七年级数学上册 整式教学设计 新人教版

整式

本节属于概念教学课，在设计时，力图体现概念形成的过程，即首先给学生以感性材料，让他们观察、比较、分析，找出材料中个体的共同特点，最后进行归纳、抽象概括．最后通过课上练习的方法来巩固所学知识。另外，把课外扩展的资料也作为课上学习的一部分，激发学生学习数学的兴趣。

教学目标：

知识与技能：

1．叙述用字母表示数的意义；

2．知道整式产生的背景并能叙述整式的概念；

3．能求出整式的次数.

过程与方法：

能从具体情景中抽象出数量关系和变化规律，经历对具体问题的探索过程，培养符号感.

情感、态度与价值观：

1．进一步培养认识特殊与一般的辩证关系；

2．通过丰富有趣的现实情景，经历从具体问题中抽象出数量关系，在解决问题中了解数学的价值，发展“用数学”的信心.

重点与难点

1．重点：单项式的系数、次数，多项式的项数、次数等概念.

2．难点：对整式有关概念的理解.

教具准备：

三角板、投影仪.

教学方法：

讲授——自主探索相结合.

课时安排：

1课时。

教学过程：

Ⅰ.创设问题情景，引入新课

［师］在七年级上册中，我们已经学习了用字母表示数，代数式等内容，这节课我们进一步认识代数式的表示作用.

例如：很多小城镇里都有水塔，水塔可以用来储水，维持水压，每天水都不停地流进和流出水塔.一般地，白天，当人们从事生产活动时，流出水塔的水比流进水塔的水多；夜晚，当人们休息时，流进水塔的水比流出的水多.

（1）如果水以每小时a升的速度流进水塔，那么4小时后，流进水塔多少升水，若a=20000升，计算一下结果；

（2）如果水以每小时a升的速度流进水塔，同时又以每小时b升的速度流出水塔，那么4小时后，水塔里的储水量变化了多少？

［生］（1）4小时后，流进水塔的水为4a升；当a=20000升时，4小时后，流进水塔的水为：4a=4×20000=80000升；

（2）4小时后，水塔里的储水量变化了(4a-4b)升.

［师］在上述问题中列出的代数式4a,4a-4b都是整式，这节课我们就来学习整式的概念.

Ⅱ.在实际情景中，明确整式的有关概念

小明房间的窗户如图1－1所示，其中上方的装饰物由两个四分之一圆和一个半圆组成（它们的半径相同）.

图1－1

（1）装饰物所占的面积是多少？

（2）窗户中能射进阳光的部分的面积是多少？（窗框面积忽略不计）

（3）一个塑料三角尺如图1－2所示，阴影部分所占的面积是 ；

图1－2

（4）某校学生总数为x,其中男生人数占总数的53

，男生人数为 ；

（5）一个长方体的底面是边长为a 的正方形，高是h ，体积是 .

［师生共析］（1）装饰物是由两个四分之一圆和一个半圆组成，它们的半径相同，由

图中的已知条件可知半径为4b ,所以装饰物所占的面积恰好是半径为4b

的一个圆的面积即

2

16

b π

;

(2)窗户中能射进阳光的部分的面积应该是窗户的面积与装饰物所占面积的差即

ab -2

16

b π

；

(3)塑料三角尺阴影部分所占的面积是21

ab -2

1mn ；

(4)男生人数为53

x ；

(5)这个长方体的体积是a 2

h .

［师］我们观察上面列出的几个代数式可以发现：4a , 2

16

b π

,53

x ,a 2

h 等，都是数字与

字母的乘积.例如4a 是4与a 的积，2

16

b π

是16π

与b

2

的积，53

x 是53

与x 的积，a 2h 是1与

a 2

h 的积.像这样的代数式我们把它们都叫做单项式（monomial).其中的数字因式如“4”“16π

”

“53”“1”是单项式的系数.

一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. 哪位同学能给我分析一下上面几个单项式的次数呢？

［生］4a 的次数是1次；16π

b 2

的次数是2次；5

3

x 的次数是1次；a 2h 的次数是3次.

［师］很好！你能给大家解释一下a 2

h 这个单项式的次数为什么是3次吗？

［生］这是因为a 2

h 这个单项式中含字母a 和h .而a 的指数是2，h 的指数是1，所有字母的指数和当然是1+2=3喽.

［师］这位同学很仔细，h 的指数是1，这一点很容易被部分同学误认为是0.h 的指数应是1，只不过作为指数时省略不写，你还能回忆起什么时候“1”可以省略不写吗？

［生］“1”作为系数时，“1”作为一个字母的指数时，“1”作为分母时. ［师］同学们总结的很好.

［生］单独的一个数或一个字母是单项式吗？

［师］是.单独的一个字母a ,我们可以看成1·a ,所以单独的一个字母系数是1，次数也是1，单独的一个非零的数的次数是0.

［生］这就是说，我们学过的所有有理数都是单项式. ［师］是的.

［生］代数式4a －4b ,ab －16π

b

2

,2

1

ab －2

1mn ,它们是什么样的式子呢？

［师］代数式4a －4b 是单项式4a ,－4b 的和，像这样的几个单项式的和所形成的代数

式，我们把它叫做多项式.请问：ab －16π

b

2

,21ab －2

1mn 是哪些单项式的和呢？

［生］ab －16π

b 2

这个多项式是ab 与－16π

b

2

的和；2

1

ab －2

1mn 是2

1ab 与－21

mn 的和.

［师］所以我们说ab －16π

b 2

这个多项式有两项，分别是ab ,－16π

b 2

.3

1x 2y +2y －1有

几项呢？

［生］3

1

x 2y +2y －1有三项，分别是3

1

x 2y ,2y ,－1.

［师］每一项的次数是多少呢？

［生］3

1

x 2y 次数是3次，2y 的次数是1次，－1的次数是0.

［师］在一个多项式中，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数.31

x 2y 这一项在

3

1x 2y +2y －1中次数最高，因此我们把3

1

x 2y 的次数3作为多项式3

1

x 2y +2y －1的次数，即

3

1x 2y +2y －1是一个三次三项式.那么ab －16π

b 2, 2

1

ab －2

1mn 是几次几项式呢？

［生］它们都是二次二项式.

［师］我们刚才讨论了单项式和多项式，而且还知道了单项式的系数、次数；多项式的项数、次数.我们也就知道了整式，因为单项式和多项式统称为整式.研究单项式、多项式就是在研究整式.

在研究单项式和多项式的概念时，我们注意到在数字和字母之间只出现了乘法、加法、

减法（可转化为加法）的运算，没有出现2÷x 即x 2,或x ÷2即2x 这样的式子，那么2x ,x 2

是

整式吗？同学们不妨讨论一下.

［师生共析］2x 可以写成21·x ,所以2x

是单项式，而x 2是数字与字母的商，所以不是

单项式，更不是整式，所以整式最显著的特征是字母不能作分母.

Ⅲ.议一议

小红和小兰房间窗户的装饰物如图1－3所示，它们分别由两个四分之一圆和四个半圆组成（半径分别相同）.

图1－3

（1）窗户中能射进阳光的部分的面积分别是多少？（窗框面积忽略不计） （2）你能指出其中的单项式或多项式吗？它们的次数分别是多少？

［生］左图小红房间的装饰物所占的面积相当于半径为2b

的圆的面积的一半，即8

πb 2.

窗户中能射进阳光的部分的面积为ab －8π

b 2

.

右图小兰房间的装饰物所占面积是半径为8b

的两个小圆的面积，即2×64

πb 2=32π

b 2.窗

户中能射进阳光的部分的面积是ab －32π

b 2

.

［生］ab －8πb 2和ab －32π

b 2

它们都是多项式，且次数都是2次.

Ⅳ.练一练

首先可以让学生参看课件（整式——练习），让学生回答. 1.随堂练习（课本P 4）

下列整式哪些是单项式，哪些是多项式？它们的次数分别是多少？

a ,－3

1x 2y ,2x －1,x 2+xy +y 2

解：单项式：a ,－3

1

x 2y ;次数分别是1次和3次.

多项式：2x －1,x 2

+xy +y 2

;次数分别是1次和2次. 2.补充练习

（1）下列说法正确的是（ ） A.单项式A 的系数是0 B.单项式a 的次数是0

C.a 1

是单项式

D.1是单项式

（2）关于2×103

·a ,下列说法中正确的是（ ） A.系数是2，次数是1 B.系数是2，次数是4 C.系数是2×103，次数是0 D.系数是2×103，次数是1

（3）已知出租汽车行驶3千米以内（包括3千米）的车费是7元，以后每行驶1千米，再加1元.如果某人坐出租汽车行驶了m 千米（m 是整数，且m ≥3)，则车费是（ ）

A.(7+m)元

B.（4+m)元

C.（7－m)元

D.（3+m)元

（4）下列各式中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些不是整式？

－2a 2

,3

2xy ,51(m －n ),0,y x 4,1+3b

,x 2

+x 1+1,x

(5)写出系数是21

，含有字母a 、b 、c 的五次单项式.

解：（1）D （2）D （3）B

（4）单项式：－2a 2

,3

2xy ,0,x ;

多项式：51(m －n ),1+3b

；

不是整式：y x 4,x 2

+x 1

+1 (5)2

1a

3

bc , 2

1a 2b

2

c , 2

1a 2bc

2

, 2

1ab 2c

2

, 2

1ab

3

c , 2

1abc 3.

Ⅴ.读一读

［师］皮克公式是一个非常有趣的结论.同学们可阅读课本“读一读”，探索课本中给出的点阵中多边形面积的计算方法，并运用皮克公式计算其他一些多边形的面积.

（鼓励学生自己阅读，并探索文中给出的点阵中多边形面积的计算方法）

［生］通过剪拼从图中可以看出，共剪拼成7个以相邻四个点围成的小正方形，而一个小正方形的面积是一个单位面积，因此，这个点阵中的多边形的面积S=7个单位面积.而

根据皮克公式算出的结果S=3+21

×10－1=7个单位面积，这个结论和我算出的结果是一样

的.但我们可以感觉到皮克公式更方便，只需数出多边形内部的点数和边界上的点数，代入公式计算便可.

图1－4

［生］我在点阵中画了一个多边形（如图1－5所示）利用皮克公式，得

图1－5

S=4+21

×10－1=8（单位面积）

Ⅵ.课时小结

这节课我们主要学习了整式的概念，特别整式中单项式和多项式的次数.在现实情景中进一步理解了用字母表示数的意义，发展符号感.

Ⅶ.课后作业 课本P 5 习题1.1 Ⅷ.活动与探究 已知多项式3x n －2

－2x n －x n +1是四次三项式，则单项式(2－n )x

n －1y n +1

的系数、次数分别

是多少？

［过程］根据多项式次数的定义，可以确定n 的值.因为n +1,n ,n －2相比较，n +1最大，所以n +1=4,n =3.把n =3代入(2－n )x

n －1

·y n +1

中，单项式的系数、次数都可以确定.

［结果］根据题意，得n +1=4,n =3;把n =3代入(2－n )x n －1y n +1

中得单项式－x 2y 4.所以－

x 2y 4的系数为－1，次数为6次.

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