函数极限习题与解析
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函数与极限习题与解析 (同济大学第六版高等数学)
一、填空题 1、设x x x f lg lg 2)(+-=
,其定义域为 。
2、设)1ln()(+=x x f ,其定义域为 。
3、设)3arcsin()(-=x x f ,其定义域为 。
4、设)(x f 的定义域是[0,1],则)(sin x f 的定义域为 。
5、设)(x f y =的定义域是[0,2] ,则)(2
x f y =的定义域为 。
6、43
2lim
23=-+-→x k
x x x ,则k= 。 7、函数x
x
y sin =
有间断点 ,其中 为其可去间断点。 8、若当0≠x 时 ,x
x
x f 2sin )(= ,且0)(=x x f 在处连续 ,则=)0(f 。
9、=++++++∞→)21(lim 222n
n n
n n n n n 。
10、函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 连续的 条件。
11、=++++∞→3
52352)
23)(1(lim
x x x x x x 。 12、3)2
1(lim -∞
→=+e n
kn n ,则k= 。
13、函数2
31
22+--=x x x y 的间断点是 。
14、当+∞→x 时,
x
1
是比3-+x 15、当0→x 时,无穷小x --11与x 相比较是 无穷小。 16、函数x
e y 1=在x=0处是第 类间断点。
17、设1
1
3
--=
x x y ,则x=1为y 的 间断点。
18、已知33=⎪⎭
⎫
⎝⎛πf ,
则当a 为 时,函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。 19、设⎪⎩
⎪⎨⎧>+<=0)1(02sin )(1x ax x x
x
x f x 若)(lim 0
x f x →存在 ,则a= 。 20、曲线2sin 2
-+=x x
x y 水平渐近线方程是 。 21、1
14)(2
2-+
-=
x x x f 的连续区间为 。
22、设⎩
⎨⎧>≤+=0,cos 0
,)(x x x a x x f 在0=x 连续 ,则常数
a= 。
二、计算题
1、求下列函数定义域 (1)2
11
x
y -= ; (2)x y sin = ;
(3)x
e y 1= ;
2、函数)(x f 和)(x g 是否相同?为什么? (1)x x g x x f ln 2)(,ln )(2
== ;
(2)2)(,)(x x g x x f == ;
(3)x x x g x f 22tan sec )(,1)(-== ;
3、判定函数的奇偶性
(1))1(22x x y -= ; (2)3
23x x y -= ;
(3))1)(1(+-=x x x y ;
4、求由所给函数构成的复合函数 (1)22
,sin ,x v v u u y === ;
(2)21,x u u
y +== ;
(3)x v e u u
y v
sin ,,2=== ;
5、计算下列极限 (1))2141211(lim n n ++++
∞
→ ; (2)2
)
1(321lim
n n n -++++∞→ ;
(3)35
lim 22-+→x x x ; (4)1
12lim 221-+-→x x x x ;
(5))1
2)(11(lim 2x x x -+∞→ ; (6)2232)
2(2lim -+→x x x x ;
(7)x x x 1
sin lim 2
0→ ; (8)x
x x x +---→131lim 21 ;
(9))1(lim 2
x x x x -++∞
→ ;
6、计算下列极限 (1)x wx x sin lim 0→ ; (2)x
x
x 5sin 2sin lim 0→ ;
(3)x x x cot lim 0
→ ; (4)x
x x
x )1(
lim +∞
→ ;
(5)1
)1
1(lim -∞→-+x x x x ; (6)x x x 1
0)1(lim -→ ;
7、比较无穷小的阶
(1)3
2
2
20x x x x x --→与,时 ;
(2))1(2
1112x x x --→与,时 ;
8、利用等价无穷小性质求极限
(1)3
0sin sin tan lim x x
x x -→ ; (2)),()(sin )sin(lim
0是正整数m n x x m n x → ;
9、讨论函数的连续性
。
在⎩⎨⎧=>-≤-=11
,31
,1)(x x x x x x f
10、利用函数的连续性求极限
(1))2cos 2ln(lim 6
x x π→
; (2))(lim 22
x x x x x --
++∞
→ ;
(3)x x x sin ln
lim 0
→ ; (4)x x x
2)1
1(lim +∞→ ;
(5))1
1
(lim ,)1(lim )(1
--=+
→∞
→t f n
x x f t n
n 求设 ;
(6))1
1
ln(
lim +-∞
→x x x x ;