常见分类讨论类型

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一、分类讨论思想在立体几何中的应用

1 ．有四根长都为2的直铁条,若再选两根长都为a 的直铁条,使这六根铁条端点处相连能够

焊接成一个三棱锥形的铁架,则a 的取值范围是 （ ）

A ．

B ．(1,)

C ．

D ．(0,)

【答案】【答案】

A

【命题立意】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力.

【解析】根据条件,四根长为

2的直铁条与两根长为a 的直铁条要组成三棱镜形的铁架,有以下两种情况

:(1)地面是边长为2的正三角形,三条侧棱长为2,a,a,如图,

此时a 可以取最大值,可

知

AD=

,SD=

,则有

<2+

,即

,

即有

(2)

构成三棱锥的两条对角线长为a,其他各边长为2,如图所示

,此时a>0; 综上分析可知a

∈【编号】45690 【难度】较难

2 ．共点的三条直线可以确定几个平面_______________

【答案】1个或3个

【编号】41766 【难度】简单

二、分类讨论思想在集合中的应用

3 ．已知集合

22{|40},{|0}A x x x B x x ax a =+==++=，若B A ?，求实数a 的取值

范围。

【答案】解：{0,4}A =-

①B =Φ时，2

40a a ?=-<，即04a << 4分 ②B ≠Φ时，即{0}B =或{4}B =-或{4,0}B =- 当{0}B =时，0a =满足题意；

当{4}B =-，{4,0}B =-时，不满足题意 10分 综上所述：a 的取值范围是04a ≤< 12分

【编号】36832 【难度】较难

228a <+=

4 ．已知集合2

{|230,}A x mx

x m R =-+=∈，若A 中元素至多只有一个，求m 的取值范

围。

【答案】解:①当0m =时，3

2

x =，满足题意。 4分 ②当m ≠0时，方程2230mx x -+=至多只有一个解，

则0?≤，即4120m -≤，1

3

m ∴≥ 10分

综上所述，m 的取值范围是0m =或1

3

m ≥ 12分

【编号】36828 【难度】一般 5 ．已知集合2

{|(2)10,}A x x

a x x R =+++=∈，若{|0}A x R x ∈>=? ，求实数a

的取值范围。

【答案】解：当A ≠?时，由{|0}A x R x ∈>=? 知A 的元素为非正数，

即方程2

(2)10x a x +++=没有正数根。则由2(2)40

(2)0a a ??=+-≥?-+

，解得0a ≥

当A =?时仍满足{|0}A x R x ∈>=? ，此时2(2)40a ?=+-<，解得

40a -<<

综上，的(4,)a ∈-+∞

【编号】32168 【难度】较难

三、分类讨论思想在函数中的应用

6 ．求函数2

||1y x

x a =+-+的值域。

【答案】解：2

2

1()1x x a y f x x x a ?+-+?==?-++??2213()()24

13()()24

x a x a x a x a ?++-≥??=??-++

2a ≤-

时，如图1知13

()24

y f a ≥-=-

（2）当11

22

a -

<<时，如图知2

()1y f a a ≥=+

（3）当1

2a >时，如图3 知，13

()24

y f a ≥=+

综上所述：当1

2

a ≤-

时，值域为3

[,)4

a -+∞

（2）当11

22a -<<时，值域为2[1,)a ++∞

当12a >时，值域为3

[,)4

a ++∞

【编号】11218 【难度】较难 7 ．已知二次函数

.92)1(42)(22++---=a a x a x x f

(1)若在[-1,1]上至少存在一个实数m,使得,0)(>m f 求实数a 的取值范围; (2)若对任意]1,1[-∈m ,都有0)(>m f ,求实数a 的取值范围

【答案】解:

函数)(x f 的图象是口向上的抛物线,其对称轴为x=a-1. 问题(1等价于“对于0)(],1,1[max >-∈x f x 有即可)讨论如下: ①当0152)1()(,1012max >+--==≤≤-a a f x f a a 时即 解得1535≤<-∴<<-a a

②当076)1()(,1012max >++-=-=>>-a a f x f a a 时即 解设7171<<∴<<-a a

综上所述)7,5(,75-<<-的范围是即实数a a

问题(2)等于“对于0)(],1,1[min >-∈x f x 有”讨论如下: ①当076)1()(,0112

min >++-=-=<-<-a a f x f a a 时即 得01071<<-∴<∴<<-a a a

②当时即201

11≤≤≤-≤-a a

恒成立时而当0763,20,763)1()(22min >++-≤≤++-=-=a a a a a a f x f

20≤≤∴a

③当0152)1()(,2112min >+--==>>-a a f x f a a 时即 得32235<<∴><<-a a a 又 综上所述,a 的范围是(-1,3)

【编号】43953 【难度】较难 8 ．已知a 是实数,函数

()2223f x ax x a =+--.如果函数()y f x =在区间[]1, 1-上有

零点,求a 的取值范围.

【答案】参考答案:略解:若0a =, ()23f x x =- ,显然在

[]1, 1-上没有零点, 所以

0a ≠.

令 ()2

48382440a a a a ?=++=++=, 解得

a =

① 当

a =

, ()y f x =在[]1, 1-上恰有一个零点; ② 当()()()()11150f f a a -?=--≤,即15a ≤≤时,()y f x =在[]1, 1-上也恰有一个零点.

③当()y f x =在[]1, 1-上有两个零点时, 则

()()20, 82440,111, 210, 10, a a a a f f >???=++>??-<-

a a a a f f ??-<-

?

??-?≤≤ 解得5a ≥

或a <

. 综上所求实数a 的取值范围是1a ≥

或a ≤

. 考查内容:函数的零点与方程根的关系,一元二次方程根的存在性及根的个数 认知层次:b 难易程度:难

【编号】42688 【难度】较难

四、分类讨论思想在不等式中的应用

9 ．解关于x 的不等式：

1

1,(||1)ax a x a

+>≠+． 【答案】解：原不等式可化为:

10ax x a x a +-->+, (1)(1)

0,a x a x a

--->+即即

(1)(1)()0a x x a --+>

(1) 若1,a >则(1)()0x x a -+>,可得原不等式的解集为{|1}x x x a ><-或; (2) 若1,a <则(1)()0x x a -+<.

①当11a -<<时,1,a -<得原不等式的解集为{|1}x a x -<<； ②当1a <-时,1a ->,得原不等式的解集为{|1}x x a <<-. 综上, ①当1a <-时, 原不等式的解集为{|1}x x a <<-; ②当11a -<<时,得原不等式的解集为{|1}x a x -<<； ③当1a >时,原不等式的解集为{|1}x x x a ><-或

【编号】33684 【难度】较难

10．已知集合A ＝{x||x ―a|＜ax ，a ＞0}，若函数()sin cos f x x x ππ=- （x A ∈）是单

调函数，求a 的取值范围。

【答案】解：|x ―a|＜ax ?01(1)*x a x a ax x a x a ax a x a >?

??

->-?>?+?

-

）

对于（*）当1a ≥时1a x a >

-；当01a <<时1a

x a

-< ∴当1a ≥时原不等式解集为1a a +∞+（，）；当01a <<时解集为11a a a a

+-（，）。

()sin cos )4

f x x x x π

πππ=-=-，当1a ≥时显然不单调。

()f x 的单调区间为

132,2)44k k -+（和372,2)44

k k ++（ ()k Z ∈ 而1012a a <

<+，故11a a a a +-（，）13,)44

?-（即： 01114

3

14

a a a a a <

?+??≤-? ∴3(0,]7a ∈

【编号】30901 【难度】较难 11．解关于x 的不等式：

).(02

R a a

x a

x ∈<-- 【答案】解：○1当a=0或1时,解集为；○2当a<0或a>1时解集为;

○

3当0

【编号】30775 【难度】较难

五、分类讨论思想在排列组合中的应用

12．有6个球，其中3个黑球，红、白、蓝球各1个，现取4个排成一排．问有多少种不同

排法？

【答案】解：把问题分为三类：第一类：取3个黑球，在三个彩球中取一个的取法有1

3

C 种，在三个黑球所产的四个空中，选一个空给彩球有1

4A 种，因此取三个黑球的方法为

14

13A C ?＝12种．第二类：取2个黑球，在三个彩球中选两个有2

3C 种，然后在四个位置中给彩球两个位置有14A ，剩下两个位置给两个黑球，只有一种排法．故有2

423A C ?＝36种．第三类：取一个黑球，把3个彩球全部取出有33C 种取法，四球的全排列为4

4P ，共有4433A C ?＝24种．所以满足条件的排法有1413A C ?＋2423A C ?＋4433A C ?＝72种．

【编号】3768 【难度】很难

六、分类讨论思想在数列中的应用

13．已知二次函数2

()()R f x x ax a x =-+∈同时满足:①不等式()0f x ≤的解集有且只有一

个元素;②在定义域内存在120x x <<,使得不等式12()()f x f x >成立.设数列}{n a 的前

n 项和()n S f n =.

(1)求函数()f x 的表达式; (2)求数列{}n a 的通项公式;

(3)设各项均不为零的数列{}n c 中,所有满足10i i c c +?<的整数i 的个数称为这个数列}{n c 的变号数.令1n n

a

c a =-(n 为正整数),求数列{}n c 的变号数.

【答案】(1)0)(≤x f 的解集有且只有一个元素,24004,a a a a ∴?=-=?==或

当a =4时,函数2()44(0,2)f x x x =-+在上递减 故存在210x x <<,使得不等式12()()f x f x >成立.

当a =0时,函数2()(0,)f x x =+∞在上递增

故不存在120x x <<,使得不等式12()()f x f x >成立. 综上,得a =4,2()44f x x x =-+. (2)由(1)可知244n S n n =-+, 当n =1时,111a s ==,

当2n ≥时,1--=n n n s s a 22(44)[(1)4(1)4]n n n n =-+----+25n =-,

11,

1252n n n n a s s n n -=?∴=-=?

-≥?

(3)由题设3,14

1,225

n n c n n -=??

=?-≥?-?, 3n ≥ 时,144

,2523

n n c c n n +-=

-

--80,(25)(23)n n =>-- 3n ∴≥时数{}n c 列递增,410,3c =-< 4

10525

n n -

>?≥-,可知450c c ?<. 即3n ≥时,有且只有1个变号数;又12312233,5,3,0,0c c c c c c c =-==-?

【编号】48693 【难度】很难

14．等比数列{}n a 中,123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且123,,a a a 中的

任何两个数不在下表的同一列. (1)求数列{}n a 的通项公式;

(2)若数列{}n b 满足:(1)ln n n n n b a a =+-,求数列{}n b 的前n 项和n S .

【答案】 解:

(1)当13a =或110a =时,均不合题意 当12a =时,当且仅当23

6,18a a ==时,

因此12a =,236,18a a ==,所以公比3q =,故123.n n a -=? (2)11(1)ln 23(1)ln(23)n n n n n n n b a a --=+-=?+-?

123(1)[ln 2(1)ln3]n n n -=?+-+-123(1)(ln 2ln3)(1)ln3n n n n -=?+--+-

所以12(133)[11(1)](ln2ln3)[123(1)]ln3n n n n S n -=++++-+++--+-+-++-

所以,当n 为偶数时,132ln33ln311322n n n n n

S -=?

+=+-- 所以,当n 为奇数时,131

2(ln 2ln 3)()ln 3132n n n S n --=?--+-- 1

3ln 3ln 212

n n -=-

--

【编号】48001 【难度】一般

七、分类讨论思想在圆锥曲线中的应用

15．已知动直线l 与椭圆C :22

132

x y +=交于1122(,),(,)P x y Q x y 两不同点,且OPQ ?的面

积OPQ S ?=其中O 为坐标原点.

(1)证明:2212x x +和2212y y +均为定值;

(2)设线段PQ 的中点为M ,求||||OM PQ ?的最大值;

(3)椭圆C 上是否存在三点,,D E G ,使得ODE ODG OEG S S S ???===

若存在,判断DEG ?的形状;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)证明:①当直线l 的斜率不存在时,,P Q 两点关于x 轴对称

所以1212,x x y y ==-,因为11(,)P x y 在椭圆上,

因此2211132x y +=,又因为2OPQ S ?=,所以11||||2

x y =

解得:11||||1x y =

=,此时22123x x +=,22122y y += ②当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y kx m =+

由题意知0m ≠,将其代入22

132

x y +=得:222(23)63(2)0k x kmx m +++-=

其中 22223612(23)(2)0k m k m ?=-+->,即2232k m +>

(★)

又2121222

63(2)

,2323km m x x x x k k -+=-=++

所以2

||23PQ k ==+

因为点O 到直线l 的距离为

d =

所以1||||2OPQ

S PQ d PQ ?=?==,又OPQ

S ?=

=整理得:22

322k m +=,且符合(★)式 此时22

2

2

21

2121222

63(2)

()2()232323km m x x x x x x k k

-+=+-=--?=++ 222222*********

(3)(3)4()2333

y y x x x x +=

-+-=-+= 综上所述,22123x x +=,22122y y +=,结论成立.

(2)解:因为222222*********||||()()()()OM PQ x x y y x x y y +=++++-+-

222212122[()()]10x x y y =+++=

所以224||||102||||522

OM PQ OM PQ +?≤

==,即5

||||2OM PQ ?≤

当且仅当2||||OM PQ == 因此||||OM PQ ?的最大值为5

.2

(3)解:椭圆C 上是不存在三点,,D E G ,使得2

ODE ODG OEG S S S ???===

证明:假设存在1122(,),(,),(,)D u v E x y G x y 满足ODE ODG OEG S S S ???===

由(1)得22222212123,3,3u x u x x x +=+=+=;22222212122,2,2v y v y y y +=+=+=

解得:222

1232

u x x ===

;2

22121v y y ===

因此12,,u x x 只能从,12,,v y y 只能从1±中选取

因此,,D E G 只能在(1)2

±

±这四点中选取三个不同点

而这三点的两两连线中必有一条过原点,与ODE ODG OEG S S S ???=== 所以椭圆C 上不存在满足条件的三点,,.D E G

【编号】48003 【难度】一般 16．已知点(0,2)A ,过点A 作直线与抛物线2

2y

x =-有且仅有一个公共点,求出直线方程.

【答案】解⑴当过点A 的直线没有斜率时,方程为0x =与抛物线2

2y x =-切于点(0,0)

?

⑵当过点A 的直线有斜率时设斜率为k ,方程为2y kx =+,代入

22y x =-得:22(21)40kx k x +++=?

①当0k =时,直线为2y =,与抛物线2

2y x =-只交于一点(-2,2)

②当0k ≠时,△=0?1

4

k =-

,? 直线:480x y +-= 综上所述:所求直线方程为0x =和2y =及480x y +-=?

【编号】42907 【难度】一般

八、分类讨论思想在实际问题中的应用

17. 有一批货物，如在本月初出售，可获利10万元，然后将本利都存入银行，每月利率为%4.2，如在下月出售，可获利12万元，但要付5.0万元货物保管费，试问这批货物在本月初出售合算还是下月初出售合算?

解 设这批货物的成本a 万元．

⑴ 若这批货物在本月初出售，将本利存入银行，到下月初货主有金额

()()%4.2110++=a m ；

⑵ 若这批货物在下月初出售，货主有金额为

5.012-+=a n ；

⑶ ()5.52024.026.1024.0-=-=-a a n m ，

∴当成本5.52>a 时，应该本月初出售合算；

当成本5.52=a 时，在本月初出售或下月初出售都一样； 当成本5.52