m ⨯矩陣，則A 和B 的 乘積AB 為k n ⨯矩陣C
例: ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=130112001,102210B A 求AB 及BA ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡=130112*********AB =⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡+-⋅+++++⋅⋅+-⋅+++++1.1)1(00.23.11.00.20.12.01212)1(10.03.21.10.00.22.11.0 =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡132172 BA 無法計算 33⨯Θ 32⨯
◎ 行列式: Cramer's Rule 已知 1212111b X a X a =+ 2222121b X a X a =+
⇒ 2112221112222122
211211222121*
1a a a a a b a b a a a a a b a b X --==
211222111
2121122
2112112211
11
*2
a a a a
b a b a a a a a b a b a X --==
例:解下列聯立方程式: ⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--025312121111321X X X
⎪⎩⎪
⎨⎧=++=-+=+-⇒0
32225
321
321321X X X X X X X X X 9439
3
1
2
1211113101
221
15*1=
=----=X 9
239
3
21
21151*
2-
=-=
X 1*39219012221511±-=-=X
貳、微分
◎ 微分公式: )(X f Y =
dX
dY X x f X X f X f X Y X =
∆-∆+='=∆∆→∆)()(lim )(0
)(2
222X f dX Y
d X Y ''==∆∆ ◎ 若R X nX X f R X X X f n n ∈∀='⇒∈∀=-,)(,)(1 ◎ 設)(X f '與)(X g '皆存在:
{}dX
X dg dX X df X g X f dX d
)()()()(±=± {}dX
X df X g dX X dg X f X g X f dX d
)()()()()()(+=⋅ []乘法公式
0)(,)
()
()()()()()(2
≠'-'=⎭⎬⎫⎩⎨⎧X g X g X g X f X g X f X g X f dX d []除法公式 ◎ 鏈鎖律(chain rule): 設函數f 與g 皆可微分)())(())((X g X g f X g f dX
d
'⨯'=⇒
◎ 反函數 (inverse function):
設函數f 與g 滿足 f(g(Y))=Y ⇔函數g 為f 之反函數 g(f(X)=X 且g=f 1-
⇒ ⎩⎨⎧==--X
X f f Y
Y f f ))(())((1
1
◎ 偏微分: ),(),(2111
21X X f X y
X X f y =∂∂⇒= ),(),(2122
21X X f X y
X X f y =∂∂⇒= 例:
X Y X dX
d
6232=+ ◎ 全微分: ),(21X X f y =
2
2
11dX X y dX X y dy ∂∂+∂∂= 例: TE=P ⨯Q
P dQ dP dTE ⨯+⨯=⇒2 ◎ 自然對數(e)與自然指數(ln):
性質: (1) 0lim 1)0()(=⇒=⇒=∞
→X X x e f e X f 、∞=∞
→X X e lim
-∞=⇒=⇒=-∞
→X f X X f X ln lim 0)1(ln )(、∞=∞
→X X ln lim
(2)
X X
e e dX
d = (3)設f '存在)()()()(X f
e e dX
d
X f X f '⋅=⇒
(4) R Y X e e e Y X Y X ∈∀⋅=+,, (5) X X e
e 1=- (6)
0,1
ln >∀=X X
X dX d x y e x lnx 1 1