韦达定理在圆锥曲线中的应用叫叫

韦达定理在解析几何中的应用

韦达定理步骤 1、 设直线0Ax By C ++=与曲线交于两点1122(,),(,)A x y B x y ,既设而不求。 2、 直线与曲线方程联立方程组。 3、 消去x, 得到关于或y 的一元二次方程.

4、

结合具体问题与韦达定理建立联系， 如求弦长等。 韦达定理注意与向量的联系

一，求弦长

.直线与圆锥曲线相交的弦长计算:(1)连结圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦;(2)易求出弦端点坐标时用距离公式求弦长;(3)一般情况下,解由直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组,得到关于x(或y)的一元二次方程,利用方程组的解与端点坐标的关系,结合韦达定理得到弦长公式

∣AB ∣=∣x 1-x 2∣2

1k +?=)1](4)[(2

212

21k x x x x +-+ 或∣AB ∣=∣y 1-y 2∣211k +

? =)11](4)[(2212

21k

y y y y +-+ ， 1．设直线21y x =-交曲线C 于1122(,),(,)A x y B x y 两点。

（1

）若12||x x -=||AB = （2

）12||y y -=||AB =

2．斜率为1的直线经过抛物线2

4y x =的焦点，与抛物线相交于,A B 两点，则||AB =

3、抛物线 y 2

=4x 的焦点作直线交抛物线A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点,如果x 1+x 2=6, 那么

|AB|=( ) (A)10 (B)8 (C)6 (D)4

4、y=kx-2交椭圆x 2+4y 2

=80交于不同的两点P 、Q ，若PQ 中点的横坐标为2，则∣

PQ ∣等于___________.

例1,已知直线 L 的斜率为2，且过抛物线y 2=2px 的焦点，求直线 L 被抛物线

截得的弦长。已知向量()()()()

m x n m x n y 1122201101====，，，，，，，（其中x ，y 是实数）

，又设向量1221m m n m ==u r u u r u r r u u r r

，，且m n ∥，点()P x y ，的轨迹为曲线C 。 （I ）求曲线C 的方程；

（II ）设曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，过点M 作一条直线l 与曲线C 交于另一点N ，当MN =42

3

时，求直线l 的方程。

二，求弦中点坐标

1、直线 x-y=2与抛物线 y 2= 4x 交于A 、B 两点，那么线段AB 的中点坐标是____________________

.2、线y=2

5

21-x 和圆x 2+y 2=16相交所成的弦的中点坐标。

3、经过椭圆2

212x y +=的一个焦点作倾斜角为45?的直线l ，交椭圆于A 、B 两点. 设O 为坐

标原点，则OA OB u u u r u u u r

g 等于（ ）

A. 3-

B. 13-

C. 13-或3-

D. 13

±

四，求曲线的方程

19.（本小题满分14分）

已知定点)01(，-C 及椭圆532

2

=+y x ，过点C 的动直线与椭圆相交于A B ，两点. （Ⅰ）若线段AB 中点的横坐标是1

2

-，求直线AB 的方程； 18．（本小题满分13分）

已知抛物线2:ax y C =，点P （1，－1）在抛物线C 上，过点P 作斜率为k 1、k 2的两

条直线，分别交抛物线C 于异于点P 的两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且满足k 1+k 2=0. （I ）求抛物线C 的焦点坐标； （II ）若点M 满足BM =，求点M 的轨迹方程.

例6,抛物线 y= -2

2

x .与过点M(0,-1)的直线L 相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若直线OA 和OB 的斜率之和为1，求直线L 的方程.

（07西二文）设直线1:+=x y l 与椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 相交于A 、B 两个不同的点，

与x 轴相交于点F . （II ）若F 是椭圆的一个焦点，且FB AF 2=，求椭圆的方程.

五、与向量的联系

1、（05春招）O 为坐标原点，过点(2,0)p 且斜率为K （K 为常数）的直线L 交抛物线2

2y x =于1122(,),(,)A x y B x y 两点

（1）写出直线L 的方程。(2)求12x x ?于12y y ?（3）求证：OA OB ⊥u u u r u u u r

（19）（本小题共14

分）

2、．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3(

（1） 求双曲线C 的方程

（2） 若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>?（其

中O 为原点）求 K 的取值范围

3、已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P

满足条件||||PM PN -=记动点P 的轨迹为W .

（Ⅰ）求W 的方程；

（Ⅱ）若,A B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ?u u u r u u u r

的最小值.