对中国大学生数学建模竞赛历年成绩的分析与预测

2012年北京师范大学珠海分校数学建模竞赛

题目：对中国大学生数学建模竞赛历年成绩的分析与预测

摘要

本文研究的是对自数学建模竞赛开展以来各高校建模水平的评价比较和预测问题。我们将针对题目要求，建立适当的评价模型和预测模型，主要解决对中国大学生数学建模竞赛历年成绩的评价、排序和预测问题。

首先我们用层次分析法来评价广东赛区各校2008年至2011年及全国各大高校1994至2011年数学建模成绩，从而给出广东赛区各校及全国各大高校建模成绩的科学、合理的评价及排序；其次运用灰色预测模型解决广东赛区各院校2012年建模成绩的预测。

针对问题一，首先我们对比了2008到2011年参加建模比赛的学校，通过分析我们选择了四年都参加了比赛的学校进行合理的排序（具体分析过程见表13），同时对本科甲组和专科乙组我们分别进行排序比较。在具体解决问题的过程中，我们先分析得出影响评价结果的主要因素：获奖情况和获奖比例，其中获奖情况主要考虑国家一等奖、国家二等奖、省一等奖、省二等奖、省三等奖，我们采用层次分析法，并依据判断尺度构造出各个层次的判断矩阵，对它们逐个做出一致性检验，在一致性符合要求的情况下，通过公式与matlab求得各大学的权重，总结得分并进行排序（结果见表11）；在对广东赛区各高校2012建模成绩预测问题中，我们采用灰色预测模型，我们以华南农业大学为例，得到该校2012年建模比赛获奖情况为：省一等奖、省二等奖、省三等奖及成功参赛奖分别为5、9、8、8(其它各高校预测结果见表10）。

针对问题二，我们对全国各院校的自建模竞赛活动开展以来建模成绩排序采用与问题一相同的数学模型，在获奖情况考虑的是全国一等奖、全国二等奖。运用matlab求解，结果见表12。

针对问题三，我们通过对一、二问排序的解答及数据的分析，得出在对院校进评价和预测时还应考虑到各院的师资力量、学校受重视程度、学生情况、参赛经验等因素，考虑到这些因素，为以后评价高校建模水平提供更可靠的依据。

关键词：层次分析法权向量灰色预测模型模型检验 matlab

一问题重述

数学建模竞赛培养了利用数学知识和计算机技术解决实际问题的能力，激发和训练学生们的创新意识和动手。为了使我国各大高校在2012年的建模竞赛中总体成绩得到进一步提升、获得更好的成绩，有必要对以往的数学建模工作进行总结及对未来的发展进行预测。为此我们需要完成以下任务：

1、利用附件1中的数据，我们建立适当的评价模型，给出了广东赛区各校建模成绩的科学、合理的排序；并对广东赛区各院校2012年建模成绩进行了较为科学的预测；

2、利用附件2中的数据，我们给出了全国各院校的自数学建模竞赛活动开展以来建模成绩的科学、合理的排序；

3、我们给出了今后我们在进行科学、合理的评价及预测之时，除全国竞赛成绩、赛区成绩外，还需要考虑的一些因素。

二问题分析

关于问题一，要对广东省各大高校数学建模成绩进行评价和排序，我们首先需要明确的是影响各校水平的因素及其影响程度的大小，通过分析我们得出影响各校水平的主要因素有：获奖数量（国家一、二等奖，省级一、二、三等奖的数量）、获奖比例两个方面，对于获奖比例我们通过成功参赛奖的比例来估计。

获奖数量与获奖比例对一所学校成绩优异与否关系密切，同时他们在评价标准中所占的比重也有相对的重要性，但当获奖率的具体值比较小，即便是赋予权重也很难体现获奖比例这个评价指标。所以我们把评判指标分为国家一等奖、国家二等奖、省一等奖、省二等奖、省三等奖和没有获奖（成功参赛奖）这六个指标，所以我们可以用层次分析法模型来做评价模型，我们可以通过构造判断矩阵来确定其各因素对整体影响的权重，进而根据已知数据进行加权求和，最终给出一种合理的排序。

三问题假设

（1）假设对各高校数学建模成绩评价的影响因素只有给出的两种；

（2）假设个评价指标之间互不影响；

（3）假设能报到全国的在省内为省一等奖；

（4）假设数学建模比赛中，获奖等级以外因素对学校建模评价构成的影响小，可以不考虑；

四符号说明

A：高校数学建模水平；

B1：获奖情况；

B2：获奖比例；

C1：国家一等奖；

C2： 国家二等奖； C3： 省一等奖； C4： 省二等奖； C5： 省三等奖； C6： 未获奖；

CI ： 一致性指标；

RI ： 同阶的随机一致性指标； CR ： 一致性比率； max ：A 的最大特征根；

W ： λmax 对应的正规划特征向量；

()i w ： 第i 层对第1层的权向量；

()i W ： 是以第k 层对第k ?1层的权向量为列向量组成的矩阵；

五 评价模型的建立

5.1 建立层次结构模型

图5-1层次结构图

5.2 构造判断矩阵

判断矩阵的定义：

设某层有n 个因素，X =12{,,...,}n x x x ，要比较它们对上一层某一准则（或目标） 的影响程度，确定在该层中相对于某一准则所占的比重。（即把n 个因素对上层某一目标的影响程度排序）上述比较时两两因素之间进行比较，比较时取

1 ～ 9尺度。用

ij

a 表示第i 个因素相对于第j 个因素的比较结果，则

()ij m n A a ?==111212122212

n n m m mm a a a a a a a a a ???????????? ， 称为判断矩阵。

5.2.2 判断矩阵的元素尺度标准

判断尺度的标准及含义见下表

5.3 计算层次单排序及其一致性检验 5.3.1 层次单排序定义

所谓单排序是指本层各因素对上层某一因素的重要性次序。它由判断矩阵

的特征向量表示。例如，判断矩阵A 的特征问题AW=λmaxW 的解向量W ，经规一

化后即为同一层次相应因素对于上一层某因素相对重要性的排序权值，这一过程就称为层次单排序。

式中，λmax 为A 的最大特征根；W 为λmax 对应的正规划特征向量；W 的分量

w i 即是相应因素单排序的权值。

为保证层次单排序的可信性，需要对判断矩阵一致性进行检验，亦即要计算随机一致性比率。

5.3.2 计算一致性指标：CI max 1

n

CI n λ-=

- （1）

显然当判断矩阵具有完全一致性时，CI=0，λmax-n 越大，CI 越大，矩阵的

一致性就越差。为了检验判断矩阵是否具有一致性，需要将CI 与平均一致性指

标RI 进行比较。

5.3.3 查找相应的平均随机一致性指标：RI

对于n=1,2,3，……，9的RI 的值，如下表所示：

其倒数中抽取数字构造正互反矩阵，求得最大特征根的平均值'max λ得到的。

5.3.4 计算一致性比例：CR CI

CR RI

=

, （2） 为了检验判断矩阵是否具有满意的一致性，需要CI 与平均随机一致性指标RI 进行比较。当CR< 0.10时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否则应对判断矩阵作适当修正。

5.4 计算层次总排序权值及一致性检验 5.4.1 层次总排序定义

确定某层所有因素对于总目标相对重要性的排序权值过程称为层次总排序。若共有s 层，则第k 层对第1层的组合权向量满足：

()()(1),3,4,,k k k w W w k s -== ， （3） 其中()

k W 是以第k 层对第k ?1层的权向量为列向量组成的矩阵。于是最下层（第

s 层）对最上层的组合权向量为：

()()(1)(3)(2)

s s s w W W W w -= . (4)

5.4.2 一致性检验

在层次分析法的整个过程中，除了对每一个判断矩阵进行一致性检验外，还要进行所谓的组合一致性检验。组合一致性检验可以逐层进行。 假设第1p -层有

k p 个因素

第P 层的一致性指标为)

()

(2)

(1,...,,P P P p K

CI CI CI

第P 层的随机一致性指标为)

()

(2)

(1,...,,p p p p k RI RI RI

定义 )1()

()(2)(1)(],...,,[-=p p p p p p w CI CI CI CI k

（5）

)1()()(2)(1)(],...,,[-=p p p p p p w CI CI CI RI k

（6）

)1(-p w 为第P-1层对第一层的排序权向量

则第p 层的组合一致性比率为：

()

()

(),3,4,,P P p CI CR

p s RI

== （7） 第p 层用过组合一致性检验的条件为()

P CR

<0.1.

六 评价模型求解

6.1 构造判断矩阵：

根据各因素对高校成绩水平的影响，评价学校成绩水平指标的两个因素的重要程度，根据5-1确定各影响因素间的判断程度，构造指标的判断矩阵，然后利用公式（1）计算CI 并进行一致性检验，利用matlab 的相关计算最大特征值以及其对应的特征向量，然后在对特征向量归一化得到相应的权向量，以下为相应的结果：

表3 B 对A 的判断矩阵

影响学校成绩水平的两个主要因素，同时又受其内部各因素的影响。其中，影响或将队伍总数量的因素：国家一等奖、国家二等奖、省一等奖、省二等奖、省三等奖分别的数量；影响获奖比例的因素：没获奖的队伍数量。各指标的重要程度也采取上述方法构造判断矩阵见下表：

从以上表中计算可以得出判断矩阵均通过一致性检验，即以上所得的因素的权重值是可信的。

根据公式（5），（6），可以计算出CR=<0.1，即每一层都通过一致性检验。

在我们选择的四年都参加了比赛的学校中，首先得出每一年每个学校的加权，然后在对每个学校已有的加权个数进行平均，最终结果见表11。

6.2 对问题二：全国各大高校数学建模能力水平排序解答

利用对广东省各高校成绩排序相似的方法，我们能得出全国各大高校数学建模能力水平排序（见表12）。

七预测模型建立

7.1 灰色预测模型介绍

灰色预测是指利用 GM 模型对系统行为特征的发展变化规律进行估计预测，同时也可以对行为特征的异常情况发生的时刻进行估计计算，以及对在特定时区内发生事件的未来时间分布情况作出研究等等。这些工作实质上是将“随机过程”当作“灰色过程”，“随机变量”当作“灰变量”，并主要以灰色系统理论中的GM( 1,1)模型来进行处理。

灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而测事物未来发展趋势的状况。灰色预测在工业、农业、商业等经济领域，以及环境、社和军事等领域中都有广泛的应用。

7.2 灰色模型预测模型

7.2.1生成列

为了弱化原始时间序列的随机性，在建立灰色测模型之前，需先对原始时间序列进行数据处理，经过数据处理的时间序列即称为生成列。灰色系统常用的数据处理方式有累加和累减两种。累加是将原始序列通过累加得到生成列,累减是

将原始序列前两个数据相减得到累减生成列。

记原始时间序列为：(0)(0)

(0)

(0)

{(1),(2),,

()}

x x x

x N = ，则其生成列为：(1)(1)(1)(1){(1),(2),,()}x x x x N = ，上表1表示一次累加，所以做一次次累加：

(0)1

()()k

i X

k X i ==∑（1）

。

（8） 7.2.2 GM(1，1)模型

由生成列我们有GM 相应的微分方程模型为：

(1)

(1)dX aX dt

μ+= （9） 其中：a 称为发展灰数；μ称为内生控制灰数。

设^

α为待估参数向量，^

a αμ??= ???

，用最小二乘法求解，可得：

()^1T

T N B B B Y α-=,其中()()()()()()()()()()

()()()()()

1111111/21211/223111/21X X X X B X N X N ??-+?

???-+?

?=???

???--+?

?

, (10) (0)(0)(0)(2)(3)()N x x Y x N ?? ? ?

= ? ? ???

(11)

求解微分方程，即可得GM(1，1)预测模型：

()()1(0)?1(1),0,1,2,,ak X k x e k N a μμα-??+=-+=????

（12） 7.2.3 对(0)

x 进行精度检验

(1)残差检验：分别计算 残差：()()()

()0^(0)

,2,3,,E k x

k x k k N =-= (13)

相对残差：()()()()(0)^(0)(0)/,2,3,,e k x k x k x k k N ??

=-=????

(14)

(2)后验差检验：分别计算

(0)

x 的均值：()(0)

1

1N k X x k N ==∑ ；

（15） (0)

x 的方差：

1S =残差的均值：()211N

k E E k N ==-∑ ； （17） 残差的方差：

2S =后验差比值：2

1

S C S =

; (19) 小误差概率：()1{||0.0675}P P E k E S =-<; (20)

(3)预测精度等级对照表，见下表

八 预测模型的求解

8.1 以华南农业大学为例预测

（1） 累加生成（以一等奖的预测为例）

对数列()0

[7,4,5,5]X =累加生成

()1[7,11,16,21]X =

（2） 求解α∧、μ∧

（3） 运用matlab 工具算得α∧=-0.1033，μ∧

=3.2546可用于短期预测，符合我们需要预测2012年广东省个各高校数学建模获奖情况的需要。 （4） 建立灰色预测模型

()()1?(1)???1(0)??ak X k x e a μμ

α-?

?+=-+???

? 把?α

、?μ带入时间响应方程，由于()1(1)7x =，故时间响应方程为 ()()()0.1033*1138.531.5n x n e +=+-

（5）计算拟合值()()1?x

i ，再用后减运算还原计算得模型计算值()()0?x i ， 见下表第一列。

（6）模型检验与预测

()0[0.01871,0.62528,0.22773]E =-，0.28143E = C=0.05901<0.35，可见预测精度为“好”。

小误差概率()()

0.674510.95x p P k S εε=-<=>，即预测精度为“好”。 由此可知预测方程

()(

)

()0.1033*1138.531.5n x n e +=+-

可用进行外推预测：依次令n=3、4,代入时间响应方程得到

()()1

?4x

，()()1

?5x 因此，2012处该校一等奖预测为：

()()0?5x

=()()1?5x -()()1?4x =6 （5） 信息递推

表9 单位：个

分析表10奖5队，获得省二等奖9队，获得省三等奖8队，其余8支队伍为成功参赛。

8.2 全部预测结果

下面列举对广东省所有高校运用如上模型进行预测的预测结果：

九科学合理评价和预测还需要考虑的因素

（1）师资力量

数学建模培训课程的老师的水平；

教师授课方式、资历、能被学生理解的程度；

（2）学校受重视程度

是否开设有数学建模专业课程，专业选课情况、非专业选课情况；

课程是否配有相关教材；

学校是否有定期开设数学建模的大、小型比赛；

（3）学生情况

本科院校与专科院校的比例

工科院校、理科院校、文科院校、综合类院校的差别；

（4）参赛经历

累计获奖对学生积极性的培养程度；

历年的参赛经验。

十模型评价

10.1 评价模型优点

(1) 系统性：该模型把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行评价。

(2) 实用性：把定性和定量方法结合起来，能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广。

(3) 简洁性：一般非专业人士看后即可以了解层次分析法的基本原理并掌握该法的基本步骤，计算也非常简便，并且所得结果简单明确。

(4) 运用Matlab软件求解最大特征值和权向量并且对矩阵进行一致性判定，大大的提高了评价效率。

10.2 评价模型的缺点

(1) 该法中的比较、判断以及结果的计算过程都是粗糙的，不适用于精度较高的问题。

(2) 在层次分析法使用的过程中，无论建立结构层次还是构造判断矩阵。人的主观判断、选择、偏好对结果的影响极大，这就使得评价结果难以让所有的决

策者接受。

10.3预测模型的优点

(1) 适用性：灰色预测模型适用于少量数据的预测分析，特别针对短期预测给出了强力有效的预测手段。

(2) 准确性：灰色预测模型较Malthus拟合、Logistic拟合、Leslie矩阵方法及多项式拟合来讲，对本体的分析更为准确，考虑的因素更充足。

预测模型的缺点

10.4预测模型的缺点

(1) 对处理大量的数据这一情况，该模型显得十分繁琐。

(2) 同评价模型类似的，该模型也受主观因素影响较大，相比其他方法虽更加降低了预测误差，但还是不可避免主观因素给结果带来的误差。

十一参考文献

【1】李吉明，祁新娥，统计学院里[M]，复旦大学出版社，2007年1月第四版【2】李鸿吉，模糊数学基础及其算法[M]北京：科学出版社，2005年

【3】王鹏飞，模糊数学综合评判在推荐三好学生中的应用[J]，2005年4月

附录

表11 广东省各大高校08-11年数学建模成绩排名表