2017-2018学年高二上学期期末考试数学(文科)试题

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选择中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知抛物线的准线方程是，则的值为（）

A. 2

B. 4

C. -2

D. -4

【答案】B

【解析】抛物线的准线方程是，

所以.

故选B.

2. 已知命题：，总有，则为（）

A. ，使得

B. ，总有

C. ，使得

D. ，总有

【答案】B

【解析】全称命题的否定为特称命题，所以命题：，总有，

有，总有.

故选B.

3. 袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（）

A. 至少有一个白球；至少有一个红球

B. 至少有一个白球；红、黑球各一个

C. 恰有一个白球；一个白球一个黑球

D. 至少有一个白球；都是白球

【答案】B

【解析】袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个,从中任取2个,

在A中,至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生,不是互斥事件,故A不成立; 在B中,至少有一个白球和红、黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生,是互斥而不对立的两个事件,故B成立;

在C中,恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生,不是互斥事件,故C不成立; 在D中,至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生,不是互斥事件,故D不成立.

故选B.

点睛:事件A和B的交集为空,A与B就是互斥事件,也可以描述为:不可能同时发生的事件,则

事件A与事件B互斥,从集合的角度即;若A交B为不可能事件,A并B为必然事件,那么事件A与事件B互为对立事件,即事件A与事件B在一次试验中有且仅有一个发生,其定义为:其中必有一个发生的两个互斥事件为对立事件.

4. 中国诗词大会的播出引发了全民的读书热，某中学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示．若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号，小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号，根据该次比赛的成就按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为（）

A. 2

B. 4

C. 5

D. 6

【答案】B

【解析】由题得：诗词达人有8人，诗词能手有16人，诗词爱好者有16人，分层抽样抽选10名学生，所以诗词能手有人

5. 方程表示双曲线的一个充分不必要条件是（）

A. -3＜m＜0

B. -3＜m＜2

C. -3＜m＜4

D. -1＜m＜3

【答案】A

【解析】由题意知，，则C，D均不正确，而B为充要条件，不合题意，故选A.

6. 水滴在水面上形成同心圆，边上的圆半径以6m每秒的速度向外扩大，则两秒末时圆面积的变化速率为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】由题意知圆的半径得：圆面积，

求导得，当时，

即两秒末时圆面积的变化速率为.

故选D.

7. 我国发射的“天宫一号” 宇宙飞船运行的轨道是以地球中心为一焦点的椭圆，测得近地点距地面千米，远地点距地面千米，地球半径为千米，则该飞船运行轨道的短轴长为（）

A. 千米

B. 千米

C. 千米

D. 千米

【答案】B

【解析】∵某宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆，

设长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，

则近地点A距地心为a?c，远地点B距地心为a+c.

∴a?c=m+r，a+c=n+r，

∴.

........................

∴,∴短轴长为2b=千米，

故选B.

8. 已知，则（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】由f(x)=f′(1)+x ln x，

得：f′(x)=1+ln x，

取x=1得：f′(1)=1+ln1=1

故f(e)=f′(1)+e ln e=1+e.

故选：A.

9. 若正整数N除以整数m后的余数为n，则记为：(mod m)，例如(mod 4).下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》。执行该程序框图，则输出的i等于（）

A. 4

B. 8

C. 16

D. 32

【答案】C

【解析】初如值n=11,i=1,

i=2,n=13,不满足模3余2.

i=4,n=17, 满足模3余2, 不满足模5余1.

i=8,n=25, 不满足模3余2,

i=16,n=41, 满足模3余2, 满足模5余1.

输出i=16.选C。

10. 在处有极小值，则常数c的值为（）

A. 2

B. 6

C. 2或6

D. 1

【答案】A

【解析】函数，

∴，

又在x=2处有极值，

∴f′(2)=12?8c+=0，

解得c=2或6，

又由函数在x=2处有极小值，故c=2，

c=6时,函数在x=2处有极大值，

故选：A.

点睛：已知函数的极值点求参数的值时，可根据建立关于参数的方程（组），通过解方程（组）得到参数的值后还需要进行验证，因为“”是“为极值点”的必要不充分条件，而不是等价条件，因此在解答此类问题时不要忘了验证，以免产生增根而造成解答的错误．

11. 为定义在上的函数的导函数，而的图象如图所示，则的单调递增区间是（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】由题意如图，令f′(x)>0的区间是(?∞,3)，

故函数y=f(x)的增区间(?∞,3)，

故选D.

12. 是双曲线的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则双曲线的离心率为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】由已知渐近线方程为l1：，l2：，

由条件得F到渐近线的距离，则，

在Rt△AOF中，，则.

设l1的倾斜角为θ，即∠AOF=θ，则∠AOB=2θ.

在Rt△AOF中，，在Rt△AOB中，.

∵，即，即a2=3b2，

∴a2=3(c2-a2)，

∴，即.

故选C.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.

13. 有3个活动小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学在同一个兴趣小组的概率为______

【答案】

【解析】甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有3×3＝9(种)，其中甲、乙两人参加同一个小组的情况有3(种)．故甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率P＝＝.

14. 过点向圆作两条切线，切点分别为，则过点四点的圆的方程为_______________________．

【答案】

【解析】圆的圆心为(1,1)，半径为1，

由直线与圆相切知，,

所以过点四点的圆的直径为，的中点为圆心，即圆心为(0,0).

.

所以.

过点四点的圆的方程为.

故答案为：.

15. 如图是某工厂对一批新产品长度（单位：mm）检测结果的频率分布直方图．估计这批产品的中位数为_________

【答案】22.5

【解析】根据频率分布直方图，得；

∵0.02×5+0.04×5=0.3<0.5，

0.3+0.08×5=0.7>0.5；

∴中位数应在20～25内，

设中位数为x，则

0.3+(x?20)×0.08=0.5，

解得x=22.5；

∴这批产品的中位数是22.5.

故答案为：22.5.

点睛：用频率分布直方图估计总体特征数字的方法：

①众数：最高小长方形底边中点的横坐标；

②中位数：平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标；

③平均数：频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和.

16. 古式楼阁中的横梁多为木质长方体结构，当横梁的长度一定时，其强度与宽成正比，与高的平方成正比（即强度=k×宽×高的平方）.现将一圆柱形木头锯成一横梁(长度不变),当高与宽的比值为_______时,横梁的强度最大.

【答案】

【解析】设直径为d,如图所示,设矩形横断面的宽为x,高为y.由题意知,当xy2取最大值时,横梁的强度最大.

∵，

∴.

令，

得,令，

解得或(舍去).

当,f′(x)>0;当时,f′(x)<0，

因此,当时,f(x)取得极大值，也是最大值。

∴，

故答案为：.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 命题：关于的不等式，对一切恒成立。命题：方程表示焦点在点的左侧的抛物线，若为真命题，为假命题，求实数的取值范围. 【答案】或或

【解析】试题分析：分别求出关于p，q的a的范围，通过讨论p真q假，p假q真，从而得到a的范围．

试题解析：

若为真命题，则△，所以

若为真命题，则或

由题设，命题和必有一真一假

（1）若真假，则∴ 或

（2）若假真，则∴

综上所述，或或

18. 为了解某地区某种农产品的年产量（单位：吨）对价格（单位：千元/吨）和利润的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：

已知和具有线性相关关系

（Ⅰ）求关于的线性回归方程；

（Ⅱ）若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少吨时，年利润取到最大值？（保留一位小数）

参考数据及公式：，

【答案】(1) (2) 当年产量约为2.7吨时，年利润最大

【解析】试题分析：（Ⅰ）由表中的数据分别计算，借助于参考数据和公式，即可写出线性回归方程；

（Ⅱ）由，结合二次函数性质求最值即可．

试题解析：

（Ⅰ）可计算得，

∴，，

∴关于的线性回归方程是

（Ⅱ）年利润，

其对称轴为，故当年产量约为2.7吨时，年利润最大

19. 已知圆，直线过定点.

（Ⅰ）若与圆相切，求的方程；

（Ⅱ）若与圆相交于两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程.（其中点C 是圆C的圆心）

【答案】(1) (2) ，

【解析】试题分析：（Ⅰ）直线l无斜率时，直线l的方程为x=1，成立；直线l有斜率时，设方程为kx-y-k=0，由圆心到直线的距离等于半径，能求出直线l的方程．

（Ⅱ）△CPQ面积最大时，△CPQ是等腰直角三角形，此时圆心到直线的距离为，设直线l 的方程为kx-y-k=0，由此能求出直线l的方程．

试题解析：

（Ⅰ）直线无斜率时，直线的方程为，此时直线和圆相切

直线有斜率时，设方程为，利用圆心到直线的距离等于半径得：

，直线方程为

（Ⅱ）面积最大时，，，即是等腰直角三角形，由半径得：圆心到直线的距离为

设直线的方程为：，

直线方程为：，

点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：

（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；

（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；

（３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小．

20. 某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n人.为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法

从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队有6人．

（Ⅰ）求n的值；

（Ⅱ）把在前排就坐的高二代表队6人分别记为，，，，，，现随机从中抽取2人上台抽奖.求和至少有一人上台抽奖的概率；

（Ⅲ）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个之间的均匀随机数，并按如下所示的程序框图执行.若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．

【答案】(1) (2) (3)

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据分层抽样可得，故可求n的值；

（Ⅱ）求出高二代表队6人，从中抽取2人上台抽奖的基本事件，确定a和b至少有一人上台抽奖的基本事件，根据古典概型的概率公式，可得a和b至少有一人上台抽奖的概率；

（Ⅲ）确定满足0≤x≤1，0≤y≤1点的区域，由条件得到的区域为图中的阴

影部分，计算面积，可求该代表中奖的概率．

试题解析：

解：（Ⅰ）由题意可得，∴n=160；

（Ⅱ）高二代表队6人，从中抽取2人上台抽奖的基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b．f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共15种，

其中a和b至少有一人上台抽奖的基本事件有9种，

∴a和b至少有一人上台抽奖的概率为=；

（Ⅲ）由已知0≤x≤1，0≤y≤1，点（x，y）在如图所示的正方形OABC内，

由条件得到的区域为图中的阴影部分，

（指出点形成的正方形一分,不等式组一分,画出图形一分,算出阴影部分面积2分）

由2x﹣y﹣1=0，令y=0可得x=，令y=1可得x=1，

∴在x，y∈[0，1]时满足2x﹣y﹣1≤0的区域的面积为，

设“该运动员获得奖品”为事件N,

则该运动员获得奖品的概率P（N）==

考点：程序框图；古典概型及其概率计算公式；几何概型．

21. 已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．是椭圆的右顶点与上顶点，直线与椭圆相交于

两点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）当四边形面积取最大值时，求的值．

【答案】(1)(2) 当四边形面积的最大值时，=2

【解析】试题分析：（1）利用离心率和直线与圆相切以及的关系进行求解；（2）设

，联立直线与椭圆方程，得到的横坐标，求出点到直线

的距离，得到四边形面积关于的表达式，再利用基本不等式进行求解．

试题解析：（Ⅰ）由题意知：＝，．

又圆与直线相切，，，

故所求椭圆的方程为．

（Ⅱ）设，其中，

将代入椭圆的方程整理得：，

故．①

又点到直线的距离分别为，

，

所以四边形的面积为

，

当，即当时，上式取等号，所以当四边形面积的最大值时，．

考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.基本不等式．

22. 已知函数.

（Ⅰ）求的最大值；

（Ⅱ）当时，函数有最小值．记的最小值为，求函数的值域．

【答案】(1) 当x＝e时，f(x)取得最大值f(e)＝ (2)

【解析】试题分析：（1）首先求得导函数，然后根据导函数与0的关系求得函数的单调区间，从而求得的最大值；（2）首先求得，然后结合（1）分、求得函数的单调区间与最小值的函数解析式，再通过求导研究其的单调性，从而求得的值域.

试题解析：（1）f′(x)＝（x＞0），

当x∈(0，e)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；

当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，

所以当x＝e时，f(x)取得最大值f(e)＝. …4分

（2）g′(x)＝lnx－ax＝x(－a)，由（1）及x∈(0，e]得：

①当a＝时，－a≤0，g′(x)≤0，g(x)单调递减，

当x＝e时，g(x)取得最小值g(e)＝h(a)＝－. …6分

②当a∈[0，)，f(1)＝0≤a，f(e)＝＞a，

所以存在t∈[1，e)，g′(t)＝0且lnt＝at，

当x∈(0，t)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，当x∈(t，e]时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，所以g(x)的最小值为g(t)＝h(a). …9分

令h(a)＝G(t)＝－t，

因为G′(t)＝＜0，所以G(t)在[1，e)单调递减，此时G(t)∈(－，－1].

综上，h(a)∈[－，－1]. …12分

考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数最值与导数的关系.