最新北师大版数学七年级上册 有理数单元测试卷 (word版,含解析)

一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）

1．在学习绝对值后，我们知道，|a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离．如：|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离．而|5|=|5﹣0|，即|5﹣0|表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离．类似的，有：|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|=|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a﹣b|．

请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题：

（1）画一条数轴，并在数轴上分别用A、B表示出1和3的两点

（2）数轴上表示1和3的两点之间的距离是________；

（3）点A、B、C在数轴上分别表示有理数1、3、x，那么C到A的距离与C到B的距离之和可表示为________（用含绝对值的式子表示）

（4）若将数轴折叠，使得表示1和3的两点重合，则原点与表示数________的点重合【答案】（1）解：如图所示，

（2）2

（3）

（4）4

【解析】【解答】解：（2）数轴上表示1和3的两点之间的距离=，

故答案为2；

（3）由题意得，C到A的距离与C到B的距离之和可表示为：，

故答案为：；

（4）在数轴上，1和3中点的数为：，设与原点重合的点的数为x，由题意得：

, ∴x-2=±2，解得x=0或4，

∴则原点与表示数4的点重合，

故答案为：4.

【分析】（1）画出数轴，在数轴上找出1、3点，分别用A、B表示即可；

（2）根据题意，计算数轴上表示1和3的两点之间的距离即可；

（3）根据题意，把C到A的距离与C到B的距离之和表示出来即可；

（4）首先求出1和3中点表示的数，再设与原点重合的点的数为x，根据题意列式求出x 即可.

2．阅读材料，并回答问题

如图，有一根木棒MN放置在数轴上，它的两端M、N分别落在点A、B．将木棒在数轴上水平移动，当点M移动到点B时，点N所对应的数为20，当点N移动到点A时，点M所对应的数为5．

（单位：cm）

由此可得，木棒长为__________cm．

借助上述方法解决问题：

一天，美羊羊去问村长爷爷的年龄，村长爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，116岁了，哈哈！”美羊羊纳闷，村长爷爷到底是多少岁？

（1）请你画出示意图，求出村长爷爷和美羊羊现在的年龄．

（2）若羊村中的小羊均与美羊羊同岁，老羊均与村长爷爷同岁。灰太狼计划为全家抓5只羊，综合考虑口感和生长周期等因素，决定所抓羊的年龄之和不超过112岁且高于34岁。请问灰太狼有几种抓羊方案？

【答案】（1）解：如图：

点A表示美羊羊现在的年龄，点B表示村长爷爷现在的年龄，木棒MN的两端分别落在点A、B．

由题意可知，当点N移动到点A时，点M所对应的数为-40，当点M移动到点B时，点N 所对应的数为116．

可求MN=52．

所以点A所对应的数为12，点B所对应的数为64．

即美羊羊今年12岁，村长爷爷今年64岁．

（2）解：设抓小羊x只，则老羊为(5-x)只，依题意得：

解得：，则x=4,或x=5,

即抓四只小羊一只老羊或抓五只小羊

【解析】【分析】（1）由数轴观察知三根木棒长是20-5=15（cm），则此木棒长为5cm；（2）在求村长爷爷年龄时，借助数轴，把美羊羊与村长爷爷的年龄差看做木棒MN，类似

村长爷爷比美羊羊大时看做当N点移动到A点时，此时M点所对应的数为-40，美羊羊比村长爷爷大时看做当M点移动到B点时，此时N点所对应的数为116，所以可知爷爷比美羊羊大[116-（-40）]÷3=52，可知爷爷的年龄.

（3）设抓小羊x只，则老羊为(5-x)只，根据“ 所抓羊的年龄之和不超过112岁且高于34岁”列不等式组，求解.

3．已知 a、b、c 在数轴上的位置如图：

（1）用“<”或“>”填空：a+1________0；c-b________0；b-1________0；

（2）化简：；

（3）若a+b+c=0，且b与-1的距离和c与-1的距离相等，求下列式子的值：2b -c - (a - 4c - b)．

【答案】（1）>；<；<

（2）解：∵a+1＞0，c-b＜0，b-1＜0，

∴原式=a+1-(b-c)-(1-b)=a+1-b+c-1+b=a+c

（3）解：由已知得：b+1=-1-c，即b+c=-2，

∵a+b+c=0，即-2+a=0，∴a=2，

则2b -c - (a - 4c - b)．

=2b -c - a + 4c + b

=3(b+c)-2=

【解析】【解答】解：（1）根据题意得：c<0

∴a+1＞0；c-b＜0；b-1<0

【分析】（1）根据数轴上点的位置进行计算比较大小即可；（2）利用数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果（3）根据题意列出关系式，求出a与b+c的值，原式去括号合并得到最简结果，将a与b+c的值代入计算即可求出值．

4．对于有理数，定义一种新运算“ ”，观察下列各式：

，，

.

（1）计算： ________， ________.

（2）若，则 ________ (填入“ ”或“ ”).

（3）若有理数，在数轴上的对应点如图所示且，求

的值.

【答案】（1）19；

（2）

（3）解：由数轴可得，

，，则，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴

.

【解析】

【解答】（1），

；

（2）∵，，，

∴

，

或

综上可知，

【分析】（1）根据定义计算即可；

（2）分别根据定义计算a b和b a，判断是否相等；

（3）由定义计算得到|a+b|=5，再根据数轴上点的位置关系判断a+b<0，再计算[（a+b）（a+b）][a+b]

5．甲、乙、丙三个教师承担本学期期末考试的第17题的网上阅卷任务，若由这三人中的某一人独立完成阅卷任务，则甲需要15小时，乙需要10小时，丙需要8小时。

（1）如果甲、乙、丙三人同时改卷，那么需要多少时间完成？

（2）如果按照甲、乙、丙、甲、乙、丙、……的次序轮流阅卷，每一轮中每人各阅卷1小时。那么要多少小时完成？

（3）能否把（2）题所说的甲、乙、丙的次序作适当调整，其余的不变，使得完成这项任务的时间至少提前半小时？（答题要求：如认为不能，需要说明理由；如认为能，请至少说出一种轮流的次序，并求出相应能提前多少时间完成阅卷任务）

【答案】（1）解：设我们把第17题的网上阅卷任务为1，若由这三人中的某一人独立完成阅卷任务，则甲需要15小时，乙需要10小时，丙需要8小时，则甲、乙、丙三个教师

的阅卷速度分别为；如果甲、乙、丙三人同时改卷，令需要x时间完成，那么

，整理得，解得x=

（2）解：设我们把第17题的网上阅卷任务为1，若由这三人中的某一人独立完成阅卷任务，则甲需要15小时，乙需要10小时，丙需要8小时，则甲、乙、丙三个教师的阅卷速

度分别为；如果按照甲、乙、丙、甲、乙、丙、……的次序轮流阅卷，每一轮中每

人各阅卷1小时，共3个小时，则一轮甲、乙、丙三人可阅卷，

三轮共9小时，一共阅卷，还剩下，接下来该轮到甲阅卷，因

为，所以甲阅卷1小时后，阅卷还没完，还剩下的任务，因此乙

还要进行阅卷，因为，所以乙在一小时之内能阅完试卷，所用时间为=

小时，即35分钟，所以完成阅卷任务的时间=9小时+1小时+35分钟=10小时35分钟

（3）解：能，可以按丙甲乙的顺序，根据（2）可得设我们把第17题的网上阅卷任务为1，若由这三人中的某一人独立完成阅卷任务，则甲需要15小时，乙需要10小时，丙需

要8小时，则丙、甲、乙三个教师的阅卷速度分别为；如果按照丙、甲、乙、丙、甲、乙、……的次序轮流阅卷，每一轮中每人各阅卷1小时，共3个小时，则一轮丙、

甲、乙三人可阅卷，三轮共9小时，一共阅卷，还

剩下，接下来该轮到丙阅卷，因为，所以丙阅卷1小时，阅卷即可完成，所以完成阅卷任务的时间=9小时+1小时=10小时，它比（2）中所花时间少35分

钟，提前了半个多小时，所以可按丙甲乙的顺序

【解析】【分析】（1）设需要x时间完成，由工作效率×工作时间=工作总量，利用甲工作量+乙工作量+丙工作量=1，列出一元一次方程，解之即可；

（2）根据每轮完成的工作量，分析经过几轮在谁手中完成的改卷任务，再将各段时间相加即可求出结论；

（3）按丙甲乙的顺序，3轮后丙再做1个小时的任务，正好完成，求出完成阅卷的时间，与（2）中的结论进行比较即可.

6．数轴上，，三个点对应的数分别为，，，且，到所对应的点的距离都等于7，点在点的右侧，

（1）请在数轴上表示点，位置， ________， ________；

（2）请用含的代数式表示 ________；

（3）若点在点的左侧，且，点以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，当且点在的左侧时，求点移动的时间．

【答案】（1）；6

（2）

（3）解：点在点的左侧，且，

，

．

设点移动的时间为秒．

当点在点的左侧时，，

解得：，

此时点对应的数为14，在点的右侧，不合题意，舍去；

当点在点的右侧且在点的左侧时，，解得：．

点移动的时间为秒．

【解析】【解答】（1）解：（1）根据题意得：，，，，

将其表示在数轴上，如图所示．

故答案为：；6

2）解：根据题意得：．

故答案为：

【分析】（1）由，到所对应的点的距离都等于7，点在点的右侧，可得出关于，的一元一次方程，解之即可得出，的值；（2）由点，对应的数，利用两

点间的距离公式可找出的值；（3）由点在点的左侧及的值可得出的值，设点移动的时间为秒，分点在点的左侧和点在点的右侧且在点的左侧两种情况考虑，由，找出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．

7．阅读下列材料：

1×2＝（1×2×3－0×1×2），

2×3＝（2×3×4－1×2×3），

3×4＝（3×4×5－2×3×4），

由以上三个等式相加，可得1×2＋2×3＋3×4＝ ×3×4×5＝20．

读完以上材料，请你计算下列各题：

（1）1×2＋2×3＋3×4＋…＋10×11（写出过程）；

（2）1×2＋2×3＋3×4＋…＋ n×（ n＋1）＝________；

（3）1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋7×8×9＝________．

【答案】（1）解：1×2+2×3+3×4+…+10×11，

= ×（1×2×3-0×1×2）+ ×（2×3×4-1×2×3）+ ×（3×4×5-2×3×4）+…+ ×（10×11×12-9×10×11），

= ×（1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+…+10×11×12-9×10×11），

= ×10×11×12，

=440；

（2） n（n+1）（n+2）

（3）1260

【解析】【解答】解：（2）∵1×2+2×3+3×4= ×3×4×5，

∴1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）= n（n+1）（n+2）；（3）1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+7×8×9=

×7×8×9×10=1260．

故答案为：

n（n+1）（n+2）；1260．

【分析】（1）根据题目信息列出算式，然后提取，进行计算即可得解；（2）观察不难发现，两个连续的自然数的积等于这两个数与后面的数的积减去与前面的数的积的

，然后列出算式进行计算即可得解；（3）根据（2）的规律类比列式进行计算即可得解．

8．点A、O、B、C从左向右依次在数轴上的位置如图所示，点O在原点，点A、B、C表示的数分别是a、b、c .

（1）若a=﹣2，b=4，c=8，D为AB中点，F为BC中点，求DF的长.

（2）若点A到原点的距离为3，B为AC的中点.

①用b的代数式表示c；

②数轴上B、C两点之间有一动点M，点M表示的数为x，无论点M运动到何处，代数式|x﹣c|﹣5|x﹣a|+bx+cx 的值都不变，求b的值.

【答案】（1）解：∵a=﹣2，b=4，c=8,

∴AB=6，BC=4，

∵D为AB中点，F为BC中点，

∴DB=3，BF=2，

∴DF=5

（2）解：①∵点A到原点的距离为3且a＜0，

∴a＝﹣3，

∵点B到点A，C的距离相等，

∴c-b＝b-a,

∵c﹣b＝b﹣a,a＝﹣3,

∴c＝2b+3,

答:b、c之间的数量关系为c＝2b+3.

②依题意，得x﹣c＜0，x-a＞0，

∴|x﹣c|＝c﹣x，|x-a|＝x-a，

∴原式＝bx+cx+c﹣x﹣5（x-a）＝bx+cx+c﹣x﹣5x+5a＝（b+c﹣6）x+c+5a,

∵c＝2b+3,

∴原式＝（b+2b+3﹣6）x+c+5×（﹣2）＝（3b﹣3）x+c-10,

∵当 P 点在运动过程中，原式的值保持不变，即原式的值与x无关,

∴3b﹣3＝0，

∴b＝1.

答：b的值为1

【解析】【分析】（1）先求出AB、BC的长，然后根据中点的定义计算即可；（2）①由

B为AC的中点可得，AB=BC，然后根据点B到点A，C的距离相等列式求解即可；

②先去绝对值化简，然后根据当 P 点在运动过程中，原式的值保持不变，即可求出x的值.

9．已知M＝（a＋24）x3﹣10x2＋10x＋5是关于x的二次多项式，且二次项系数和一次项系数分别为b和c，在数轴上A、B、C三点所对应的数分别是a、b、c.

（1）则a＝________，b＝________，c＝________.

（2）有一动点P从点A出发，以每秒4个单位的速度向右运动，多少秒后，P到A、B、C 的距离和为40个单位？

（3）在（2）的条件下，当点P移动到点B时立即掉头，速度不变，同时点T和点Q分别从点A和点C出发，向左运动，点T的速度1个单位/秒，点Q的速度5个单位/秒，设点

P、Q、T所对应的数分别是x P、x Q、x T，点Q出发的时间为t，当＜t＜时，求2|x P ﹣x T|＋|x T﹣x Q|＋2|x Q﹣x P|的值.

【答案】（1）﹣24；﹣10；10

（2）解：①当点P在线段AB上时，14＋（34﹣4t）＝40，解得t＝2.

②当点P在线段BC上时，34＋（4t﹣14）＝40，解得t＝5，

③当点P在AC的延长线上时，4t+（4t-14）+（4t-34）=40，解得t= ,不符合题意，排除，

∴t＝2s或5s时，P到A、B、C的距离和为40个单位.

（3）解：当点P追上T的时间t1= .

当Q追上T的时间t2= .

当Q追上P的时间t3= =20，

∴当＜t＜时，位置如图，

∴2|x P﹣x T|＋|x T﹣x Q|＋2|x Q﹣x P|

＝2(3t－14)＋34－4t＋2(20－t)6t－28＋34－4t＋40－2t

＝74－28

＝46.

【解析】【解答】解：（1）∵M＝（a＋24）x3﹣10x2＋10x＋5是关于x的二次多项式，∴a＋24＝0，b＝﹣10，c＝10，∴a＝﹣24，

故答案为﹣24，﹣10，10.

【分析】（1）根据二次多项式的定义，列出方程求解即可；（2）分三种情形，分别构建方程即可解决问题；（3）当点P追上T的时间t1= .当Q追上T的时间t2=

.当Q追上P的时间t3= =20，推出当＜t＜时，位置如图，利用绝对值的性质即可解决问题.

10．如图，点A从原点出发沿数轴向左运动，同时点B也从原点出发沿数轴向右运动，3秒后，两点相距15个单位长度.已知点B的速度是点A的速度的4倍(速度单位：单位长度/秒)

（1）求出点A、点B运动的速度，并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动3秒时的位置；

（2）若A、B两点从(1)中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动，几秒时，原点恰好处在点A、点B的正中间？

（3）若A、B两点从(1)中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动时，另一点C 同时从B点位置出发向A点运动，当遇到A点后，立即返回向B点运动，遇到B点后又立即返回向A点运动，如此往返，直到B点追上点A时，C点立即停止运动，若C点一直以20单位长度/秒的速度匀速运动，那么点C从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？

【答案】（1）解：设点A的速度为每秒x个单位长度，则点B的速度为每秒4x单位长度依题意得3x+3×4x=15

解之得x=1

所以点A的速度为每秒1个单位长度，点B的速度为每秒4单位长度

如图，

（2）解：设y秒时原点恰好在A、B两点的中间，依题意得

3+y=12-4y

解之得y=1.8

所以A、B两点运动1.8秒时，原点就在点A、点B的中间

（3）解：设点B追上点A的时间为z秒，依题意得

4z=15+z

解之得z=5

所以C行驶的路程为：5×20=100单位长度。

【解析】【分析】（1）根据两点的运动速度，设点A的速度为每秒x个单位长度，则点B 的速度为每秒4x单位长度，再根据两点之间相距15个单位长度，建立关于x的方程，解

方程求出x的值即可。

（2）由题意设y秒时原点恰好在A、B两点的中间，由此建立关于y的方程，解方程求出y的值。

（3）设点B追上点A的时间为z秒，根据已知条件建立关于z的方程，解方程求出z的值，然后求出C行驶的路程即可。

11．在数轴上有A、B、C、D四个点，分别对应的数为a，b，c，d，且满足a，b到点-7的距离为1 （a＜b），且（c﹣12）2与|d﹣16|互为相反数.

（1）填空：a＝________、b＝________、c＝________、d＝________；

（2）若线段AB以3个单位/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以1单位长度/秒向左匀速运动，并设运动时间为t秒，A、B两点都运动在CD上（不与C，D两个端点重合），若BD＝2AC，求t得值；

（3）在（2）的条件下，线段AB，线段CD继续运动，当点B运动到点D的右侧时，问是否存在时间t，使BC＝3AD？若存在，求t得值；若不存在，说明理由.

【答案】（1）-8；-6；12；16

（2）解：AB、CD运动时，

点A对应的数为：?8＋3t，

点B对应的数为：?6＋3t，

点C对应的数为：12?t，

点D对应的数为：16?t，

∴BD＝|16?t?（?6＋3t）|＝|22?4t|

AC＝|12?t?（?8＋3t）|＝|20?4t|

∵BD＝2AC，

∴22?4t＝±2（20?4t）

解得：t＝或t＝

当t＝时，此时点B对应的数为，点C对应的数为，此时不满足题意，

故t＝

（3）解：当点B运动到点D的右侧时，

此时?6＋3t＞16?t

∴t＞，

BC＝|12?t?（?6＋3t）|＝|18?4t|，

AD＝|16?t?（?8＋3t）|＝|24?4t|，

∵BC＝3AD，

∴|18?4t|＝3|24?4t|，

解得：t＝或t＝

经验证，t＝或t＝时，BC＝3AD

【解析】【解答】（1）∵|x＋7|＝1，

∴x＝?8或?6

∴a＝?8，b＝?6，

∵（c?12）2＋|d?16|＝0，

∴c＝12，d＝16，

故答案为：?8；?6；12；16.

【分析】（1）根据方程与非负数的性质即可求出答案.（2）AB、CD运动时，点A对应的数为：?8＋3t，点B对应的数为：?6＋3t，点C对应的数为：12?t，点D对应的数为：16?t，根据题意列出等式即可求出t的值.（3）根据题意求出t的范围，然后根据BC＝3AD 求出t的值即可.

12．如图，点、、是数轴上三点，点表示的数为，， .

（1）写出数轴上点、表示的数：________，________.

（2）动点，同时从，出发，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点以个单位长度的速度沿数向左匀速运动，设运动时间为秒.

①求数轴上点，表示的数（用含的式子表示）；

② 为何值时，点，相距个单位长度.

【答案】（1）2

；-10

（2）解：①根据题意得，点表示的数为，点表示的数为 .

②当点、相距个单位长度时，

若P在Q的左侧，则，解得；

若P在Q的右侧，则，解得，

所以的值为或

【解析】【解答】（）因为，所以表示的数为，

因为，所以表示的数为 .

【分析】（1）根据BC，AB的长和点B，A在数轴上的位置，可得到点B，A表示的数；（2）①点P表示的数比-10大4t，点Q表示的数比C小2t；②需要分两种情况讨论：若P在Q的左侧，PQ=6；若P在Q的右侧，PQ=6.