初三数学二次函数与圆知识点总结

初三数学知识点总结

1. 一元二次方程的一般形式: a ≠0时，ax 2

+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a 、 b 、 c ； 其中a 、 b,、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.

2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.

3. 一元二次方程根的判别式: 当ax 2

+bx+c=0 (a ≠0)时，Δ=b 2

-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：

Δ＞0 <=> 有两个不等的实根； Δ=0 <=> 有两个相等的实根； Δ＜0 <=> 无实根； Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）. 4. 一元二次方程的根系关系： 当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式：

.a

c

x x a

b

x x )2(a 2ac 4b b x )

1(212122,1=

-=+-±-=，

； ※ 5．当ax 2

+bx+c=0 (a ≠0) 时，有以下等价命题： (以下等价关系要求会用公式 a

c x x a b x x 2121=-=+，；Δ=b 2

-4ac 分析，不要求背记) （1）两根互为相反数 a

b

-= 0且Δ≥0 b = 0且Δ≥0； （2）两根互为倒数 a

c

=1且Δ≥0 a = c 且Δ≥0； （3）只有一个零根

a

c = 0且a b

-≠0 c = 0且b ≠0；

（4）有两个零根

a

c = 0且a b

-= 0 c = 0且b=0；

（5）至少有一个零根 a

c

=0 c=0； （6）两根异号

a

c

＜0 a 、c 异号；

（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值 a

c ＜0且a b

-＞0 a 、c 异号且a 、b 异号；

（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值 a

c ＜0且a b

-＜0 a 、c 异号且a 、b 同号；

（9）有两个正根

a

c ＞0，a b

-＞0且Δ≥0 a 、c 同号， a 、b 异号且Δ≥0；

（10）有两个负根

a

c ＞0，a b

-＜0且Δ≥0 a 、c 同号， a 、b 同号且Δ≥0.

6．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当Δ＜ 0时，二次三项式在实数范围内不能分解.

ax 2

+bx+c=a(x-x 1)(x-x 2) 或 ax 2

+bx+c=???

? ??

----???? ?

?-+--

a 2ac 4

b b x a 2a

c 4b b x a 22.

7．求一元二次方程的公式：

x 2

-（x 1+x 2）x + x 1x 2 = 0. 注意：所求出方程的系数应化为整数.

8．平均增长率问题--------应用题的类型题之一 （设增长率为x ）： (1) 第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2

.

（2）常利用以下相等关系列方程： 第三年=第三年 或 第一年+第二年+第三年=总和. 9．分式方程的解法： .

0)1(≠），值（或原方程的每个分母验增根代入最简公分母公分母

两边同乘最简

去分母法.0.

2≠分母，值验增根代入原方程每个换元凑元，设元，

换元法

）（

10. 二元二次方程组的解法：

.0)3(0

)2(0)4(0)1(0)4(0)2(0)3(0)1(0)4)(3(0

)2)(1()3(;

02;1?

?

?==???==???==???==?

?

?===------分组为应注意：的方程）（）

（中含有能分解为方程组）分解降次法（程中含有一个二元一次方方程组法）代入消元（

※11．几个常见转化：

；

；

或；；；?????<-+-=--≥-+=-=-+-=+-+=+

-+=--+=+)x x (x x 4)x x ()x x ()x x (x x 4)x x ()x x (x x 2)x 1

x (x

1

x 2)x 1x (x

1

x x x 4)x x ()x x (x x 2)x x (x x )1(212

12

21221212

122122121222

2

2

2

21221221212212221

?????=--=-=-?=-4x x .22

x x 2x x .12x x )

2(2

21212121）两边平方为（和分类为 ； ??

?

??

-==?==.

,)2(34x x 34x x )1()916x x (3

4

x x )3(212122

2

121因为增加次数两边平方一般不用和分类为或

；

.

0x ,0x :.

1x x B sin A cos ,1A cos A sin ,90B A B sin x ,

A sin x )4(21222

12221>>=+==+?=∠+∠==注意隐含条件可推出由公式时且如.

0x ,0x :.x ,x ),,(,x ,x )5(212121>>注意隐含条件的关系式推导出含有公式等式面积例如几何定理，相似形系可利用图形中的相等关时若为几何图形中线段长

.k ,)6(”辅助未知元“引入些线段的比，并且可把它们转化为某

比例式、等积式等条件角三角形、三角函数、如题目中给出特殊的直

.

,;,)7(知数的关系但总可求出任何两个未般求不出未知数的值少一个时，一方程个数比未知数个数一般可求出未知数的值数时方程个数等于未知数个

A

B

O

（1） （2）

∴O 1 、A 、O 2三点一

线

12．正多边形的有关计算:

（1）中心角

n

，半径R N ， 边心距r n ，

边长a n ，内角n

， 边数n ；

（2）有关计算在Rt ΔAOC 中进行.

公式举例：

(1)

n

=

n 360?

； (2) n

1802n ?=α

几何B 级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）

一 基本概念：圆的几何定义和集合定义、 弦、 弦心距、 弧、 等弧、 弓形、弓形高 三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、 三角形的内心、 圆心角、圆周角、 弦 切角、 圆的切线、 圆的割线、 两圆的内公切线、 两圆的外公切线、 两圆的内（外） 公切线长、 正多边形、 正多边形的中心、 正多边形的半径、 正多边形的边心距、 正 多边形的中心角. 二 定理：

1．不在一直线上的三个点确定一个圆.

2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.

3．正n 边形的半径和边心距把正n 边形分为2n 个全等的直角三角形. 三 公式：

1.有关的计算：（1）圆的周长C=2πR ；（2）弧长L=

180

R n π；（3）圆的面积S=πR 2

. （4）扇形面积S 扇形 =LR 2

1

360R n 2=π；

（5）弓形面积S 弓形 =扇形面积S AOB ±ΔAOB 的面积.（如图） 2.圆柱与圆锥的侧面展开图：

（1）圆柱的侧面积：S 圆柱侧 =2πrh ； (r:底面半径；h:圆柱高)

（2）圆锥的侧面积：S 圆锥侧 =LR 21

. （L=2πr ，R 是圆锥母线长；r 是底面半径）

四 常识：

1． 圆是轴对称和中心对称图形. 2． 圆心角的度数等于它所对弧的度数.

3． 三角形的外心 两边中垂线的交点 三角形的外接圆的圆心；

αn

βn

A

B

C

D

E

O

a r n n

n

R

三角形的内心 两内角平分线的交点 三角形的内切圆的圆心.

4． 直线与圆的位置关系：（其中d 表示圆心到直线的距离；其中r 表示圆的半径）

直线与圆相交 d ＜r ； 直线与圆相切

d=r ； 直线与圆相离 d ＞r.

5． 圆与圆的位置关系：（其中d 表示圆心到圆心的距离，其中R 、r 表示两个圆的半径且R ≥r ）

两圆外离 d ＞R+r ； 两圆外切 d=R+r ； 两圆相交 R-r ＜d ＜R+r ； 两圆内切 d=R-r ； 两圆内含 d ＜R-r.

6．证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径” 的方法加辅助线.

7．关于圆的常见辅助线：

O

C

A

B

已知弦构造弦心距.

O

A

B

C

已知弦构造Rt Δ.

O

A

B

C

已知直径构造直角.

O

A

B

已知切线连半径，出

垂直.

O B

C A

D P

圆外角转化为圆周角.

O

A

C

D B

P

圆内角转化为圆周角. O

D

C P

A

B

构造垂径定理.

O

A

C

D

P

B

构造相似形.