函数极限习题与解析
函数与极限习题与解析 （同济大学第六版高等数学）
一、填空题 1、设x x x f lg lg 2)(+-=
，其定义域为 。
2、设)1ln()(+=x x f ，其定义域为 。
3、设)3arcsin()(-=x x f ，其定义域为 。
4、设)(x f 的定义域是[0，1]，则)(sin x f 的定义域为 。
5、设)(x f y =的定义域是[0，2] ，则)(2
x f y =的定义域为 。
6、43
2lim
23=-+-→x k
x x x ，则k= 。 7、函数x
x
y sin =
有间断点 ，其中 为其可去间断点。 8、若当0≠x 时 ，x
x
x f 2sin )(= ，且0)(=x x f 在处连续 ，则=)0(f 。
9、=++++++∞→)21(lim 222n
n n
n n n n n 。
10、函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 连续的 条件。
11、=++++∞→3
52352)
23)(1(lim
x x x x x x 。 12、3)2
1(lim -∞
→=+e n
kn n ，则k= 。
13、函数2
31
22+--=x x x y 的间断点是 。
14、当+∞→x 时，
x
1
是比3-+x 15、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是 无穷小。 16、函数x
e y 1=在x=0处是第 类间断点。
17、设1
1
3
--=
x x y ，则x=1为y 的 间断点。
18、已知33=??
?
??πf ，
则当a 为 时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。 19、设??
???>+<=0)1(02sin )(1x ax x x
x
x f x 若)(lim 0
x f x →存在 ，则a= 。 20、曲线2sin 2
-+=x x
x y 水平渐近线方程是 。 21、1
14)(2
2-+
-=
x x x f 的连续区间为 。
22、设?
??>≤+=0,cos 0
,)(x x x a x x f 在0=x 连续 ，则常数
a= 。
二、计算题
1、求下列函数定义域 （1）2
11
x
y -= ； （2）x y sin = ；
（3）x
e y 1= ；
2、函数)(x f 和)(x g 是否相同？为什么？ （1）x x g x x f ln 2)(,ln )(2
== ；
（2）2)(,)(x x g x x f == ；
（3）x x x g x f 22tan sec )(,1)(-== ；
3、判定函数的奇偶性
（1）)1(22x x y -= ； （2）3
23x x y -= ；
（3）)1)(1(+-=x x x y ；
4、求由所给函数构成的复合函数 （1）22
,sin ,x v v u u y === ；
（2）21,x u u
y +== ；
（3）x v e u u
y v
sin ,,2=== ；
5、计算下列极限 （1）)2141211(lim n n ++++
∞
→ ； （2）2
)
1(321lim
n n n -++++∞→ ；
（3）35
lim 22-+→x x x ； （4）1
12lim 221-+-→x x x x ；
（5）)1
2)(11(lim 2x x x -+∞→ ； （6）2232)
2(2lim -+→x x x x ；
（7）x x x 1
sin lim 2
0→ ； （8）x
x x x +---→131lim 21 ；
（9）)1(lim 2
x x x x -++∞
→ ；
6、计算下列极限 （1）x wx x sin lim 0→ ； （2）x
x
x 5sin 2sin lim 0→ ；
（3）x x x cot lim 0
→ ； （4）x
x x
x )1(
lim +∞
→ ；
（5）1
)1
1(lim -∞→-+x x x x ； （6）x x x 1
0)1(lim -→ ；
7、比较无穷小的阶
（1）3
2
2
20x x x x x --→与，时 ；
（2）)1(2
1112x x x --→与，时 ；
8、利用等价无穷小性质求极限
（1）3
0sin sin tan lim x x
x x -→ ； （2）),()(sin )sin(lim
0是正整数m n x x m n x → ；
9、讨论函数的连续性
。
在???=>-≤-=11
,31
,1)(x x x x x x f
10、利用函数的连续性求极限
（1）)2cos 2ln(lim 6
x x π→
； （2）)(lim 22
x x x x x --
++∞
→ ；
（3）x x x sin ln
lim 0
→ ； （4）x x x
2)1
1(lim +∞→ ；
（5）)1
1
(lim ,)1(lim )(1
--=+
→∞
→t f n
x x f t n
n 求设 ；
（6）)1
1
ln(
lim +-∞
→x x x x ；
11、设函数???≥+<=0
,0
,)(x x a x e x f x
应当怎样选择a ，使得)()(∞+-∞，成为在x f 的连续函数。
12、证明方程135=-x x 至少有一个根介于1和2之间。
（B ）
1、设)(x f 的定义域是[0 ，1] ，求下列函数定义域 （1）)(x
e f y = （2）)(ln x f y =
2、设?
??>-≤=??
?>≤=0,0
,0)(0
,,0)(2
x x x x g x x o
x x f 求
)]([,)]([,
)]([,)]([x f g x g f x g g x f f
3、利用极限准则证明： （1）111lim =+
∞
→n n （2）1]1
[lim 0=+→x
x x ；
（3）数列 ,222,22,2+++的极限存在 ；
4、试比较当0→x 时 ，无穷小232-+x x 与x 的阶。
5、求极限
（1）)1(lim 2
x x x x -++∞
→ ； （2）1
)1
232(
lim +∞
→++x x x x ； （3）30sin tan lim x
x
x x -→ ；
（4）)0,0,0()3
(
lim 1
0>>>++→c b a c b a x x x x x ；
6、设?????
≤+>=0
,0,1sin
)(2
x x a x x
x x f 要使),()(∞+-∞在x f 连续， 应当怎样选择数a ？
7、设?????≤<-+>=-0
1,)1ln(0,)(11x x x e x f x 求)(x f 的间断点，并说明间断点类型。
（C ）
1、已知x x f e
x f x -==1)]([,)(2
? ，且0)(≥x ? ，求)(x ?并写出它的定义域。
2、求下列极限：
（1）、]ln cos )1ln([cos lim x x x -++∞
→ ；（2）、x
x
x x x cos sin 1lim
-+→ ；
（3）、求x x x x 2sin 3553lim 2?++∞→ ；（4）、已知9)(lim =-+∞→x
x a
x a x ，求常数a 。
（5）、设)(x f 在闭区间],[b a 上连续 ，且b b f a
a f <>)(,)( ，
证明：在开区间),(b a 至少存在一点ξ ，使ξξ=)(f 。
第一章 函数与极限 习 题 解 析
（A ）
一、填空题 （1）]2,
1( （2）),1(∞+- （3）[2 ，4]
（4）{}z k k x k x ∈+≤≤,)12(2ππ （5）]2,
2[-
（6）-3 （7）0;,=∈=x z k k x π （8）2 （9）1
（10）充分 （11）
21 （12）2
3
- （13）x=1 , x=2 （14）高阶 （15）同阶 （16）二 （17）可去 （18）2 （19）-ln2 （20）y=-2 （21）]2,1(]1,2[ - （22）1 二、计算题
1、（1） ),1()1,1()1,(∞+---∞
（2） ),0[∞+ （3）),0()0,(∞+-∞
2、（1）不同，定义域不同 （2）不同，定义域、函数关系不同
（3）不同，定义域、函数关系不同 3、（1）偶函数 （2）非奇非偶函数 （3）奇函数
4、（1）[]
22)(sin x y = （2）]1[2x y += （3）][sin 2x
e
y = 5、（1）[ 2 ] （2）]2
1
[ （3）-9 （4）0 （5）2 （6）∞ （7）0 （8）22- （9）2
1 6、（1）w （2）
5
2 （3）1 （4）1-e （5）2e （6）1-e 7、（1）的低阶无穷小是3
2
2
2x x x x -- （2）是同阶无穷小
8、（1）21 （2）??
?
??>∞= m n m n m ,,1,0 9、不连续 10、（1）0 （2）1 （3）0 （4）2 e （5）0 （6）-2 11、a=1 （B ） 1、（1）提示：由10≤≤x e 解得：]0,(∞-∈x （2）提示：由1ln 0≤≤x 解得：],1[e x ∈ 2、提示：分成o x ≤和0>x 两段求。)()]([x f x f f = ，0)]([=x g g ， 0)]([=x g f , )()]([x g x f g = 4、（1）提示：n n 11111+<+ < （2）提示：x x x x x x 1 ]1[)11(?<<- （3）提示：用数学归纳法证明：222=+ 5、提示：x x x x x x x 1312232-+-=-+ 令t x =-12（同阶） 6、（1）提示：乘以x x ++12 ； 21 （2）提示：除以x 2 ；e （3）提示：用等阶无穷小代换 ；2 1 （4）提示： x x x x c b a 1 )3 ( ++ x c b a c b a x x x x x x x x x c b a 31 111113 13111-+-+--+-+-?? ?????????????????? ??+-+-+-=（3abc ） 7、提示：)0()(lim )(lim 00f x f x f x x ==+ - →→ （0=a ） 8、1=x 是第二类间断点 ，0=x 是第一类间断点 （C ） 1、解：因为()[]x e x f x -==1) (2 ? ? ，故)1ln()(x x -=? ，再由0)1ln(≥-x ， 得：11≥-x ，即0≤x 。所以：) 1ln()(x x -=?，0≤x 。 2、解：原式=)cos sin 1(cos sin 1lim 20x x x x x x x x ++-+→=x x x x x 20sin sin 21lim +?→ = )sin (sin lim 210x x x x x +?→=0 3、解：因为当∞→x 时 ，x x 2 ~2sin ， 则x x x x 2sin 3553lim 2?++∞→=x x x x 23553lim 2?++∞→=x x x x 35106lim 22++∞→=5 6 4、解：因为：9=x x a x a x )(lim -+∞→=x x x a x a ? ????? ? ? -+∞→11lim =a a e e -=a e 2 所以92=a e ，3ln =a 5、证明：令x x f x F -=)()( ，)(x F 在[]b a ,上连续 ，且 0)()(>-=a a f a F ，0)()(<-=b b f b F 。由闭区间上连续函数的零点定理 ，在开 区间),(b a 至少存在一点),(b a ∈ξ ，使0)(=ξF ，即ξξ=)(f 。