4月全国高等教育自学考试数论初步试题及答案解析
全国2018年4月高等教育自学考试
数论初步试题
课程代码：00418
一、单项选择题（本大题共30小题，每小题1分，共30分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.m,n为整数，下列式子一定不成立的是（）
A.4m-1=4n+1
B.2m+1=4n+3
C.2m+3=4n-1
D.2m=4n
2.下列关于自然数m,n的说法，错误的是（）
A.若m|n，则[m,n]=n
B.若[m,n]=(m,n)，则m=n
C.若m|n,则(m,n)=m
D.若(m,n)=1,则[m,n]=1
3.若2|8a-4b+3c，则下列不一定成立的是（）
A.2|3a+2c
B.2|2a+c
C.2|3c-2b
D.2|6a-2b+c
4.m,n为整数，若m-n为奇数，则m与n（）
A.同奇
B.同偶
C.同奇或同偶
D.一奇一偶
5.若b|a,c|b,则一定有（）
A.a|c
B.a|b
C.b|a+c
D.c|a+b
6.若m为完全数，则m的全部正约数之和为（）
A.m
B.m2
C.2m
D.m-1
7.已知a
3689218既能被3整除，又能被5整除，则a的值是（）
A.0
B.2
C.5
D.6
8.p为质数，正整数a,b满足a2=pb2，则（）
A.a,b必为质数
B.a为合数，b为质数
C.a,b均为合数
D.a,b均不存在
9.设m为大于1的正整数，则]2
[2+
+的值是（）
9
m
5
m
A.3m-1
B.3m
C.3m+1
D.3m+2
10.下列数中标准分解式为a b b a 的数是（ ）
A.512
B.72
C.81
D.30
11.2018年2月8日是星期日，则500天后的那一天是（ ）
A.星期三
B.星期二
C.星期四
D.星期五
12.若2p -1是质数，则2p-1(2p -1)是（ ）
A.梅森数
B.费马数
C.完全数
D.亲和数
13.满足10n ≡1(mod17)的最小正整数n 是（ ）
A.17
B.7
C.16
D.8
14.分母为10的所有既约真分数的个数是（ ）
A.4
B.5
C.8
D.9
15.下列命题不一定成立的是（ ）
A.若a ≡b(modm),c 为整数，则ac=bc(modm)
B.若a ≡b(modm),c ≡d(modm)，则ac ≡bd(modm)
C.若a ≡b(modm),c ≡d(modm)，则ab=cd(modm)
D.若a ≡b(modm),n 为自然数，则a n ≡b n (modm)
16.同余式组???≡≡)6(mod 3x )
5(mod 1x 的解是（ ）
A.x ≡21（mod5）
B.x ≡21（mod6）
C.x ≡21（mod30）
D.x ≡1（mod30）
17.不大于15且与15互素的所有正整数之和为（ ）
A.52
B.59
C.46
D.60
18.已知n 为自然数，m 为正实数，且n ≤m ，下列结论不一定正确的是（
）
A.[n+m]=n+[m]
B.n ≤[m]
C.[-(n+m)]=-[n+m]
D.[nm]≥n[m]
19.30！的标准分解式中，3的最高幂指数是（ ）
A.13
B.14
C.15
D.16
20.下列分数能化成有限小数的是（ ） A.75013 B.375
13 C.62513 D.875
13 21.所有不超过182的正整数中，6的倍数有 个。（ ）
A.29
B.30
C.31
D.32
22.3404的个位数字是（ ）
A.1
B.3
C.7
D.9
23.任意10个连续整数中，能被3整除的至多有 个。（ ）
A.2
B.3
C.4
D.5
24.41000被13除的余数是（ ）
A.8
B.9
C.10
D.11
25.任给两个费马数F m 和F n ,m>n,则(F m ,F n )=（ ）
A.2
B.m
C.n
D.1
26.设1≤a ≤6,
7a 化成循环小数，其循环节长度是（ ） A.5
B.7
C.6
D.4
27.下列方程一定无整数解的是（ ）
A.3x+7y=2
B.12x+15y=7
C.2x+10y=22
D.17x+18y=19
28.对于自然数n ，下列f(n)不一定是整值函数的是（ ） A.6n n )n (f 3-= B.12
)1n (n )n (f 22-= C.2n 2n )n (f 2+= D.31n n )n (f 2++= 29.下列关于整数勾股形的论述，正确的是（ ）
A.勾与股数都不是4的倍数
B.勾与股数都是3的倍数
C.勾与股数中至少有一个是5的倍数
D.勾股形的面积值一定是6的倍数
30.同余式3x ≡2(mod20)解的个数是（ ）
A.0
B.1
C.3
D.2
二、填空题（本大题共10小题，每小题1分，共10分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
31.对任意自然数n,(7n+1,14n+3)=___________。
32.与100以7为模同余的最小正整数是___________。
33.模18的最小非负简化剩余系有___________个数。
34.0.8i 化成既约分数是___________。
35.不超过50的素数个数π(50)=___________。
36.不定方程x+2y=18的正整数解有___________组。
37.设n n 2111p p p a ααα=Λ为正整数a 的标准分解式，则欧拉函数=?)a (___________。
38.同余式72x ≡27(mod81)的解的个数是___________。
39.已知直角三角形三边长分别为a,a-b,a+b 。a,b 为整数，则它的最小面积是___________。
40.一个两位自然数等于它的十位数字与个位数字之和的3倍，则这样的两位数写出来是___________。
三、计算题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
41.一个三位奇数，能被3整除，且这个三位数去除1599，余数为3，求这个三位数。
42.解同余式组?
??≡≡)24(mod 7x )13(mod 6x . 43.求不定方程4x+7y=41的所有正整数解.
四、证明题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
44.若a 是正整数，判断a(a+1)(a+2)(a+3)+1是素数还是合数，并给出证明.
45.设n 为整数，求证：168|136n +167.
46.n 为非负整数，求证：(a 2+a+1)|a n+2+(a+1)2n+1.
五、综合题（本大题共1小题，共12分）
47.已知两个自然数之差为2，它们的最大公约数与最小公倍数之和为42，求这两个自然数.