命题及充分条件必要条件 整理

§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件

2．四种命题及其关系

(1)四种命题

(2)四种命题间的逆否关系

(3)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们有________的真假性；

②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性____________．

3．充分条件与必要条件

(1)如果p?q，则p是q的______________，q是p的______________；

(2)如果p?q，q?p，则p是q的______________．

[难点正本疑点清源]

1．用集合的观点，看充要条件

设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有：

(1)若A?B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件；

(2)若B?A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件；

(3)若A＝B，则p是q的充要条件；

(4)若A B，且B A，则p是q的既不充分也不必要条件．

2．从逆否命题，谈等价转换

由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．这就是常说的“正难则反”．

1．(课本改编题)给出命题：“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是______．

2．(课本改编题)下列命题中所有真命题的序号是________．

①“a>b”是“a2>b2”的充分条件；

②“|a|>|b|”是“a2>b2”的必要条件；

③“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要条件．

3．(课本改编题)“x>2”是“1

x<

1

2”的________条件．

4．(2011·天津)设集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

5．已知α，β的终边在第一象限，则“α>β”是“sin α>sin β”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

题型一四种命题的关系及真假判断

例1以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．

①“若log2a>0，则函数f(x)＝log a x (a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；

②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；

③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；

④命题“若a∈M，则b?M”与命题“若b∈M，则a?M”等价．

探究提高(1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键；(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；(3)认真仔细读题，必要时举特例．

有下列四个命题：

①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；

④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．

其中真命题的序号为________．

题型二充分、必要、充要条件的概念与判断

例2指出下列命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．

(1)在△ABC中，p：∠A＝∠B，q：sin A＝sin B；

(2)对于实数x、y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；

(3)非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B；

(4)已知x、y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，

q：(x－1)(y－2)＝0.

给出下列命题：

①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n ＋1}为等比数列”的充分不必要条件； ②“a ＝2”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；

③“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直”的充要条件； ④设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，则A ＝30°是B ＝60°的必要不充分条件． 其中真命题的序号是________．

1.

2. 等价转化思想在充要条件关系

中的应用

试题：(12分)已知p ：????

1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0 (m >0)，且綈p 是綈q 的必要而

不充分条件，求实数m 的取值范围．

方法与技巧

1．当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其它三种命题时，应把其中一个(或n 个)作为大前提．

2．数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定理是有区别的；命题有真假之分，而定理都是真的． 3．命题的充要关系的判断方法

(1)定义法：直接判断若p 则q 、若q 则p 的真假．

(2)等价法：利用A ?B 与綈B ?綈A ，B ?A 与綈A ?綈B ，A ?B 与綈B ?綈A 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．

(3)利用集合间的包含关系判断：若A ?B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 失误与防范

1．否命题是既否定命题的条件，又否定命题的结论，而命题的否定是只否定命题的结论．要注意区别．

2．判断p 与q 之间的关系时，要注意p 与q 之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆．

课时规范训练

一、选择题

1．(2011·陕西)设a ，b 是向量，命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的逆命题是 ( )

A ．若a ≠－b ，则|a |≠|b |

B ．若a ＝－b ，则|a |≠|b |

C ．若|a |≠|b |，则a ≠－b

D ．若|a |＝|b |，则a ＝－b

2．已知集合M ＝{x |0

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 3．下列命题中为真命题的是

( )

A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题

B ．命题“x >1，则x 2>1”的否命题

C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题

D ．命题“若x 2>0，则x >1”的逆否命题

二、填空题

4．“m <1

4”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的____________条件．

5．下列命题：

①若ac 2>bc 2，则a >b ； ②若sin α＝sin β，则α＝β；

③“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和直线2x －2ay ＝1平行”的充要条件； ④若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数． 其中正确命题的序号是________．

6．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________． 三、解答题

7．已知p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)(x －m －1)≤0，若綈p 是綈q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．

8．设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0；q ：实数x 满足x 2－x －6≤0，或x 2＋2x －8>0，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求a 的取值范围．

B 组 专项能力提升题组

一、选择题

1．(2011·福建)若a ∈R ，则“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的

( )

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分又不必要条件

2．已知p ：1

x －2≥1，q ：|x －a |<1，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为 ( )

A ．(－∞，3]

B ．[2,3]

C ．(2,3]

D ．(2,3)

3．集合A ＝{x ||x |≤4，x ∈R }，B ＝{x |x 5”的

( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 二、填空题

4．设有两个命题p 、q .其中p ：对于任意的x ∈R ，不等式ax 2＋2x ＋1>0恒成立；命题q ：f (x )＝(4a －3)x 在R 上为减函数．如果两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数a 的取值范围是____________．

5．若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x <1或x >4}”是假命题，则x 的取值范围是________．

6．在“a ，b 是实数”的大前提之下，已知原命题是“若不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是非空数集，则a 2－4b ≥0”，给出下列命题：

①若a 2－4b ≥0，则不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是非空数集； ②若a 2－4b <0，则不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是空集； ③若不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是空集，则a 2－4b <0； ④若不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是非空数集，则a 2－4b <0； ⑤若a 2－4b <0，则不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是非空数集； ⑥若不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是空集，则a 2－4b ≥0.

其中是原命题的逆命题、否命题、逆否命题和命题的否定的命题的序号依次是________(按要求的顺序填写)． 7．(2011·陕西)设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数．．根的充要条件是n ＝________. 三、解答题

8．已知全集U ＝R ，非空集合A ＝??????x |

x －2

x －(3a ＋1)<0，B ＝????

??x |x －a 2－2x －a <0. (1)当a ＝1

2

时，求(?U B )∩A ；

(2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．