《电磁场与电磁波》大作业A 答案

内外的电场强度及电位分布。

解：采用球坐标系分析本题（只涉及了一个变量半径r ，并未涉及其他角度变量）。

在r

3

r πρ ，因此

22

30

4443i

i r r i S d r E r E r ρπππε===?g g ?E S e e （r e 表示方向沿径向向外，下面省略了中间过程）

所以

3i r

ρε=r E e （V m ）

在r>a 的区域，高斯面是一个与这个球体相同球心，以r 为半径的球面，所包围的电荷是34

3

a πρ ，

2

30

443o r E a ρ

ππε=

3

203o a r

ρε=r

E e （V m ） 求解电势：由于电荷分布在有限区域，可选无穷远点为参考点。则 在r

22

00

(V)

26a i i o r

r

a

a r dr E dr E dr ρρ?εε∞∞

=?=+=-???

E

在r>a 时

3

0(V)

3o o r

a dr r ρ?ε∞

=?=?

E

8、单匝矩形线圈置于时变场0sin y B t ω=B e 中，如图所示。初始时刻，线圈平面的法向单位矢量n 与y 轴成0α角。

求：

a) 线圈静止时的感应电动势；

b) 线圈以速度ω绕x 轴旋转时的感应电动势。

答：

a) 线圈静止时，穿过线圈的磁通为

()()000sin sin cos y S

d t ab B ab t B Φωωα??===?B S

e n

由式（2.59），故感应电动势为

()0

0cos cos d abB t dt Φωωα

ε=-=-

b) 线圈以角速度ω绕x 轴旋转时，法向单位矢量n 的方向随时间变化。在t 时刻，n 与y 轴的夹

角0t ααω=+,所以

()()()000sin sin cos y S

d B t ab B ab t t Φωωαω??===+?B S

e n

故感应电动势为

()0

cos 2d abB t dt Φωα

ωε=-=-+

9、一个半径为a 的导体球的电位为U ，设无穷远处为零电位。求球内、外的电位分布。

解：导体球是等位体，所以球内各点的电位均为U 。

球外的电位满足拉普拉斯方程

两次积分，通解为

根据边界条件求常数，边界条件如下。

(1)r=a 时=U. (2) r

由上述边界条件，确定常数为：A=-aU,B=0,代入通解得

10、半径为a的无限长直导线通有电流I,试计算导体内外的磁场强度。

解：在

H=

在

H=

\