高考数学《不等式选讲》专项复习

高考数学《不等式选讲》专项复习

一、考纲解读

1.了解绝对值的几何意义，会利用绝对值的定义解不等式，利用绝对值不等式证明不等式和求最值.

2.了解柯西不等式及其几何意义，会用它来证明不等式和求最位.

3.了解基本不等式，会用它来证明不等式和求最值.

4.会用综合法、分析法、反证法及数学归纳法证明不等式.

二、命题趋势探究

本节内容为新课标新增内容，是高考选考内容.题型以含绝对值的不等式的解法和证明为重要考点，不等式的应用为次重要考点，不等式证明放在一般位置，难度为中档.

三、知识点精讲

(一).不等式的性质

1.同向合成

（1）,

>>?>；

a b b c a c

（2）,c

>>?+>+；

a b d a c b d

（3）0,c0

>>>>?>.

a b d ac bd

（合成后为必要条件）

2.同解变形

>?+>+；

（1）a b a c b c

（2）0,0,

>?>>?<<；

a b c ac bc c ac bc

（3）11

000a b b a

>>?

>>?>>. （变形后为充要条件） 3.作差比较法

0,0a b a b a b a b >?>->

(二).含绝对值的不等式

（1）0,||a x a a x a >-<<；0,||,a x a x a x a >>?>><-或 （2）22||||a b a b >?>

（3）||||x a x b c +++<零点分段讨论 (三).基本不等式

（1）222a b ab +>（当且仅当等号成立条件为a b =）

（2）0,0,

2

a b

a b +>>≥a b =）

；

0,0,0,

3

a b c a b c ++>>>≥a b c ==时等号成立） （3）柯西不等式

22222()()()a b c d ac bd ++≥+（当且仅当ad bc =时取等号）

①几何意义：||ad bc ??+≤a b a b ||||||≤②推广：22222

2

212

121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b +++++

+≥++

+.当且仅当向量

12(,,,)n a a a a =与向量12(,,,)n b b b b =共线时等号成立.

(四).不等式的证明

（1）作差比较法、作商比较法. （2）综合法——由因到果. （3）分析法——执果索因. （4）数学归纳法.

（5）构造辅助函数利用单调性证明不等式. （6）反证法. （7）放缩法. 四、解答题题型总结

核心考点:利用柯西不等式证明解不等式

柯西不等式不仅具有优美的代数表现形式及向量表现形式，而且有明显的几何意义，它与基本不等式具有密切的关系，其作用类似于基本不等式可用来求最大（小）值或证明不等式，不过它的特点更明显应用更直接. 1.二维形式的柯西不等式

设1212,,,x x y y ∈R ，2222

2112

21212()()()x y x y x x y y ++≥+.等号成立1221x y x y ?=. 证明 设1122(,),(,)x y x y ==a b ，由|cos ?=a b a ||b |a,b ，得cos |?=

a b

a,b a ||b |

， 又|cos |1≤a,b ，即

1|?≤|a b |a ||b |

，|?≤|a b |a ||b |，故22222

1212112

2()()()x x y y x y x y +≤++ 等号成立即1221x y x y =. 2.一般形式的柯西不等式

设12,,,n a a a 及12,,,n b b b 为任意实数，

则21122()n n a b a b a b +++≤22

2222

1212()()n n a a a b b b ++

+++

+，

当且仅当

12

12

n

n

a a a

b b b ===

（规定0i a =时0i b =，1,2,,i n =）时等号成立.

证法一：当i a 全为0时，命题显然成立.

否则21

0n

i i a =>∑，考查关于x 的二次函数21

()()n

i i i f x a x b ==-∑，显然()0f x ≥恒成立.

注意到22

21

1

1

()()2()n n n i

i i i

i i i f x a x a b x b ====-+∑∑∑，而()0f x ≥恒成立，且21

0n

i i a =>∑，

故()f x 的判别式不大于零，即2

221

1

1

4()40n n n

i i i

i i i i a b a b ===?=-?≤∑∑∑，

整理后得2221

1

1

()n n n

i

i

i i i i i a b a b ===?≥∑∑∑.

证法二：向量的内积证法. 令12(,,

,)n a a a =a ，12(,,

,)n b b b =b ，θ为a 与b 的夹角.

因为|cos ?=a b a ||b |a,b ，且|cos |1≤a,b ，所以|cos ||?=≤|a b |a ||b ||a,b a ||b |

222|??≤|a b |a ||b |，即21122()n n a b a b a b ++

+≤22

222

2

1212()()n n a a a b b b ++

+++

+，等号

成立0θ?=?或180??a,b 平行12

12

n

n

a a a

b b b ?

===

. 柯西不等式提示了任意两组实数积之和的平方与平方和之间的关系，应用它可以简单地证明许多复杂的不等式，下面举例说明.

1已知函数()|2|,f x m x m =--∈R ，且(2)0f x +≥的解集为[1,1]-.

①求m 的值；

②若,,a b c +∈R ，且111

23m a b c

++=，求证：239a b c ++≥.

解析 ①因为(2)||f x m x +=-，(2)0f x +≥等价于||x m ≤.由||x m ≤有解，得0m ≥，且其解集为{|}x m x m -≤≤.又(2)0f x +≥的解集为[1,1]-，故1m =.

②由①知111

123a b c

++=，又,,a b c +∈R ，

由柯西不等式得111

23(23)()23a b c a b c a b c

++=++++

2

9

≥+=.

2.已知1a b c ++=，0,0,0a b c >>>≤解析 由柯西不等式有

()2

313131(111)18a b c +++++?++=≤.当且仅当

==1

3

a b c ===

时等号成立.

≤3.已知0,0,0a b c >>>，22cos sin a b c θθ+<.

22θθ+<解析 由柯西不等式及0a >,0b >,0c >,

4.设实数,,a b c 满足2223

232

a b c ++=

，求证：39271a b c ---++≥.

5.已知n *∈N ,且2n ≥，求证：11111117234

2

122

n n <-+-++

-<-.

由柯西不等式有

6.已知正实数,,a b c 满足1abc =，求证：

333

1113

()()()2

a b c b c a c a b ++≥+++.

7.已知,11122=-+-a b b a 求证：122=+b a 。 证明：由柯西不等式，得

()()

,112222b a b a --=

于是 122=+b a 。

8.已知12,,,n a a a ……为互不相等的正整数，求证：对于任意的正整数n ，有不等式

1222211

1122n a a a n n

+++≥+++

…………。 证明：由柯西不等式：

又因为12,,,n a a a ……为互不相等的正整数，故其中最小的数不小于1，次小的数不

9.设a,b,c 为正数且不相等到，求证：

c

b a a

c c b b a ++>

+++++9

222 证明：我们利用9与2这两个常数进行巧拆，9=()2

111++，

()()()()a c c b b a c b a +++++=++2 这样就给我们利用柯西不等式提供了条件。

因为a,b,c 各不相等，

∴ 等号不可能成立，从而原不等式成立。

10.设R d c b ∈,,,a ,且5632a 3,

d c b a 2222=+++=+++d c b ，求证：21≤≤a

解：由3d a =+++c b 则 a d c b -=++3 由2222563b 2a d c -=++

即 ()()2

2315a a -≥?-

故 21≤≤a

11.已知b a ,+∈R ，1=+b a ,,,21+∈R x x 求证：()()212121x x ax bx bx ax ≥+?+

分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所要证明的结论。若把第二个小括号内的前后项对调一下，情况就不同了。

证明：()()2121ax bx bx ax +?+ ＝()()1221bx ax bx ax +?+

＝()21212

x x x x b a =+ 。