四边形证明习题

四边形证明习题

1.如图，在菱形ABCD 中，∠A =60°,AB =4,O 为对角线BD 的中点，过O 点作OE ⊥AB ，垂足为E ． (1) 求∠ABD 的度数； (2)求线段BE 的长．

2.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 、F 分别为边AB 、AD 的中点，连接EF 、OE 、OF .求证：四边形AEOF 是菱形.

3. 在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AC 上一点，连接EB 、ED ． （1）求证：△BEC ≌△DEC ；

（2）延长BE 交AD 于F ，当∠BED =120°时，求∠EFD 的度数．

4. 已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 和CD 上，AE = AF ． （1）求证：BE = DF ；

（2）连接AC 交EF 于点O ，延长OC 至点M ，使OM = OA ，连接EM 、FM ．判断四边形AEMF 是什么特殊四边形？并证明你的结论．

A

F D

B E

O

A D

B E F O C

5.如图，四边形ABCD 是边长为a 的正方形，点G ，E 分别是边AB ，BC 的中点，∠AEF =90o ，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ． （1）证明：∠BAE =∠FEC ； （2）证明：△AGE ≌△ECF ； （3）求△AEF 的面积．

6. 已知梯形ABCD 中，BC AD //，AD AB = (如图所示)．BAD ∠的平分线AE 交BC 于点E ，联结DE ． (1) 在图中，用尺规作BAD ∠的平分线AE (保留作

图痕迹，不写作法)，并证明四边形ABED 是菱形；

(2) 若?=∠60ABC ，BE EC 2=，求证：DC ED ⊥．

7. 如图，正方形ABCD 中，E F 、分别是AB BC 、边上的点，且.AE BF =求证.AF DE ⊥

8. 如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点A 与点C 重合，点D 落在点G 处，EF 为折痕． （1）求证：FGC EBC △≌△；

（2）若84AB AD ==，，求四边形ECGF （阴影部分）的面积．

A

B

C

D

D C F

B

E A

9. 如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E 、F 分别在AD 及其延长线上，CE ∥BF ，连接BE 、CF ． （1）求证：△BDF ≌△CDE ；

（2）若AB ＝AC ，求证：四边形BFCE 是菱形．

10.如图，在矩形ABCD （AB ＜AD ）中，将△ABE 沿AE 对折，使AB 边落在对角线AC 上，点B 的对应点为F ，同时将△CEG 沿EG 对折，使CE 边落在EF 所在直线上，点C 的对应点为H ．

（1）证明：AF ∥HG （图（1））； （2）证明：△AEF ∽△EGH （图（1））；

（3）如果点C 的对应点H 恰好落在边AD 上（图（2））．求此时∠BAC 的大小．

11. 如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 平分∠BAD ，CE ∥AD 交AB 于点E ．求证：四边形AECD 是菱形．

12. 如图，在□ABCD 中，EF ∥BD ，分别交BC 、CD 于点P 、Q ，分别交AB 、AD 的延长线于点E 、F ．已知BE=BP ．

求证：（1）∠E=∠F ．

（2）□ABCD 是菱形．

A

B C

D E

D

C

B

A

O

E

13. 如图，O 为矩形ABCD 对角线的交点，DE ∥AC ，CE ∥BD ． （1）试判断四边形OCED 的形状，并说明理由； （2）若AB =6，BC =8，求四边形OCED 的面积．

14.如图1，已知矩形ABED ，点C 是边DE 的中点，且AB =2AD .

（1）判断△ABC

的形状，并说明理由；

（2）保持图1中的△ABC 固定不变，绕点C 旋转DE 所在的直线MN 到图2中的位置（当垂线AD 、BE 在直线MN 的同侧）.试探究线段AD 、BE 、DE 长度之间有什么关系？并给予证明；

（3）保持图2中的△ABC 固定不变，继续绕点C 旋转DE 所在的直线MN 到图3中的位置（当垂线段AD 、BE 在直线MN 的异侧）.试探究线段AD 、BE 、DE 长度之间有什么关系？并给予证明.

15. 如图，ABC △是等腰直角三角形，90A ∠=o

，点P 、Q 分别是AB 、AC 上的动点，且满足BP AQ =，D 是BC 的中点．

（1）求证：PDQ △是等腰直角三角形；

（2）当点P 运动到什么位置时，四边形APDQ 是正方形，并说明理由．

A

Q

D

B

P

16. 在△ABC 中，∠BAC=45°，AD ⊥BC 于D ，将△ABD 沿AB 所在的直线折叠，使点D 落在点E 处；将△ACD 沿AC 所在的直线折叠，使点D 落在点F 处，分别延长EB 、FC 使其交于点M ．

(1)判断四边形AEMF 的形状，并给予证明．

(2)若BD=1，CD=2，试求四边形AEMF 的面积．

17. (1) 如图1,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别在边BC ,

CD 上,AE ,BF 交于点O ,∠AOF ＝90°. 求证：BE ＝CF .

(2) 如图2,在正方形ABCD 中,点E ,H ,F ,G 分别在边AB ,

BC ,CD ,DA 上,EF ,GH 交于点O ,∠FOH ＝90°, EF ＝4.求GH 的长.

19.已知：如图，在ABCD Y

中，AE 是BC 边上的高，将ABE △沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得GFC △． （1）求证：BE DG =；

（2）若60B ∠=°，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论．

20.将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D ′ 处，折痕为EF ．

（1）求证：△ABE ≌△AD ′F ；

（2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论．

A

B

C

D

图2 图1

A D G C

B F E

A D

F D ′

N M

D

C

B A O

21.如图，点M 是平行四边形ABCD 的边AD 的中点 ，点P 是边BC 上的一个动点，PE ∥MB ，PF ∥MC ，分别交MC 于点E 、交MB 于点F ，如果AB ︰AD =1︰2，试判断四边形PEMF 的形状，并说明理由。

22.如图，在梯形ABCD 中，AD ‖BC ，对角线AC 与BD 交于点O ，M 、N 分别为OB 、OC 的 中点，又∠ACB =∠DBC . (1)求证：AB =CD ；

(2)若AD =2

1BC .求证：四边形ADNM 为矩形.

23.如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 是对角线BD 上，且BE = EF = FD ，联结AE 、AF 、CE 、CF ．

求证：（1）AF = CF ；

（2）四边形AECF 菱形．

24.如图所示，已知在△ABC 中，AB=AC ，AD 是∠BAC 的平分线，交BC 于点D ，AN 是△ABC 外角∠CAM

的平分线，CE⊥AN，垂足为点E ，

(1)求证：四边形ADCE 是矩形；

(2)当△ABC 满足什么条件时，四边形ADCE 是一个 正方形？请加以证明．

第23题图

F

（第23题图）

D

C

B

A

E A

E

M

N

25.已知：如图，在四边形ABCD 中，点G 在边BC 的延长线上，CE 平分∠BCD 、 CF 平分∠GCD ， EF ∥BC 交CD 于点O ． （1）求证：OE=OF ； （2）若点O 为CD 的中点，

求证：四边形DECF 是矩形．

26.在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 是边BC 上的两点，且BE ＝FC ，DE 与AF 相交于梯形ABCD 内一点O ．

(1) 求证：OE ＝OF ；

(2) 当EF ＝AD 时，联结AE 、DF ，先判断四边形AEFD 是怎样的四边形，再证明你的结论．

27．已知：如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，点E 为边BC 上一点，且AE ＝DC ．

（1）求证：四边形AECD 是平行四边形；

（2）当∠B ＝2∠DCA 时，求证：四边形AECD 是菱形．

28．已知：如图，在ABC △中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，，过点A 作BC 的平行线交与BE 的延长线于点F ，且DC AF =,联结CF ． （1）求证：D 是BC 的中点；

（2）如果AC AB =，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．

（第23题图）

C O F E

D C B A A B C D

E （

图五

）

A E

C

B

F

D 第23题

29.如图，在直角梯形纸片ABCD 中，AB ∥DC ，?=∠90A ，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点A 落在边CD 上的点E 处，折痕为DF ．连接EF 并展开纸片． （1）求证：四边形ADEF 是正方形；

（2）取线段AF 的中点G ，连接EG ，如果CD BG =，试说明四边形GBCE 是等腰梯形．

30．已知：如图6，EF 是矩形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线，EF 与对角线AC 及边AD 、BC 分别交于点O 、E 、F ．

（1）求证：四边形AFCE 是菱形；

（2）如果2FE ED =，求:AE ED 的值．

31．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，O 是斜边AB 上的中点，BF ∥AC.

(1)求证：△AOE ≌△BOF ；(2)求证：四边形BCEF 是矩形.

32．如图，平行四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别在AB 、BC 、CD 、AD 边上且AE =CG ，AH =CF ． (1) 求证：四边形EFGH 是平行四边形； (2) 如果AB =AD ，且AH =AE ， 求证：四边形EFGH 是矩形．

E

C

B

D

A

G

F

A B F O 图6 E D H C

F

E D

C B A

34．已知：如图，△ABC 与△BDE 都是正三角形，且点D 在边AC 上，并与端点A 、C 不重合．

求证：（1）△ABE ≌△CBD ；

（2）四边形AEBC 是梯形．

35．如图，点B 、E 、C 、F 在一条直线上，AB ＝DE ，∠B ＝∠DEF ，BE ＝CF 。 求证：（1）△ABC △DEF ；

（2）四边形ACFD 是平行四边形。

36．如图,在△ABC 中,AB=AC,⊙O 过点B 、C,且交边AB 、AC 于点E 、F, 已知∠A=∠ABO,联结OE 、OF 、OB. （1）求证：四边形AEOF 为菱形； （2）若BO 平分∠ABC,求证：BE=BC.

37．如图，在△ABC 中，AB =BC ，BD 是中线，过点D 作DE ∥BC ，过点A 作AE ∥BD ，AE 与DE 交于点E ．

求证：四边形ADBE 是矩形．

38. 已知：如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，点F 、G 是边AC 的三等分点，DF 、EG 的

延长线相交于点H ．

E

A

D

B

C

（第22题图）

求证：（1）四边形FBGH 是平行四边形；

（2）四边形ABCH 是平行四边形．

39.如图，在ABC △中，D 是AC 的中点，E 是线段BC 延长线上一点，过点

作AF ∥BC 交ED 的延长线于点F ，联结AE CF ，． 求证：（1）四边形AFCE 是平行四边形；

（2）AE CE BE FG ?=?．

40．已知△ABC 中，点D 、E 、F 分别是线段AC 、BC 、AD 的中点，连FE 、ED ，BF 的延长线交ED

的延长线于点G ，联结GC 。 求证：四边形CEFG 为梯形。

41．已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD // BC ，AB ⊥AD ，BC = CD ，BE ⊥CD ，垂足为点E ，点F 在BD 上，

联结AF 、EF ． （1）求证：AD = ED ；

（2）如果AF // CD ，求证：四边形ADEF 是菱形．

42．已知：如图，在□ABCD 中，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，CE 、AF 与对角线BD 分别相交于点G 、H ． （1） 求证：DH=HG=BG ；

（2） 如果AD ⊥BD ，求证：四边形EGFH 是菱形．

第22题图 A

E C

B F D

G A

C D E

F G A B

C

D

E

F

（第23题图）

43．如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，AH 垂直BC ，点E 是AH 上一点，延长AH 至点F ，使FH=EH ， （1）求证：四边形EBFC 是菱形；

（2）如果BAC ∠=ECF ∠，求证：AC CF ⊥．

44．如图，在四边形ABCD 中，点E 是线段AD 上的任意一点(E 与A ，D 不重合)，G ，F ，H 分别是BE ，BC ，

CE 的中点．

(1)证明四边形EGFH 是平行四边形；

(2)在(1)的条件下，若EF ⊥BC ，且EF ＝2

1

BC ，证明平行四边形EGFH 是正方形．

46．如图，在梯形ABCD 中，AD BC AB DE AF DC E F ∥，∥，∥，、两点在边BC 上，且四边形AEFD 是平行四边形．

（1）AD 与BC 有何等量关系？请说明理由；

（2）当AB DC =时，求证：ABCD Y

是矩形．

H F

E

C

B

A

图7

A D 45.

47．如图，分别以Rt△ABC 的直角边AC 及斜边AB 向外作等边△ACD、等边△ABE．已知∠BAC=30o，EF⊥AB，垂足为F ，连结DF ． （1）试说明AC=EF ；

（2）求证：四边形ADFE 是平行四边形．

48.如图，四边形ABCD 是矩形，∠EDC=∠CAB ，∠DEC=90°。 (1)求证：AC ∥DE ；

(2)过点B 作BF ⊥AC 于点F ，连结EF ，试判别四边形BCEF 的形状，并说明理由。

49．如图，在等边ABC △中，点D 是BC 边的中点，以AD 为边作等边ADE △． （1）求CAE 的度数；

（2）取AB 边的中点F ，连结CF 、CE ，试证明四边形AFCE 是矩形．

第22题图