2014年北京市高考理科数学试卷及答案解析(word版)

2014年北京高考数学（理科）试题

一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）

1.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则A

B =( )

.{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D

2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）

.A y 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.log (1)D y x =+ 3.曲线1cos 2sin x y θθ

=-+??=+?（θ为参数）的对称中心（ ）

.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上

4.当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）

.7A .42B .210C .840D

5.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ）

.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件

6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥??

-+≥??≥?

且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（ ）

.2A .2B - 1.2C 1

.2

D -

7.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，(D ，若

1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的 面积，则（ ）

（A ）123S S S == （B ）12S S =且 31S S ≠ （C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠

8.有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不 低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学，

他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样 的.问满足条件的最多有多少学生（ ）

（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

9.复数2

11i i +??

= ?-??

________.

10.已知向量a 、b 满足1a =，()2,1b =，且()0a b R λλ+=∈，则

λ=________.

11.设双曲线C 经过点()2,2，且与2

214

y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________； 渐近线方程为________.

12.若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大.

13. 把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种. 14. 设函数)sin()(?ω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在区间]2

,6[π

π上具有单调性，且 ??

?

??-=??? ??=???

??6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________.

三．解答题（共6题，满分80分）

15. （本小题13分）如图，在ABC ?中，8,3

==

∠AB B π

，点D 在BC 边上，且

7

1cos ,2=

∠=ADC CD （1）求BAD ∠sin

（2）求AC BD ,的长

16. （本小题13分）.

李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：

（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过6.0的概率. （2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过6.0，一 场不超过6.0的概率.

（3）记x 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明 在这比赛中的命中次数，比较)(X E 与x 的大小（只需写出结论）

17.（本小题14分）

如图，正方形AMDE 的边长为2，C B ,分别为MD AM ,的中点，在五棱锥

ABCDE P -

中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PC PD ,分别交于点H G ,. （1）求证：FG AB //；

（2）若⊥PA 底面ABCDE ，且PE AF ⊥，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并 求线段PH 的长.

18.（本小题13分）

已知函数()cos sin ,[0,]2

f x x x x x π

=-∈，

（1）求证：()0f x ≤；

（2）若sin x

a b x

<

<在(0,)2π上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值.

19.（本小题14分） 已知椭圆2

2:24C x

y +=，

（1）求椭圆C 的离心率. （2）设O 为原点，若点

A 在椭圆C 上，点

B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求直线

AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论.

20.（本小题13分）

对于数对序列1122(,),(,),

,(,)n n P a b a b a b ，记111()T P a b =+，

112()max{(),}(2)k k k k T P b T P a a a k n -=++++≤≤，其中

112max{(),}k k T P a a a -++

+表示1()k T P -和12k a a a ++

+两个数中最大的数，

（1）对于数对序列(2,5),(4,1)P P ，求12(),()T P T P 的值.

（2）记m 为,,,a b c d 四个数中最小值，对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列

(,),(,)P a b c d 和'(,),(,)P a b c d ，试分别对m a =和m d =的两种情况比较2()T P 和

2(')T P 的大小.

（3）在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使5()T P 最小，并写出5()T P 的值.（只需写出结论）.

2014北京高考（理科）数学题解析

1．集合{}

{}2|2002A x x x =-==，．故{}02A

B =，，选

C ．

2． A ．y 在[)1-+∞，

上为增函数，符合题意． B ．2(1)y x =-在(01)，

上为减函数，不合题意． C ．2x y -=为()-∞+∞，上的减函数，不合题意． D ．0.5log (1)y x =+为(1)-+∞，上的减函数，不合题意． 故选A ．

3． 参数方程1cos 2sin x y θθ=-+??=+?

所表示的曲线为圆心在(12)-，，半径为1的圆．

其对称中心为圆心(12)-，．逐个代入选项可知，(12)-，在直线2y x =-上，即选项B ．

4． 当m 输入的7m =，3n =时，判断框内的判断条件为5k <．故能进入循环的k 依次为

7，6，5．顺次执行S S k =?，则有765210S =??=， 故选C ． 5．

D

对于等比数列{}n a ，若1q >，则当10a <时有{}n a 为递减数列． 故“1q >”不能推出“{}n a 为递增数列”．

若{}n a 为递增数列，则{}n a 有可能满足10a <且01q <<，推不出1q >．

若0k ≥，z y x =-没有最小值，不合题意． 若0k <，则不等式组所表示的平面区域如图所示． 由图可知，z y x =-在点20k ??

- ???

，处取最小值．

故204k ??

--=- ???

，解得12k =-，即选项D 正确．

7．

D （23S S =且13S S ≠）

D ABC -在xOy 平面上的投影为ABC △，故12S =，

设D 在yOz 和zOx 平面上的投影分别为2D 和3D ，则D ABC -在yOz 和zOx 平面上的投影分别为2OCD △和3OAD △．

∵(201D ，

，(310D ，．

故23S S = 综上，选项D 正确． 8．

B

用ABC 分别表示优秀、及格和不及格。

显然语文成绩得A 的学生最多只有1个，语文成绩得B 的也最多只有1个，得C 的也最多只有1个，因此学生最多只有3个。

显然，（AC ）（BB ）（CA ）满足条件，故学生最多3个 9．1-

复数

21i (1i)2i

i 1i (1i)(1i)2

++===--+ 故221i ()i 11i

+==--

10

由0a b λ+=，有b a λ=-，于是||||||b a λ=? 由(21)b =，，可得5b =，又||1a =

，故||λ11．22

1312

x y -=；2y x =±

双曲线2

214y x -=的渐近线为2y x =±，故C 的渐近线为2y x =±

设C ：2

24y x m -= 并将点(22)，代入C 的方程，解得3m =-

故C 的方程为22

34y x -=-，即221312

x y -=

12．8

由等差数列的性质，78983a a a a ++=，71089a a a a +=+，于是有80a >，890a a +<，故90a <．故87S S >，98S S <，8S 为{}n a 的前n 项和n S 中的最大值 13．36

先只考虑A 与产品B 相邻．此时用捆绑法，将A 和B 作为一个元素考虑，共有

44A 24=种方法．而 A 和B 有2种摆放顺序，故总计

242=48?种方法．再排除既满足A 与B 相邻，又满足A 与C 相邻的情况，此时用捆绑法，将A B C ，，作为一个元素考

虑，共有33A 6=种方法，而

A B C ，，有2种可能的摆放顺序，故总计62=12?种方法．综上，符合题意的摆放共有481236-= 种． 14．π

由()f x 在区间ππ62??,????上具有单调性，且ππ26f f ????

=- ? ?????知，()f x 有对称中心

π

03

??, ???

， 由π2π23f f ??

??

=

? ???

??

知()f x 有对称轴1π27ππ22312x ??=+= ???，记T 为最小正周期，

则1ππ2π2263T T -?≥≥，从而7πππ1234

T

T -=?=. 15

．⑴sin ADC ∠==

(

)sin sin sin cos sin cos 1127BAD ADC B ADC B B ADC

∠=∠-∠=∠?∠-∠?∠=-=

⑵ABD △中

sin sin sin AB AD BD ADB B BAD ==∠∠.

==

解得3BD =,7AD = 在ACD △中，

222222cos 1

722727

49

AC AD DC AD DC ADC

=+-??∠=+-???

= 所以7AC =

16．⑴ 李明在该场比赛中命中率超过0.6的概率有：

主场2 主场3 主场5 客场2 客场4 所以李明在该场比赛中投篮命中超过0.6的概率

51102

P ==

⑵ 李明主场命中率超过0.6概率135P =，命中率不超过0.6的概率为1

2

15P -= 客场中命中率超过0.6概率225P =，命中率不超过0.6的概率为23

15

P -=．

332213

555525P =?+?=

⑶ ()E X x =．

17. ⑴证明：AM ED ∥，AM ?面PED ，ED ?面PED .

∴AM ∥面PED .

AM ?面ABF ，即AB ?面ABF

面ABF

面PDE FG =

∴AB FG ∥.

⑵如图建立空间直角坐标系A xyz -，各点坐标如下

()0,0,0A ,()0,2,0E ,()1,0,0B ,()2,1,0C ,()0,1,1F ,()0,0,2P

设面ABF 的法向量为()000,,n x y z =，()1,0,0AB =， ()0,1,1AF =

n AB n AF ??=??

?=??，即00x y z =??+=?，令1y =，∴()0,1,1n =- 又

()1,1,0BC =，

∴1

sin ,2

BC n =

= 直线BC 与平面ABF 所成的角为

π6

. 设()111,,H x y z ，由PH tPC =，则()()111,,22,1,2x y z t -=-

D

∴111

222x t y t z t =??

=??=-?∴()2,,22H t t t - 又

H ∈面ABF ，()21,,22BH t t t =--

∴0n BH ?=

∴220t t +-=，∴23t =

，∴422,,333H ?? ???，∴424,,333PH ??=- ???

∴42PH ?==

18. ⑴证明：()()cos sin cos sin f x x x x x x x '=+--=-，

π02x ??∈,????时，()0f x '≤，从而()f x 在π02??

,????

上单调递减， 所以()f x 在π02??

,????

上的最大值为()00f =，

所以()()00f x f =≤. ⑵法一：

当0x >时，“

sin x a x >”等价于“sin 0x ax ->”；“s i n x

b x

<”等价于“sin 0x bx -<”，

令()sin g x x cx =-，则()cos g x x c '=-.

当0c ≤时，()0g x >对任意π02x ??

∈, ???恒成立.

当1c ≥时，因为对任意π02x ??∈, ???

，()cos 0g x x c '=-<，所以()g x 在区间π02??

,????上

单调递减.从而()()00g x g <=对任意π02x ??

∈, ???恒成立.

当01c <<时，存在唯一的0π02x ?

?∈, ??

?，使得()00cos 0g x x c '=-=，

且当()00x x ∈,时，()0g x '>，()g x 单调递增；当0π2x x ?

?∈, ??

?时，()0g x '<，()

g x 单调递减。所以()()000g x g >=。

进一步，“()0g x >对任意π02x ??∈, ???

恒成立”当且仅当ππ1022g c ??

=- ???≥，即

2

0π

c <≤.

综上所述，当且仅当2πc ≤时，()0g x >对任意π02x ??

∈, ???

恒成立；

当且仅当1c ≥时，()0g x <对任意π02x ??

∈, ???

恒成立.

所以，若sin x a b x <<对任意π02x ??

∈, ???

恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1.

法二：

令()sin π02x g x x x ??

=

,∈, ???， 则()2

cos sin x x x

g x x ?-'=，由⑴知，()0g x '≤， 故()g x 在π02??, ???上单调递减，从而()g x 的最小值为π2

2πg ??= ???，

故2π

a ≤，a 的最大值为2

π.

b 的最小值为1，下面进行证明：

()sin h x x bx =-，π02x ??

∈,????

，则()cos h x x b '=-，

当1b =时，()0h x '≤，()h x 在π02??

,????

上单调递减，从而()()max 00h x h ==，

所以sin 0x x -≤，当且仅当0x =时取等号.

从而当π02x ??

∈, ???

时，sin 1x x <.故b 的最小值小于等于1。

若1b <，则()cos 0h x x b '=-=在π02??

, ???

上有唯一解0x ，且()00x x ∈,时，()0h x '>，

故()h x 在()00x ,上单调递增，此时()()00h x h >=,

sin sin 0x

x bx b x

->?

>与恒成立矛盾，故1b ≥， 综上知：b 的最小值为1. 19．⑴椭圆的标准方程为：22

142

x y +=，

2a =

，b

则c =

c e a =

=; ⑵直线AB 与圆222x y +=相切.证明如下： 法一：

设点A B ,的坐标分别为()()002x y t ,,,，其中00x ≠. 因为OA OB ⊥，所以0OA OB ?=，即0020tx y +=，解得0

2y t x =-

. 当0x t =时，2

02

t y =-，代入椭圆C

的方程，得t =故直线AB

的方程为x =圆心O 到直线AB

的距离d =此时直线AB 与圆222x y +=相切. 当0x t ≠时，直线AB 的方程为()002

2y y x t x t

--=--， 即()()0000220y x x t y x ty ---+-=. 圆心O 到直线AB 的距离

d =

又220024x y +=，0

2y t x =-

，故

d =

=

=此时直线AB 与圆222x y +=相切. 法二：

由题意知，直线OA 的斜率存在，设为k ，则直线OA 的方程为y kx =，OA OB ⊥， ①当0k =时，()20A ±,，易知()02B ,，此时直线AB 的方程为2x y +=或2x y -+=，

原点到直线AB

AB 与圆222x y +=相切； ②当0k ≠时，直线OB 的方程为1

y x k

=-，

联立2224y kx x y =??+=?得点A

的坐标??

或??

?； 联立12

y x k y ?

=-???=?得点B 的坐标()22k -,，

由点A 的坐标的对称性知，无妨取点

A ??进行计算， 于是直线AB

的方程为：

))2222y x k x k k

-+=

++，

即(

(21220k x y k -+++=，

原点到直线AB 的距离

d =

=此时直线AB 与圆222x y +=相切。 综上知，直线AB 一定与圆222x y +=相切. 法三：

①当0k =时，()20A ±,，易知()02B ,，此时2

2OA OB =

,=，

AB

，原点到直线AB

的距离OA OB d AB

?=

=

=，、

此时直线AB 与圆222x y +=相切； ②当0k ≠时，直线OB 的方程为1

y x k

=-，

设()()1122A x y B x y ,,,

，则1OA ，

2OB y == 联立2224y kx x y =??+=?得点

A

的坐标??

或??

?；

于是A OA

，OB =

21k AB +=

所以

OA OB d AB

?=

=

=直线AB 与圆222x y +=相切；

综上知，直线AB 一定与圆222x y +=相切

20.⑴()1257T P =+=,()(){}{}211max 241max 768T P T P =+,+=+,=; ⑵当m a =时：

()1T P a b =+，(){}{}2max max T P d a b a c a d b c =++,+=++,；

()1T P c d '=+，(){}{}2max max T P b c d c a b c a d b c d '=++,+=++,=++； 因为a 是a b c d ,,,中最小的数，所以{}max a b c b c +,+≤，从而()()22T P T P '≤； 当m d =时，

()1T P a b =+，(){}{}2max max T P d a b a c a d b c =++,+=++,；

()1T P c d '=+，(){}{}2max max T P b c d c a b c a d a b c '=++,+=++,=++； 因为d 是a b c d ,,,中最小的数，所以{}max d b c b c +,+≤，从而()()22T P T P '≤。 综上，这两种情况下都有()()22T P T P '≤。

⑶数列序列:P ()4,6，()11,11，()16,11，()11,8，()5,2的()5T P 的值最小；

()110T P =，()226T P =，()342T P =，()450T P =，()552T P =.