黑龙江省哈三中高三第五次模拟考试文科数学试题含答案

数学试卷（文史类）

考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时

间120分钟．

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚．

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚．

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．

4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．

第I 卷 （选择题，共60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的．

1．已知复数)3(2i a i z -+=

）（是纯虚数，则实数=a A ．23-

B ．2

3

C ．3-

D ．3 2．已知向量)3,2(-=，),3(x =，若//a b ，则实数=x

A ．2-

B ．2

C ．29-

D ．2

9

3．已知集合{}

Z x x x A ∈≤≤-=,21，集合{}0|>=x x B ，则集合A B 的子集个数

为

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 4．设2log 3a =，13

log 2b =，2

0.4c =，则,,a b c 的大小关系是

A ．a b c >>

B ．b a c >>

C ．a c b >>

D ．c a b >> 5. 设公比为3的等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若13=S ，则=++654a a a A ．3 B ．9 C ．27 D ．81 6. 某几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图

都是边长分别为1和2的矩形，俯视图为半径为1的 四分之一个圆，则该几何体的体积为

A ．π31

B ．π21

C ．π3

2

D ．π

7. 若圆4221=+y x C ：与圆2

2

2:680C x y x y m +--+=外切，则实数m = A ．24- B ．16- C ．24 D ．16 8. 设0,0>>b a ，则“1≥ab ”是“2≥+b a ”的

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件 9．远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，就 是现在我们熟悉的“进位制”，右图所示的是一位母亲记录的孩子自 出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一， 根据图示可知，孩子已经出生的天数是

A ．27

B ．42

C ．55

D ．210

10．已知函数x x x f cos sin )(+=，1()'()f x f x =，21()'()f x f x =，32()'()f x f x =，…， 依此类推，2020()4

f π

=

A

B

． C ．0 D

．

11．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 是棱1DD 的中点，则平面E AC 1截该正方体所

侧视图

俯视图

得的截面面积为

A ．52

B ．62

C ．64

D ．5 12．已知点P 在直线1-=x y 上，点Q 在曲线y x 22=上，则PQ 的最小值为

A ．

41 B ．81 C ．22 D ．4

2

第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知双曲线)0,0(1:22

22>>=-b a b

y a x E 的离心率为2，则渐近线方程为 ．

14．设n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，若675=+a a ，则11S = ． 15．若在不等式122≤+y x 所表示的平面区域内随机投一点P ，则该点P 落在不等式组

?

?

?≤+≤-11

y x y x 所表示的平面区域内的概率为 ． 16．函数()()f x x R ∈为奇函数，当0x >时，0)

(ln )(<+

?'x

x f x x f ，则不等式0)(>x f 的解集为 ．

三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为

必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．(本小题满分12分)

已知ABC ?的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，满足A b a c cos 22+=． （1）求B ；

（2）若3,5==+b c a ，求ABC ?的面积．

18．(本小题满分12分)

如图①，在平面五边形ABCDE 中，ABCD 是梯形，AD //BC ，AD =BC 2=22，

3=AB ，o ABC 90=∠，ADE ?是等边

三角形．现将ADE ?沿AD 折起，连接EB ，

EC 得到如图②的几何体．

（1）若点M 是ED 的中点，求证：CM //平面ABE ；

（2）若平面⊥ADE 平面ABCD ，求四棱锥ABCD E -的体积． 19．(本小题满分12

分)

为抑制房价过快上涨和过度炒作，各地政府响应中央号召，因地制宜出台了系列房价调控政策．某市拟定出台“房产限购的年龄政策”．为了解人们对“房产限购年龄政策”的态度，在年龄为20

60岁的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持

“房产限购”的人数与年龄的统计结果如图所示： （1）由以上统计数据填22?列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以44岁为分界点的不同人群对“房产限购年龄政策”的支持度有差异？

（2）若以44岁为分界点，从不支持“房产限购”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加政策

听证会，现从这8人中随机抽2人，求抽到的2人中恰有1人是44岁以下的概率．

参考公式：2

2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++．

20．(本小题满分12分)

已知函数x

ae

x x f -=2)(()a R ∈．

（1）当1a =时，证明：0≥x 时，1-)(≤x f ；

（2）若对任意0≥x ，均有0)(≤x f 成立，求a 的取值范围．

21．(本小题满分12分)

已知抛物线:C 2

2(0)y px p =>的焦点F 是椭圆13

42

2=+y x 的一个焦点． （1）求抛物线C 的方程；

（2）设,,P M N 为抛物线C 上的不同三点，)2,1(P ，且PM PN ⊥， 求证：直线MN 过定点．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第

一题计分．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (本小题满分10分)

在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为??

?+=+=α

α

sin 1cos 1t y t x （t 为参数，πα<≤0），以

O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=． （1）求曲线C 的直角坐标方程，直线l 在x 轴正半轴及y 轴正半轴上的截距相等时的直

角坐标方程； （2）若3

π

α=

，设直线l 与曲线C 交于不同的两点B A ,，点)1,1(P ，求

PB

PA 1

1-

的值．

23．[选修4-5：不等式选讲] (本小题满分10分)

已知函数b x a x x f ++-=)(，)0,0(>>b a ． （1）当3,1==b a 时，求不等式6)(

111≥+++b a ．

数学试卷（文史类）答案及评分标准

一、选择题：

二、填空题：

13.y = 14.33 15.

π

2

16. ）（0,∞- 三、解答题：

17. （1）由题知A B A C cos sin 2sin sin 2+=，……………………………………2分 则A B A B A cos sin 2sin )sin(2+=+，则

A B A sin cos sin 2=,在ABC ?中,0sin ≠A ,所以2

1

cos =

B ,………………………4分 则3

π

=

B ………………6分

（2）由余弦定理得B ac c a b cos 22

2

2

-+=,

从而得ac c a ac c a 3)(92

2

2

-+=-+=，……………………………………9分

又5=+c a ，所以3

16

=

ac ，所以ABC ?的面积为334.…………………………12分

18.（1）取EA 中点N ,连接MN ,BN ,则MN 是EAD ?的中位线, .

//,,//,2

1

且,//.

2

1

且,//ABE CM ABE BN ABE CM BN

CM BCMN AD BC AD BC AD MN AD MN 平面平面平面又是平行四边形，四边形∴??∴∴=

=

∴ ………………6分

（2）取AD 中点O ,连接OE OC ,,ADE ?是等边三角形,得AD OE ⊥,

因为平面⊥ADE 平面ABCD ，，平面ADE OE ?平面?ADE 平面AD ABCD = 所以平面⊥OE 平面ABCD ………………8分 直角梯形ABCD 的面积为62

6

3322221

==

+OE ，）（ …………10分

四棱锥ABCD E -的体积

3-=V

ABCD

E ………………12分

19．（1）由统计数据填22?列联表如下:

计算观测值20100(3554515)25 6.25 3.841505080204

k ??-?===>???，..................................4分

所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以44岁为分界点的不同人群对“房产限购年龄政策”的支持度有差异； ..............................................................................................5分 （2）由题意可知不支持“房产限购”的人44岁以下有15人，44岁及以上有5人，

按分层抽样的方法抽取8人，其中44岁以下抽取6人，用654321,,,,,a a a a a a 表示 44岁及以上抽取2人分别用21,b b 表示， ……………………..… 6分 设“抽到的2人中恰有1人是44岁以下”为事件A ……………………..…7分 从这8人中抽取2人所有可能出现的结果有：

()21,a a ，()31,a a ，()41,a a ，()51,a a ，()61,a a ，()11,b a ，()21,b a ，

()32,a a ，()42,a a ，()52,a a ，()62,a a ，()12,b a ，()22,b a ， ()43,a a ，()53,a a ，()63,a a ，()13,b a ，()23,b a ，

()54,a a ，()64,a a ，()14,b a ，()24,b a ，()65,a a ，()15,b a ，()25,b a ， ()16,b a ，()26,b a ，()21,b b 共28种 ………………………………..…9分

抽取的2人中恰有1人44岁以下的结果有：

()11,b a ，()21,b a ，()12,b a ，()22,b a ，()13,b a ，()23,b a ，()14,b a ，()24,b a ，()15,b a ，

()25,b a ，()16,b a ，()26,b a ，共12种 ……………………..…11分

所以73)(=

A P ，

抽取“抽到的2人中恰有1人是44岁以下”的概率为 73… 12分

20.（1）当1a =时，x e x x f x h -='=2)()(，x e x h -='2)( 由于x e x h -='2)(在),0[+∞上单调递减，存在唯一零点2ln 0=x 知()h x ：

知),0[+∞∈x 时，022ln 2)2(ln )(<-=≤h x h ，即()0f x '<恒成立 所以()f x 为),0[+∞上的减函数，

0≥x 时，1-)0()(=≤f x f ， 证毕 …………………………………………6分

（2）等价于x e x a 2≥，设函数x e

x x g 2

)(=，),0[+∞∈x

x

x x x g )

2()(-=

'，知()g x ：

2max )2()(e

g x g ==，2max ),(e a x g a ≥≥，

实数a 的取值范围是）+∞,4[2e ………………………………………………12分 21.（1）依题意，2,12==p p ，所以x y C 4:2

=………………………………4分

（2）设直线MN 的方程为n my x +=，与抛物线联立得0442

=--n my y ，

设),(),,(2211y x N y x M ，由PN PM ⊥得0)2,1()2,1(2211=--?--y x y x ………6分 化简得058462

2=+---m m n n ，…………………………8分 解得52+=m n 或12+-=m n （舍）…………………………10分 所以直线MN 过定点)2,5(-………………………………………………12分 22.（1）θθρcos 4sin 2

=，所以θρθρcos 4sin 2

2

=，

由y x ==θρθρsin ,cos ，得曲线C 的直角坐标方程为x y 42

=…………….…….3分

当直线l 在x 轴正半轴及y 轴正半轴截距相等时,1tan -=α, 由,sin 1cos 1??

?+=+=α

αt y t x 得

1tan 11

-==--αx y ，所以2x y +=， 即此时直线l 的直角坐标方程为02=-+y x …………………………………..………5分

（2）当3πα=时，直线l

的参数方程为112,12x t y ?

=+??

?

?=+??(t 为参数） 将直线l 的参数方程带入x y 42

=

，得2

11412t ????=+ ? ? ????

?，

232)304t t +-=

，12124

(243

t t t t +==-，………..……………...…….8分

故

12121211112||||3

t t PA PB t t t t +-=-==…………………………………...…..10分 23.（1）依题意631<++-x x ，解集为)2,4(- ………………………………5分 （2）b a b a b x a x b x a x x f +=--=+--≥++-=)()()(，所以2=+b a …7分

1)1

1112(41)1111)(11(411111≥++++++=++++++=+++b a a b b a b a b a ……………10分