函数极限习题与解析

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函数与极限习题与解析 (同济大学第六版高等数学)

一、填空题 1、设x x x f lg lg 2)(+-=

,其定义域为 。

2、设)1ln()(+=x x f ,其定义域为 。

3、设)3arcsin()(-=x x f ,其定义域为 。

4、设)(x f 的定义域是[0,1],则)(sin x f 的定义域为 。

5、设)(x f y =的定义域是[0,2] ,则)(2

x f y =的定义域为 。

6、43

2lim

23=-+-→x k

x x x ,则k= 。 7、函数x

x

y sin =

有间断点 ,其中 为其可去间断点。 8、若当0≠x 时 ,x

x

x f 2sin )(= ,且0)(=x x f 在处连续 ,则=)0(f 。

9、=++++++∞→)21(lim 222n

n n

n n n n n 。

10、函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 连续的 条件。

11、=++++∞→3

52352)

23)(1(lim

x x x x x x 。 12、3)2

1(lim -∞

→=+e n

kn n ,则k= 。

13、函数2

31

22+--=x x x y 的间断点是 。

14、当+∞→x 时,

x

1

是比3-+x 15、当0→x 时,无穷小x --11与x 相比较是 无穷小。 16、函数x

e y 1=在x=0处是第 类间断点。

17、设1

1

3

--=

x x y ,则x=1为y 的 间断点。

18、已知33=⎪⎭

⎝⎛πf ,

则当a 为 时,函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。 19、设⎪⎩

⎪⎨⎧>+<=0)1(02sin )(1x ax x x

x

x f x 若)(lim 0

x f x →存在 ,则a= 。 20、曲线2sin 2

-+=x x

x y 水平渐近线方程是 。 21、1

14)(2

2-+

-=

x x x f 的连续区间为 。

22、设⎩

⎨⎧>≤+=0,cos 0

,)(x x x a x x f 在0=x 连续 ,则常数

a= 。

二、计算题

1、求下列函数定义域 (1)2

11

x

y -= ; (2)x y sin = ;

(3)x

e y 1= ;

2、函数)(x f 和)(x g 是否相同?为什么? (1)x x g x x f ln 2)(,ln )(2

== ;

(2)2)(,)(x x g x x f == ;

(3)x x x g x f 22tan sec )(,1)(-== ;

3、判定函数的奇偶性

(1))1(22x x y -= ; (2)3

23x x y -= ;

(3))1)(1(+-=x x x y ;

4、求由所给函数构成的复合函数 (1)22

,sin ,x v v u u y === ;

(2)21,x u u

y +== ;

(3)x v e u u

y v

sin ,,2=== ;

5、计算下列极限 (1))2141211(lim n n ++++

→ ; (2)2

)

1(321lim

n n n -++++∞→ ;

(3)35

lim 22-+→x x x ; (4)1

12lim 221-+-→x x x x ;

(5))1

2)(11(lim 2x x x -+∞→ ; (6)2232)

2(2lim -+→x x x x ;

(7)x x x 1

sin lim 2

0→ ; (8)x

x x x +---→131lim 21 ;

(9))1(lim 2

x x x x -++∞

→ ;

6、计算下列极限 (1)x wx x sin lim 0→ ; (2)x

x

x 5sin 2sin lim 0→ ;

(3)x x x cot lim 0

→ ; (4)x

x x

x )1(

lim +∞

→ ;

(5)1

)1

1(lim -∞→-+x x x x ; (6)x x x 1

0)1(lim -→ ;

7、比较无穷小的阶

(1)3

2

2

20x x x x x --→与,时 ;

(2))1(2

1112x x x --→与,时 ;

8、利用等价无穷小性质求极限

(1)3

0sin sin tan lim x x

x x -→ ; (2)),()(sin )sin(lim

0是正整数m n x x m n x → ;

9、讨论函数的连续性

在⎩⎨⎧=>-≤-=11

,31

,1)(x x x x x x f

10、利用函数的连续性求极限

(1))2cos 2ln(lim 6

x x π→

; (2))(lim 22

x x x x x --

++∞

→ ;

(3)x x x sin ln

lim 0

→ ; (4)x x x

2)1

1(lim +∞→ ;

(5))1

1

(lim ,)1(lim )(1

--=+

→∞

→t f n

x x f t n

n 求设 ;

(6))1

1

ln(

lim +-∞

→x x x x ;

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